高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式
2a b
+≤（一）
教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
教学重点：
2
a b +≤的证明过程；
教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵
教学过程：
一、复习准备：
1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。

2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
二、讲授新课：
1. 教学：基本不等式
2a b +≤
①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在
正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的
4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

（教师提问→学生思考→师生总结）
②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，
(a>0,b>0)2a b +≤
2
a b +≤
：
用分析法证明：要证
2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y
x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８
x 3y 3.
⑥探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把
2
b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.）
2. 小结：①两正数a 、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。

②理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵。

三、巩固练习：
1. 练习：教材114页练习的第1题。

2. 作业：教材114页习题[A]组的第1题.
第二课时 3.4基本不等式
2a b +≤（二）
教学要求：通知识与技能：
2
a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
教学重点
2a b +≤，会用此不等式证明不等式，求某些函数的最值。

教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。

教学过程：
一、复习准备：
1. 回顾：基本不等式，什么条件下取等号？
2.
2
a b +求最大（小）值的步骤。

二、讲授新课：
1. 教学利用基本不等式证明不等式
①出示例1：已知m>0,求证
24624m m
+≥。

分析：审清楚题意→分析条件→应用什么定理？→如何应用？ →学生讲述解答过程（学生板书，教师修订）
→小结：注意m>0这一前提条件和
246m m
⨯=144为定值的前提条件。

②练习：1.已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥. 2. 求证:473
a a +≥-.（方法：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.）
2. 教学利用不等式求最值
①出示例2：(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值;(2)若x<0,求9()4f x x x
=+的最大值.
→教师板演（1）→学生板演（2）→师生共同更正
→规律技巧总结:利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
②练习: 1.求9()45f x x x =+
-(x>5)的最小值.2.若x>0,y>0,且281x y
+=,求xy 的最小值. 3.设a 、b ∈R +且a ＋b ＝1,求1
＋b -11的最小值。

3. 小结：2
a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。

三、巩固练习：
1. 练习：教材114页习题[B]组的第1题。

2. 证明：22222a b a b ++≥+
3．若1->x ，则x 为何值时11++
x x 有最小值，最小值为几？ 4．解关于x 的不等式 a x x a log log
< 5. 已知+∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值 第三课时 3.4基本不等式
2
a b +≤（三）
教学要求：
2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
教学重点
2a b +≤的应用
教学难点
2
a b +≤求最大值、最小值。

教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：重要不等式？基本不等式？
2. 提问：ab b a ab b a ≥+≥+2222和
成立的条件？
二、讲授新课：
1. 教学：最大值、最小值。

① 出示例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意：→如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样应用？ → 学生讲述解答过程。

→ 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。

②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是 ；若要围出一块100米2
的场地，则绳子最短为 。

③出示例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3
,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：→如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？→如何求函数的最值，用到了什么定理？→师生共同解答。

→小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性质的适用条件。

④练习：建造一个容积为18立方米，深为2米的长方体有盖水池。

如果池底和池壁每平方米的造价分别是200元和150元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？
2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
三、巩固练习：
1. 练习：教材114页练习的第1题. 习题[A]组的第2题.
2. 已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x
的值最小?最小值是多少? 3．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长.宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
3. 作业：教材114页习题[A]组的第4题。