高中数学必修五基本不等式学案

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人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案

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人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案课题: 基本不等式:2ba ab +≤(第一课时)教材:人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节 1 教材分析本节书介绍了两个不等式定理:(1)、如果R b R a ∈∈,,那么ab b a 222≥+①;(2)、如果0,0>>b a ,那么2ba ab +≤②。

这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。

本节书教学共需3课时,这是第一课时,主要是了解探索基本不等式的证明过程,熟悉基本不等式的结构,为下节基本不等式的应用做准备(以下用①②代替两个定理)。

2 学生分析有了前面“不等式性质”的学习,学生要理解这两个定理难度并不大。

针对学生求知欲旺盛的特点,在教学中,以思考、探索、讨论为主要方法,适当加以讲解,使学生自己收获结论、总结方法,动手解决实际问题,并且增强学习数学的的信心。

3 教学策略(1)、以“孔融选蛋糕”为例引入,课件辅助,引导学生探究①的证明,并总结证明方法;利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义,同时介绍“国际数学家大会”,培养学生的民族自豪感和使命感。

(2)、利用①式,通过“换元法”练习引入定理②,引导学生从不同角度探究②的证明过程,利用“半径和半弦的关系”让学生了解②的几何意义,并强调①②的联系与区别。

(3)、巩固练习。

设置三道习题由浅到深让学生对基本不等式逐渐熟悉,应用它们去比较大小、解决生活常见问题,最后让学生通过替换定理中的字母发现更多②式有趣的变形式,为下一节课铺垫。

4 教学目标(1)、知识目标了解不等式①②的证明过程和方法;了解不等式①②的几何意义;初步应用基本不等式比较大小,熟悉其变形式。

(2)、能力目标通过探究结果的汇报以及讨论活动,提高学生语言表达能力;在对不等式①②的证明过程中培养学生发现、比较、论证、转化等分析问题和解决问题的能力;通过掌握不等式①②的结构特点和运用不等式①②的适当变形,培养学生的思维能力和创新精神。

基本不等式答案

基本不等式答案

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0,则x +2x 的最小值为________.答案:22解析:∵ x>0,∴ x +2x≥2x·2x=22,当且仅当x =2时等号成立. 2. 设x<0,则y =3-3x -4x 的最小值为________.答案:3+43解析:∵ x<0,∴ y =3-3x -4x =3+(-3x)+⎝⎛⎭⎫-4x ≥3+2(-3x )·⎝⎛⎭⎫-4x =3+43,当且仅当x =-233时等号成立,故所求最小值为3+4 3.3. 若x>-3,则x +2x +3的最小值为________.答案:22-3解析:∵ x +3>0,∴ x +2x +3=(x +3)+2x +3-3≥2(x +3)×2x +3-3=22-3.4. 设x ,y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值是________.答案:183解析:3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=183,当且仅当x =y =52时等号成立.5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)=x +ax -2(x>2)的图象过点A(3,7),则此函数的最小值是________.答案:6解析:∵ 函数f(x)=x +ax -2(x>2)的图象过点A(3,7),即7=3+a ,∴ a =4.∵ x -2>0,∴ f(x)=(x -2)+4x -2+2≥2(x -2)·4x -2+2=6,当且仅当x =4时等号成立,故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54,求函数y =4x -2+14x -5的最大值;(2) 已知x>0,y>0且1x +9y=1,求x +y 的最小值.解:(1) x<54,∴ 4x -5<0.∴ y =4x -5+14x -5+3=-[(5-4x)+1(5-4x )]+3≤-2(5-4x )1(5-4x )+3=1,y max =1.(2) ∵ x>0,y>0且1x +9y =1,∴ x +y =(x +y)⎝⎛⎭⎫1x +9y =10+9x y +yx ≥10+29x y ·yx=16,即x +y 的最小值为16.例2已知函数f(x)=x 2+2x +ax,x ∈[1,+∞).(1) 当a =4时,求函数f(x)的最小值;(2) 若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.解:(1) 由a =4,∴f(x)=x 2+2x +4x =x +4x +2≥6,当x =2时,取得等号.即当x =2时,f(x)min =6.(2) x ∈[1,+∞),x 2+2x +ax >0恒成立,即x ∈[1,+∞),x 2+2x +a>0恒成立.等价于a>-x 2-2x ,当x ∈[1,+∞)时恒成立,令g(x)=-x 2-2x ,x ∈[1,+∞), ∴a>g(x)max =-1-2×1=-3,即a>-3.∴a 的取值范围是()-3,+∞. 例3 已知x>0,y>0,求证:1x +1y ≥4x +y.证明:原不等式等价于(x +y)2≥4xy ,即(x -y)2≥0,显然成立.故原不等式得证.变式训练(1) 若a>b>c ,求证:1a -b +1b -c ≥4a -c;(2) 若a>b>c ,求使得1a -b +1b -c ≥ka -c恒成立的k 的最大值.证明:(1) 令a -b =x ,b -c =y ,则a -c =x +y.原不等式等价于1x +1y ≥4x +y ,由作差法可证该不等式成立,故原不等式成立.(2) 由(1)可知,1a -b +1b -c ≥4a -c 恒成立,而1a -b +1b -c ≥ka -c ,k 的最大值为4.例4 如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1) 现有可围成36m 长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大?(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小?解:(1) 设每间虎笼长为xm ,宽为ym ,则⎩⎪⎨⎪⎧4x +6y =36,x>0,y>0,面积S =xy.由于2x +3y ≥22x·3y =26xy ,所以26xy ≤18,得xy ≤272,即S ≤272,当且仅当2x =3y 时取等号.则⎩⎪⎨⎪⎧2x =3y 2x +3y =18⎩⎪⎨⎪⎧x =4.5,y =3,所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时,可使面积最大.(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ,则l =4x +6y ,且xy =24,所以l =4x +6y =2(2x +3y)≥2×22x·3y =46xy =4×6×24=48(m),当且仅当2x =3y 时取等号.⎩⎪⎨⎪⎧xy =242x =3y⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时,可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/m 2,中间两道隔墙建造单价为248元/m 2,池底建造单价为80元/m 2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1) 试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2) 若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m ,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1) 设污水处理池的宽为x m ,则长为162xm.总造价为f(x)=400×⎝⎛⎭⎫2x +2·162x +248×2x +80×162=1 296x +1 296×100x +12 960=1 296⎝⎛⎭⎫x +100x +1 2960≥1 296×2x·100x +12 960=38 880元.当且仅当x =100x(x>0),即x =10时取等号.∴ 当长为16.2 m ,宽为10 m 时总造价最低,最低总造价为38 880元.(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16,0<162x ≤16,∴ 1018≤x ≤16.设g(x)+x +100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16,由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018,16上是增函数,∴ 当x =1018时(此时162x =16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018+80081+12 960=38 882(元).∴ 当长为16 m ,宽为1018 m 时,总造价最低,为38 882元.三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0,若9x +a 2x ≥a +1对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________.答案:⎣⎡⎭⎫15,+∞解析:9x +a 2x≥29x·a 2x =6a ,所以6a ≥a +1,即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x +1y +1z )=yz ,则⎝⎛⎭⎫x +1y ⎝⎛⎭⎫x +1z 的最小值为________. 答案:2解析:∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x +1y +1z =yz ,∴ 1y +1z =yz2x -x , ∴ ⎝⎛⎭⎫x +1y ⎝⎛⎭⎫x +1z =x 2+x ⎝⎛⎭⎫1y +1z +1yz =yz 2+1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点,且满足AP →=xAB →+yAC →,x 、y ∈R ,则1x +4y 的最小值是________.答案:9解析:因为B 、C 、P 三点共线且AP →=xAB →+yAC →,故x >0,y >0且x +y =1,所以1x +4y =⎝⎛⎭⎫1x +4y (x +y)=5+y x +4x y≥9. 4. 若不等式4x 2+9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立,则整数k 的最大值为________.答案:3解析:原不等式可化为4x y +9y x ≥2k 而4x y +9yx ≥12,∴ 2k ≤12,则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011,则1a 2+1a 2 010的最小值为________.答案:2解析:由题意得S 2 011=2 011(a 1+a 2 011)2=2 011,∴ a 1+a 2 011=2.又a 2+a 2 010=a 1+a 2 011=2,∴ 1a 2+1a 2 010=12⎝⎛⎭⎫1a 2+1a 2 010(a 2+a 2 010)=12(a 2 010a 2+a 2a 2 010)+1≥2.。

高中数学必修5《基本不等式》教案

高中数学必修5《基本不等式》教案

课题:基本不等式教材:《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标:1、探索并了解基本不等式的证明过程,了解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式,体会特殊到一般的数学思想方法;3、通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;4、培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点:重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式2a b +≤ 的证明过程;2a b+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。

三、教学方法:启发、探究式相结合 四、教学工具:多媒体课件五、教学过程:一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?这样,三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为a b +。

由于4个直角三角形二、探究过程:1.问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 探究1:(1)正方形ABCD 的面积S=____ (2)四个直角三角形的面积和S ’=__ (3)S 与S ’有什么样的关系?的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥《几何画板》课件动画显示,当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。

问题:你能证明这个结论吗? 证明:(作差法) 因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时,0)(2>-b a 当b a =时,0)(2=-b a所以,0)(2≥-b a ,即.2)(22ab b a ≥+总结结论1:一般的,如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

基本不等式教学设计(多篇)

基本不等式教学设计(多篇)

基本不等式教学设计(多篇)第1篇:基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念:注重学生自主、合作、探究学习,用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路: 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面:第一层面:知识与技能层面,①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念;②要创设几何和代数两个方面的背景,从数形结合的高度让学生了解基本不等式;③引导学生从不同角度去证明基本不等式;④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面:过程与方法,通过掌握公式的结构特点,适当运用公式的变形,能够提高学生分析问题和解决问题的能力,加强学生的实践能力,渗透数学的思想方法.第三层面:情感、态度与价值观,①通过具体问题的解决,让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系,鼓励学生用数学观点进行归纳,抽象,使学生感受到数学美,走进数学,培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式;②通过问题的解决,激发学生探究精神和科学态度,同时去感受数学的运用性,体会数学的奥妙,数学的简洁美,激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节:第一个环节:创设情境,引入新课.我设计了两个情境:一个是天平测量的问题,另一个是让学生动手操作折纸试验,从不同的角度体验和理解基本不等式,让学生能够体会数学与生活紧密联系,激发学生学习兴趣,为后面学习作铺垫.第二个环节:探究交流,发现规律.我在问题的情境中,让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小,并通过小组折纸试验,通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节:启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明,包括了比较法,综合法和分析法,而学生对作差比较法是比较熟悉的,综合法和分析法的过程要加强引导,并组织学生去探究这两种方法之间的关系,并规范证明过程,为今后学习证明方法打下基础.第四个环节:训练小结,巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上,首先在例题选择上,注重让学生充分认识和间的关系,给出一般的结论,在练习中我选择了题组形式,目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节:研究拓展,提高能力.我设计了一道关于例题的变式题,目的是让学生感受到,通过适当的变形将其化为例题中出现的形式,体现化归的思想,最后设计三道思考题,两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件,一道需要分类讨论,让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会,得到进一步提高.最后我通过问题式的小结,让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识,特别是最后一问中,让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论,但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫,起到承前启后的作用.三、本节课重点重点:应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式,并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点:灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式,以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程,包括它的成立条件,在这一节课中我的总体想法是通过互动,发现规律,直接猜想,指定验证,得出结论,最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点:1.积极引导学生自主探究问题,解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变:①变教学生学会知识为指导学生会学知识;②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟;③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究:上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客,你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗??(教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标,并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力,激发学生的学习热情,并增强学生的爱国主义热情)?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?如何找??【三维目标】:一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题;3.审清题意,综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题.4.能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。

高中数学必修5第三章《基本不等式》教案

高中数学必修5第三章《基本不等式》教案

《基本不等式》(第一课时)教材:高中数学必修5(人教版)第三章教学目标:★知识与技能:引导学生从问题中发现基本不等式,让学生理解、掌握基本不等式,并能运用它解决一些简单问题;培养他们的探究能力以及分析问题解决问题的能力。

★过程与方法:1.通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生观察、分析、猜想等能力;2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式,培养学生的创新思维和探索精神;3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。

引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法。

★情感、态度与价值观:在教学中发挥学生学习的主体作用,培养学生勇于探索的精神,激发他们学习数学的兴趣。

教学重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。

教学难点:1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、用基本不等式求最大值和最小值。

教学方法:采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容,并通过讲练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。

教学手段:借助PowerPoint课件整合教材内容,利用几何画板作出动画营造轻松生动的课堂学习氛围。

教学过程:板书设计《基本不等式》教案说明教材:高中数学必修5(人教版)第三章一、教材分析本课内容为普通高中课程标准实验教科书(人教A 版)数学必修5第三章不等式中的3.4 基本不等式。

新课标对该内容的相关要求为:①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

基本不等式是不等式证明和应用的重要依据和工具,要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,基本不等式是必不可缺的。

本节内容预计为两课时,第一课时侧重于基本不等式的理解及证明;第二课时侧重于基本不等式的应用。

二、教学目的分析本节课是在学生已经系统地学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的。

学生通过之前的学习已经掌握了证明不等式的基本方法,同时初步具备了从实际问题中抽象出不等式并运用数学方法解决实际问题的能力。

基本不等式(培优)-学案

基本不等式(培优)-学案

授课主题 第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用;② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值; ③ 掌握基本不等式的实际应用。

授课日期及时段T (Textbook-Based )——同步课堂1、算术平均值与几何平均值(1) 算术平均值:对任意两个正实数,a b ,数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 (2) 几何平均值:对任意两个正实数,a b ,数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈,那么2a bab +≥,当且仅当a b =时,等号成立 3、均值不等式的常见变形(1)()2,a b ab a b R ++≥∈(2)()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭(3)2b aa b+≥(,a b 同号且不为0) (4)()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0,y >0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x=y 时,x +y 有最最小值是p 2。

(简记:积定和最小)知识梳理(2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x=y 时,xy 有最大值是42s 。

(简记:和定积最大)考点一: 基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是( )A .21lg()lg (0)4x x x +>> B .1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C .212||()x x x R +≥∈ D .211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>,若2282y x m m x y+>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .4m ≥或2m -≤ B .2m ≥或4m -≤ C .24m -<< D .42m -<<考点二:基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点,且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ,若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ,则14x y +的最小值为( )A .20B .18C .16D .9例2、设+∈R x 且1222=+y x ,求21y x +的最大值.例3、设b a 、为正实数,且2211=+ba . (1)求22b a +的最小值;(2)若32)(4)(ab b a ≥-,求ab 的值.典例分析考点四:基本不等式的实际问题例1、如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3 m,AD=2 m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,AN的长应在什么范围内?(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.4800m,深为3m.如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池,其容积为3元,池底每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?例3、图画柱挂在墙上,它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处,而上边缘在b米处,问观察者站在离墙多远处才能使视角最大?P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-的最小值为( )A .1B .2C .2D .222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +的最小值为( )A .8B .6C .4D .23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是( )A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ,且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上,则14m n+的最小值是( ) A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数,且,则的最小值为__ _.实战演练10、 已知a 、b 、c ∈R +,求证:a 2b +b 2c +c 2a≥a +b +C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:(1)仓库面积S 的取值范围是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?1、【优质试题·四川,理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥,在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减,则mn 的最大值为( )A .16B .18C .25D .8122、【优质试题·福建,13】要制作一个容器为43m ,高为m 1的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元)。

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)篇一:高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式,会解决知道中的三个,求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念;2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程(I)复习回顾师:上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面看一些例子。

(放投影片)(Ⅱ)讲授新课师:看这些数列有什么共同的特点?1,2,3,4,5,6;①10,8,6,4,2,…;②生:积极思考,找上述数列共同特点。

对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)对于数列②—2n(n≥1)(n≥2)对于数列③(n≥1)(n≥2)共同特点:从第2项起,第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师:也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数。

一、定义:等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与空的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。

如:上述3个数列都是等差数列,它们的公差依次是1,—2……二、等差数列的通项公式师:等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是,公差是d,则据其定义可得:若将这n—1个等式相加,则可得:即:即:即:……由此可得:师:看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项和公差d,便可求得其通项。

如数列①(1≤n≤6)数列②:(n≥1)数列③:(n≥1)由上述关系还可得:即:则:=如:三、例题讲解例1:(1)求等差数列8,5,2…的第20项(2)—401是不是等差数列—5,—9,—13…的项?如果是,是第几项?解:(1)由n=20,得(2)由得数列通项公式为:由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得—401=—5—4(n—1)成立解之得n=100,即—401是这个数列的第100项。

高三数学《基本不等式》教学设计

高三数学《基本不等式》教学设计

高三数学《基本不等式》教学设计高三数学《基本不等式》教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者,时常需要编写教学设计,借助教学设计可以让教学工作更加有效地进行。

教学设计应该怎么写呢?下面是小编收集整理的高三数学《基本不等式》教学设计,仅供参考,欢迎大家阅读。

一、内容和内容解析本节课是北师大版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上展开的,作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用,研究最值问题,此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材,所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看,基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用;另外,在解决函数最值问题中,基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看,基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳,有助于培养学生创新思维和探索精神,是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析教学目标:了解基本不等式的几何背景,能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程,理解基本不等式的几何解释,并能解决简单的最值问题;借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下,能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式,实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质,可以运用作差法给出基本不等式的证明,同时,介绍并渗透分析法证明的思想方法,从而完成基本不等式的代数证明。

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高中数学必修五基本不等式:ab≤a+b2(学案)学习目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点).[自主预习·探新知]1.重要不等式如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).思考:如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式?[提示]a+b≥2ab.2.基本不等式:ab≤a+b 2(1)基本不等式成立的条件:a,b均为正实数;(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.思考:不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b2成立的条件相同吗?如果不同各是什么?[提示]不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;ab≤a+b2成立的条件是a,b均为正实数.3.算术平均数与几何平均数(1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:a+b2≥ab与⎝⎛⎭⎪⎫a+b22≥ab是等价的吗?[提示]不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R. 4.用基本不等式求最值的结论(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y=s2时,积xy有最小值为2xy .(2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y =p 时,和x +y 有最大值为(x +y )24.5.基本不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是正数.(2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.思考:利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值?[提示] 三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值.[基础自测]1.思考辨析(1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立.( ) (2)对任意的a ,b ∈R ,若a 与b 的和为定值,则ab 有最大值.( ) (3)若xy =4,则x +y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )=x 2+2x 2+1的最小值为22-1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. 400 [因为x ,y 都是正数,且x +y =40,所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y 22=400,当且仅当x =y =20时取等号.] 3.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2.16 [设一边长为x m ,则另一边长可表示为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +8-x 22=16,当且仅当x =4时取等号,故当矩形的长与宽相等,都为4 m时面积取到最大值16 m 2.]4.给出下列说法:①若x ∈(0,π),则sin x +1sin x ≥2;②若a ,b ∈(0,+∞),则lg a +lg b ≥2lg a ·lg b ; ③若x ∈R 且x ≠0,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +4x ≥4.其中正确说法的序号是________.①③ [①因为x ∈(0,π),所以sin x ∈(0,1], 所以①成立;②只有在lg a >0,lg b >0, 即a >1,b >1时才成立; ③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +4x =|x |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x =4成立.]利用基本不等式比较大小已知0<a <1,0<b <1,则a +b,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大? [解] 法一:因为a >0,b >0,所以a +b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab , 所以四个数中最大的数应为a +b 或a 2+b 2. 又因为0<a <1,0<b <1,所以a 2+b 2-(a +b )=a 2-a +b 2-b =a (a -1)+b (b -1)<0, 所以a 2+b 2<a +b , 所以a +b 最大. 法二:令a =b =12,则a +b =1,2ab =1,a 2+b 2=12,2ab =2×12×12=12, 再令a =12,b =18,a +b =12+18=58, 2ab =212×18=12,所以a +b 最大.ba ≥1.(1)已知m=a+1a-2(a>2),n=22-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是________.(2)若a>b>1,P=lg a·lg b,Q=12(lg a+lg b),R=lga+b2,则P,Q,R的大小关系是________.(1)m>n(2)P<Q<R[(1)因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2,所以m≥2(a-2)·1a-2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知m>n.(2)因为a>b>1,所以lg a>lg b>0,所以Q=12(lg a+lg b)>lg a·lg b=P;Q=12(lg a+lg b)=lg a+lg b=lg ab<lga+b2=R. 所以P<Q<R.]利用基本不等式证明不等式已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>ab+bc+ca.[解] ∵a >0,b >0,c >0, ∴a +b ≥2ab >0, b +c ≥2bc >0, c +a ≥2ca >0,∴2(a +b +c )≥2(ab +bc +ca ), 即a +b +c ≥ab +bc +ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立. ∴a +b +c >ab +bc +ca .2.已知a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.[证明] 因为a ,b ,c 为正实数, 且a +b +c =1,所以1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a . 同理,1b -1≥2ac b ,1c -1≥2abc .上述三个不等式两边均为正,相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2abc =8,当且仅当a =b =c =13时,取等号.基本不等式的实际应用如图3-4-1,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.图3-4-1(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)要使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?思路探究:①已知a +b 为定值,如何求ab 的最大值?②已知ab 为定值,如何求a +b 的最小值?[解] 设每间虎笼长x m ,宽y m ,则由条件知:4x +6y =36,即2x +3y =18.设每间虎笼面积为S ,则S =xy . 法一:由于2x +3y ≥22x ·3y =26xy , ∴26xy ≤18,得xy ≤272,即S ≤272,当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由⎩⎨⎧ 2x +3y =18,2x =3y ,解得⎩⎨⎧x =4.5,y =3.故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时,可使面积最大. 法二:由2x +3y =18,得x =9-32y . ∵x >0,∴9-32y >0, ∴0<y <6,S =xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫9-32y y =32(6-y )·y . ∵0<y <6, ∴6-y >0,∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6-y )+y 22=272. 当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5.故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时,可使面积最大.(2)由条件知S =xy =24.设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y . 法一:∵2x +3y ≥22x ·3y =26xy =24, ∴l =4x +6y =2(2x +3y )≥48. 当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由⎩⎨⎧ 2x =3y xy =24,解得⎩⎨⎧x =6,y =4. 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小. 法二:由xy =24,得x =24y .∴l =4x +6y =96y +6y =6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y +y ≥6×216y ·y =48. 当且仅当16y=y ,即y =4时,等号成立,此时x =6. 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小.母题探究:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池,平面图如图3-4-2所示.池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔墙建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.[解] 设污水池的长为x 米,则宽为400x 米,总造价y =(2x +2·400x )·200+2×250·400x +80×400=400⎝ ⎛⎭⎪⎫x +900x +32 000≥400×2x ·900x +32 000=56000(元),当且仅当x =900x ,即x =30时取等号.故污水池的长为30米、宽为403米时,最低造价为56 000元.利用基本不等式求最值[探究问题]1.由x 2+y 2≥2xy 知xy ≤x 2+y 22,当且仅当x =y 时“=”成立,能说xy 的最大值是x 2+y 22吗?能说x 2+y 2的最小值为2xy 吗?提示:最值是一个定值(常数),而x 2+y 2或2xy 都随x ,y 的变化而变化,不是定值,故上述说法均错误.要利用基本不等式a +b2≥ab (a ,b ∈R +)求最值,必须保证一端是定值,方可使用.2.小明同学初学利用基本不等式求最值时,是这样进行的: “因为y =x +1x ≥2x ·1x =2,当且仅当x =1x,即x 2=1时“=”号成立,所以y =x +1x 的最小值为2.”你认为他的求解正确吗?为什么?提示:不正确.因为利用基本不等式求最值,必须满足x 与1x 都是正数,而本题x 可能为正,也可能为负.所以不能盲目“套用”基本不等式求解.正确解法应为:当x >0时,y =x +1x ≥2x ×1x =2,当且仅当x =1x ,即x =1时取“=”,y =x +1x 的最小值是2;当x <0时,y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫-x -1x ≤-2(-x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x =-2,当且仅当x =1x ,即x =-1时,取“=”,y =x +1x 的最大值是-2.3.已知x ≥3,求y =x 2+4x 的最小值,下列求解可以吗?为什么? “解:∵y =x 2+4x =x +4x ≥2x ·4x =4,∴当x ≥3时,y =x 2+4x 的最小值为4.”提示:不可以,因为在利用基本不等求解最值时,虽然将所求代数式进行变形,使其符合基本不等式的结构特征,但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件,缺一不可.本解法忽略了等号成立的条件,即“=”号不成立.本问题可采用y =x +4x 的单调性求解.(1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值;(2)已知0<x <12,求y =12x (1-2x )的最大值; (3)已知x >0,求f (x )=2xx 2+1的最大值; (4)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值.思路探究:变形所求代数式的结构形式,使用符合基本不等式的结构特征. (1)4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3. (2)12x (1-2x )=14·2x ·(1-2x ). (3)2x x 2+1=2x +1x. (4)x +y =(x +y )·1=(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y .[解] (1)∵x <54,∴5-4x >0, ∴y =4x -2+14x -5=-⎝ ⎛⎭⎪⎫5-4x +15-4x +3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x =15-4x,即x =1时,上式等号成立, 故当x =1时,y max =1. (2)∵0<x <12,∴1-2x >0,∴y =14×2x (1-2x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x +1-2x 22=14×14=116, ∴当且仅当2x =1-2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,即x =14时,y max =116.(3)f (x )=2x x 2+1=2x +1x. ∵x >0,∴x +1x ≥2x ·1x =2,∴f (x )≤22=1,当且仅当x =1x ,即x =1时等号成立. (4)∵x >0,y >0,1x +9y =1,∴x +y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y (x +y )=y x +9x y +10≥6+10=16, 当且仅当y x =9x y ,又1x +9y =1, 即x =4,y =12时,上式取等号. 故当x =4,y =12时,(x +y )min =16.母题探究:1.(变条件)在例题(1)中条件改为x >54,求函数f (x )=4x -2+14x -5的值域.[解] ∵x >54,∴4x -5>0, ∴f (x )=4x -5+14x -5+3≥2+3=5.当且仅当4x -5=14x -5.即x =32时,等号成立.f (x )的值域为[5,+∞).2.(变条件)在例题(1)中去掉条件x <54,求f (x )=4x -2+14x -5的最值如何求解?[解] 由f (x )=4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3 ①当x >54时,4x -5>0 ∴f (x )=4x -5+14x -5+3≥2+3=5 当且仅当4x -5=14x -5时等号成立即x =32时f (x )min =5.②当x<54时,4x-5<0.f(x)=4x-2+14x-5=-⎝⎛⎭⎪⎫5-4x+15-4x+3≤-2+3=1当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时等号成立.故当x=1时,f(x)max=1.[当堂达标·固双基] 1.若0<a<1,0<b<1,则log a b+log b a≥________. 2[因为0<a<1,0<b<1,所以log a b>0,log b a>0,所以log a b+log b a=log a b+1log a b≥2log a b·1log a b=2.当且仅当log a b =log b a 即a =b 时取“=”.]2.已知a ,b ∈R ,若a 2+b 2=1,则ab 有最________值为________;若ab =1,则a 2+b 2有最________值为________.大12小 2 [由a 2+b 2≥2ab 可知,当a 2+b 2=1时,ab ≤12,故ab 有最大值为12;当ab =1时,a 2+b 2≥2,a 2+b 2有最小值2.]3.若0<x <1,则x (3-2x )的取值范围是________. ⎝⎛⎦⎥⎤0,324 [由0<x <1知3-2x >0,故x (3-2x )=12·2x (3-2x )≤12·2x +(3-2x )2=324,当且仅当x =34时,上式等号成立. 所以0<x (3-2x )≤324.]4.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2,那么水池的最低总造价为________元.1 760 [设池底一边长为x m ,总造价为y 元.则y =4×120+2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2×4x ×80=320⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x +480(x >0).因为x +4x ≥2x ·4x =4,当且仅当x =4x 即x =2时取等号, 所以y min =480+320×4=1 760(元).] 5.已知函数f (x )=x +1x.(1)已知x >0,求函数f (x )的最小值. (2)已知x <0,求函数f (x )的最大值. (3)已知x ∈[2,4],求f (x )的最值.[解] (1)∵x >0,∴f (x )=x +1x ≥2.当且仅当x =1时等号成立. ∴f (x )的最小值为2.(2)∵x <0,∴f (x )=x +1x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +1-x ≤-2.当且仅当x =-1时等号成立.∴f (x )的最大值为-2.(3)设2≤x 1<x 2≤4,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+1x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2 =(x 1-x 2)(x 1x 2-1)x 1x 2.因为2≤x 1<x 2≤4,所以x 1-x 2<0,x 1x 2-1>0,x 1x 2>0. 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).所以f (x )在[2,4]上是单调增函数.在x =2时,f (x )有最小值52;当x =4时,f (x )有最大值174.。

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