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复变函数第七章学习指导

一、知识结构

共形影射概念

共形影射的基本理论"黎曼定理(定理7.1(定理7.13))

边界对应定理(定理7.14)

'保域性(定理7.1) 保角性j定理7.4)保形性j定理7.6^

解析函数的影射特征

w =⑴“ ,w = z",z = Vvv, w = e z,z =

cz + d

的影射性质

共形影射基本问题举例

二、学习要求

(1)理解解析函数的映射性质；

⑵了解幕函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质;

(3)理解分式线性变换的映射性质；

(4)会求将区域G映射为G f的共形映射W = /(z) 0

三、内容提要

解析函数的保域性

定理7.1若函数w = /(z)在区域G内解析，且不是一个常数，则G的象G'= /(G)是区域.

解析函数的保角性

定义7. 1设映射w = /(z)在区域G内连续，若它使通过点Z。wG的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点％是保角的.

若映射W = /(z)在区域G内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G内的保角映射，或称该映射在G内是保角的.

定义7.2若映射w = /(Z)在区域G内是单叶口保角的，则称该映射为区域G内的保

形映射，或称该映射在G内是保形的.

定理7.2若函数w = /(z)在区域G内解析，则它在导数不为零处是保介的.

定理7.3若函数w = /(z)在区域G 内单叶口•解析，则它在G 内是保角的. 单叶解析函数的保形性

定理7.4若函数w = /(z)在区域G 内单叶且解析，则

(l)w = /(z)是区域G 内的保形映射,且G 的像G' = /(G)为区域;

⑵vv = /(z)的反函数2 = /T(w)在G'内单叶且解析，并有

几个初等函数的映射性质

1. W 二Z + /?(力为常数)的映射性质： ⑴是一个平移变换.

⑵在复平面处处是保角的.这是因为，在复平面上处处何w' = lH0. ⑶将圆周映射为圆周.

2. w = kz (k 为常数,且k^O)的映射性质： ⑴是旋转与伸长(或缩短)变换的叠加.

⑵在复平面上处处是保角的.这是因为，w r

= k^0在复平而上处处成立.

3. w =—的映射性质：

z

⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个対称变换的结果，一是关于实轴 对称，二是关于单位圆周对称.

⑵在复平面上除2 = 0外，处处是保角的. ⑶将圆周映射为圆周.

对于z 平面上的圆周(或直线)

A(x 2 +y 2

) + Bx + Cy + D = 0

当/H O,Z)H O 吋，将圆周映射为圆周; 当A^0,D = 0时，将圆周映射为直线; 当A = 0,D^ 0时，将直线映射为圆周; 当A = 0,D = 0时，将直线映射为直线.

4.鬲函数与根式函数的映射性质： 1)幕函数

w 二z n

, n 为大于1的自然数

1 7u )

z° wG, w 0 =/(z 0)eG /

⑴设G为射线argz = 9.,经w二z”映射后的像G'为w平而上的射线arg w二/?九.

(2)设G为圆周|z| = r0,经w = z”映射后的像G'为w平面上的圆周同=r；.

2JT

⑶w = z"将模相同而辐角相差—的整数倍的点习与勺映射为同一点•

n

(4) w = z"将

2 Ji 2 兀

G k : k——vargzv 伙+ 1)——, k = 0 丄2，・・・，川一1

n n

映射为G': 0 v arg w v 2 n.

2)根式函数

w = Vz , n为大于1的自然数

根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质.

5•指数函数与对数函数的映射性质：

1)指数函数

w - e~

⑴设G为平行于实轴的直线y = y of经w = e r映射后的像G'为w平面上的一条始于

原点的射线炉=y()•

⑵设G为线段：x = x o,O

⑶设G&为：一oo v兀<+oo, 2£兀5 y 5 2(Zr+ 1)兀，£为整数，经w = e~映射后的像G'为w平面上从原点起始沿正实轴剪开的w平面.

2)对数函数

z — Lnw

对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质. 分式线性变换的映射性质

称变换

az+ b

(7.7)

vv = -------

cz + d

为分式线性变换，其中的a,b,c,d为复常数，月.ad-bcHO.

(7.7)式的“结构”是由平移变换、旋转少伸长(或缩短)变换及反演变换复合而成. ⑴

保形性

定理7. 5 w = kz + h(£工0)在扩充复平而是保角的.

定理7. 6 w二丄在扩充复平面是保角的.

Z

由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7. 7.

定理7. 7分式线性变换在扩充复平面是保形的.

⑵保圆周性

定理7.8分式线性变换将扩充复平而上的圆周或肓•线映射为扩充复平血上的圆周或

直线.

⑶保对称点性

定理7. 9设w = /(z)为分式线性变换，若扩充z平而上两点召与z2关于圆周c对称, 则叫=/(Z J与叫=/仗2)两点关于圆周C=f(c)对称.

⑷保交比性

定理7. 10若有分式线性变换

az + b

w = ------

cz +(J

则

(W] , w2,叫?^4) = (z1?z2,z3, z4)

其中，

叭严+[ , —3,4

cz k + a

定理7. 11若分式性性变换将扩充复平面(z平面)上二个互异的点可，, Z3映射为扩充复平面(W平面)上的三点叫，叫，叫，则此分式线性变换就惟一确定，可写成

W _ W] _ W] Z — Z[ z3 - Zj

(8. 11)

• •

w - w2 w3 - w2 z-z2 z3 -z2

定理7. 12若G为扩充复平而上的一-个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数w = /(z)将G映射为单位阴ID；又若对G内某一点。满足条件

/⑷=0 且f\d) > 0

则函数w = / (z)是惟一的.

定理8. 13设单连通区域G与G'分别是简单闭曲线c与c‘的内部，若函数w = /(z) 在G=G + c±解析，且将c双方单值的映射为R,则函数w = /(z)在G内单叶且将G映射为GI

由于要求将点z = a映射为点w = 0 ,而关于z平血上的实轴与点&对称的点是臣,关

于w平面上的関周c与点w = 0对称的点是oo,所以，由分式线性变换具冇保对称点性口J