第一章、边值问题数值解基本理论

T
(1.1.1)
其次在边界 Γ 上满足边界条件
Γ ： B(u) B1 (u), B2 (u),, Bl (u)T 0
(1.1.2)
其中 A ， B 是对于独立变量（例如空间坐标、时间参数等）的微分算子。未知函数 u 是问题的解，u 可以是标量场，例如温度等；可以是矢量场，例如位移、速度等；可以是更复杂的张量场，例如固体 力学中的应力、应变等。还更一般情况 u 是标量场、矢量场和张量场的组合，例如一般情况的流体力 学问题的解是温度场、流速场和应力场的组合。 对于一般物理问题的微分方程，方程的导数最高阶不超过两阶。例如弹性力学问题的基本方程是 线性方程（一阶） ，其问题的位移解也仅仅是两阶；波动方程是一阶；热传导问题是两阶；流体力学 问题是两阶等。究其原因因为一般物理问题的方程往往是通过三大守恒定律：质量守恒定律、动量与 动量矩守恒（动力方程）定律和能量守恒定律，以及问题的几何关系、本构关系等这些基本理论所建 立，而这些理论所建立的方程其导数阶数一般不超过两阶。 连续介质问题的三大守恒定律的微分形式为 质量守恒定律 动量守恒定律
“ ”是张量的两次缩 h 为单位时间内外界提供给单位质量物质的热量； grad 为梯度， div 为散度，
并。梯度对变量场作用的结果是升高一阶张量，而散度作用的结果是降低一阶，张量的每次缩并降低 两阶张量。以上三个方程采用了张量不变性记法，它们对任何连续介质在任何坐标系下都成立，具有 广泛的通用性。 描述几何变形各种应变张量分别是 Green 应变
gij Cij
xr xr i j r r xi x j
或称为 Lagrange 应变
(1.1.6)
Cauchy 应变
(1.1.7)
Euler 应变
1 Eij ( ij Cij ) 2
(1.1.8)
以上采用张量分量的记法。 本构关系因为其物理背景相差很远而无法统一描述， 所以说研究连续介质问题的关键是研究本构 关系。例如线弹性问题的本构方程（广义 Hooke 定律）为
u ni u 'i n
(1.1.18)
例 2．弹性力学问题的解。弹性力学的基本控制方程由平衡方程（动量守恒定律） 、几何方程和 本构方程组成，边界条件由位移边界条件和应力边界条件组成。方程与边界条件不匹配，需要在方程 中消除一些未知函数，消除应力与应变的方法称为位移解法，消除位移与应变的方法称为应力解法。 位移解是位移矢量 u 场的解，其直角坐标下张量表达的基本控制方程（位移表示的相容方程）
α1 (x)
u α 2 (x)u |Γ h(x) n Γ
或
α1 (x)
u α 2 (x)u |Γ h(x) 0 n Γ
(1.1.13)
显然第一、二类边界条件是第三类边界条件的特殊情况，因为第一类直接在边界给出了问题的解，所 以在数学处理上仅仅把第二类归结为第三类。所以边界 Γ 可分解为互补的两部分 Γ1 和 Γ 2 。在 Γ1 和

1
ij f k ' k ( fi ' j f j 'i )
(1.1.21)
也属于二次型微分方程，但是未知函数有 6 个（当然方程也是 6 个） ，这是应力边界条件为
ij n j pi 0
(1.1.22)
属于第三类边界条件的特例，但是位移边界条件根本无法表示成应力形式。所以对有位移边界存在问 题根本无法解决，所有固体力学问题都面临同样困难，所以固体力学问题一般采用位移解法而非应力 解法。 像流体、波动、电磁场、燃烧、对流等等问题都抽象成这样类似的数学边值问题。但令人遗憾的 是，对于这些边值问题，能够用解析方法得出问题精确解的只是那些几何边界非常规则、边界条件非 常简单的少数问题。而对实际工程问题，由于物体几何形状不规则、边界条件复杂和非线性等原因， 可用解析解和半解析解（级数展开解等）的问题几乎是零。所以人们寻找数值解，而有限元法（FEM， Finite Element Method）是迄今为止求解这类数学边值问题最有效的数值解法。 既然是近似解，所以无法在整个区域和边界上精确满足基本控制方程和边界条件，而只能在积分 意义上满足，而且是一种“弱”形式上的满足。
3
Ω：
G i 0 'i G 2ui fi u 1 2
(1.1.19)
属于二次型微分方程。位移边界条件相对(1.1.18)方程属于方程第一类边界条件
Γu ： Γ ：
ui ui
ni
ui u j 'i n j pi 0 n
E (1 )(1 2 )
ij E ijkl kl
σ E ε
流体力学本构方程
（分量记法） （不变性记法）
(1.1.9-1) (1.1.9-2)
2 T ij ( p Skk ) g ij 2 S ij 3 2 T pI div v 2S 3
（分量记法） （不变性记法）
u α 2 (x)u |Γ h(x) 0 n Γ
(1.1.14)
Γ1 ：
和自然或混合边界条件
G(u) G1 (u), G2 (u), 0
T
(1.1.15-1)
Γ2 ：
S(u) S1 (u), S2 (u), 0
(1.1.15-2)
满足基本方程(1.1.1)和边界条件(1.1.2)[或(1.1.15)]的这类问题在数学上称为边值问题。 对于非定常 问题，除了满足边界条件，还需满足问题的初始条件。 例 1．稳态热传导问题。问题的解温度 属于标量场，其控制方程和边界条件分别为 Ω ： (k ) (k ) (k ) Q (k'i )'i Q 0 (1.1.16) x x y y z z
Γ ： 0
n
(1.1.17-1)
Γ q ： k q (l m n ) q kli'i q 0
x y z
(1.1.17-2)
其中 表示温度， k 是热传导系数， 和q 是边界上温度和热流的给定值。以上控制方程和边 界条件方程中都采用了求和约定，即同一项中指标出现两次时，无特殊规定时代表对该指标求和，其 目的是为了书写方便，出于同样目的，在下面的表达中还将采用直角坐标的张量记号。注意梯度的求 和方式可以写成
Γ：

Γ
V B(u)dΓ 0
T
(1.2.2)
其中 V 是与微分方程(1.1.2)中 B(u) 个数相等的任意向量函数。把(1.2.1)和(1.2.2)合并得：
Ω
VT A(u)dΩ V B(u)dΓ 0
Γ
T
(1.2.3)
上式对任意 V和V 都成立。相反地，如果对任意的 V和V (1.2.3)都成立，那么(1.1.1)和(1.1.2)方程必成 立，所以(1.1.1)和(1.1.2)式与(1.2.3)式在数学上等效。在(1.1.1)、(1.1.7-1)和(1.1.7-2)三组微分方程中， 如果基本控制方程采用积分形式，而边界条件或部分边界条件仍然微分形式，等效性同样成立。最常
div( v) 0 0 div σ f v
1 1 σ U div q h gradv
(1.1.3) (1.1.4)
能量守恒定律
(1.1.5)
1
动量矩守恒定律获得剪应力互等性。以上三个方程中， 为质量密度， v 为速度矢量， f 为物质体力 矢量， σ 为应力张量， U 为单位质量物质含的内能， q 为单位时间内物体单位表面积的热流量矢量，
(1.1.20-1)
应力边界条件需要把应力未知函数转化为位移未知函数，转化后 (1.1.20-2)
属于第三类边界条件。以上方程中中 ii ui 'i 体积应变， 如果采用应力解法，应力表示的相容方程
拉梅系数。
Ω：
Γ ：
ij ' kk

1
ij kk 'ij
第1章 边值问题数值解基本理论
摘要：本章从数学高度讨论四方面问题：1）连续介质边值问题的微分方程形式；2）边值问题的等效积分形式；
3）边值问题等效积分的“ 弱” 形式；4）边值问题的数值解法，其中以加权残数法为主。边值问题的微分方程由基本 控制方程和边界条件组成，一般物理问题基本控制方程以二次型偏微分方程为主，其边界条件分三类；微分方程形式 可以转化为等效积分形式，等效积分降低了问题解的连续性要求；通过分部积分等手段降低被积函数的导数阶数，从 而获得等效的“ 弱” 积分形式，从而进一步降低连续性要求；在无法获得在全区域问题精确解的情况下，可以获得积 分意义上误差为 0 的近似解。
§1.2边值问题的等效积分形式
因为微分方程组(1.1.1)在 Ω 上每一点都为零，因此可以把它写成等效的积分形式：
Ω：
Ω V
T
A(u)dΩ 0
(1.2.1)
其中 V {v1, v2 ,, vn }T 是与微分方程(1.1.1)个数相等的任意向量函数。同理把边界条件(1.2)可以 写成等效的积分形式：
Γ 2 分别满足第一类和第三类边界条件
Γ1： u |Γ u 0 Γ 2： α1 (x) Γ Γ1 Γ 2
热传导问题对温度求解， 按照以上思路处理， 其边界条件分为对应的三类； 固体力学的位移解法， 位移边界条件和应力边界条件分别属于本质边界和自然边界。有些文献在讨论问题时把 Γ 2 仅指自然 边界而不考虑混合边界，这不影响问题的完整性。从 Γ 分解为 Γ1 和 Γ 2 考虑，边界条件提法可表达 为本质边界条件
u |Γ u
u n
或
u |Γ u 0
u n
(1.1.11)
第二类为自然边界条件，也称纽曼(Neumann)边界条件，其形式是给出边界 Γ 上 u 的外法线导数