偏微分方程边值问题的数值解法论文

求解偏微分方程的边值问题

本实验学习使用MATLAB 的图形用户命令pdetool 来求解偏微分方程的边值问题。这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。我们用个例题来说明它的用法。

一、MATLAB 支持的偏微分方程类型

考虑平面有界区域D 上的二阶椭圆型PDE 边值问题：

()c u u f α-∇∇+= (1.1)

其中 (1) , (2) a,f D c x y ⎛⎫∂∂∇=⨯ ⎪∂∂⎝⎭

是上的已知函数(3)是标量或22的函数方阵

未知函数为(,) (,)u x y x y D ∈。它的边界条件分为三类：

（1）Direchlet 条件：

hu f = (1.2)

（2）Neumann 条件： ()n c u qu g ∇+= (1.3)

（3）混合边界条件：在边界D ∂上部分为Direchlet 条件，另外部分为Neumann 条件。

其中,,,,h r q g c 是定义在边界D ∂的已知函数，另外c 也可以是一个2*2的函数矩阵，n 是沿边界的外法线的单位向量。

在使用pdetool 时要向它提供这些已知参数。

二、例题

例题1 用pdetool 求解 22D 1 D: 10u x y u ∂⎧-∆=+≤⎪⎨=⎪⎩ (1.4)

解：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar模式．

( l ）画区域圆

单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入

圆心坐标X-center 为0 、Y-center 为0 及半径Radius 为l ，然后单击OK 按钮，这样单位画已画好．

( 2 ）设置边界条件

单击工具边界模式按钮，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary condition 对话框．输入边界条件．对于同一类型的边界，可以按Shift键，将多个边界同时选择，统一设边界条件．本题选择Dirichlet 条件，输入h 为1 , r 为0。，然后单击OK 按钮．也可以单击Boundary 菜单中Spocify Boundary Condition …选项，打开Boundary Condition 对话框输入边界条件．

( 3 ）设置方程

单击偏微分方程按钮，打开PDE Specification 对话框，选择方程类型·本题选Ellintic （椭圆型）,输入c为1 , a 为O , f 为1 ，然后单击OK 按钮．

( 4 ）网格剖分

单击网格工具，或者单击Mesh 菜单中Initialize Mesh项，可进行初始网格剖分．这时在PDE Toolbox 窗口下方的状态栏显示出初始网格的节点数和三角形单元数．本题节点数为144 个，三角形单元数为254 个(图?? )。如果要细化网格，单击细化工具，或者单击Mesh 菜单中Refine Mesh 选项，节点数成为541 个，三角形单元数为1016 个。

( 5 ）解方程

单击解方程工具，或者单击S olve菜单中Solve PDE 选项，可求得方程数值解并用彩色图形显示。单击作图工具，或者单击Plot 菜单中Parameter…选项，出现Plot selection 对话框．从中选择于Height ( 3-D plot) ，然后单击Plot 按钮，方程的图形解如图?? 所示。除了作定解问题解u的图形外，也可以作grad u等图形·

（6）输出网格节点的编号、单元编号以及节点坐标

单击Mesh 菜单中Show Node Labels选项，再单击网格工具，即可显示节点编号（图？？ ) 。若要输出节点坐标，只需单击Mesh 菜单中Export Mesh …选项，这时打开的Export对话框中的默认值为p e t,这里p、e、t 分别表示point （点）、edges(边）、triangles(三角形）数据变量，单击OK按钮，然后在MATLAB 命令行键入p,即可以显示按节点编号排列的坐标；键入e再回车则显示边界数据矩阵（7维数组）；键入t按回车则显示三角形单元数据矩阵（4维数组）。

点、边、单元的部分输出为：

p =

Columns 1 through 11

-1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071 -0.9808 -0.9239 -0.8315

-0.0000 -1.0000 0 1.0000 -0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071

-0.1951 -0.3827 -0.5556

e =

Columns 1 through 11

1.0000 9.0000 10.0000 11.0000 5.0000 1

2.0000 1

3.0000 1

4.0000

2.0000 15.0000 16.0000

9.0000 10.0000 11.0000 5.0000 12.0000 13.0000 14.0000 2.0000

15.0000 16.0000 17.0000

0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 0 0.1250 0.2500

0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000

0.1250 0.2500 0.3750

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

2.0000 2.0000 2.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

t =

Columns 1 through 18