2016年新课标高考真题全国三卷理科数学

20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点．
（Ⅰ）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
（Ⅱ）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.
21．设函数 ，其中α＞0，记 的最大值为A．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明当 .
22．选修4−1：几何证明选讲
12．C试题分析：由题意，得必有 ， ，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个
13．
试题分析：由下图可得在 处取得最大值，即 .
14． 试题分析： ,故应至少向右平移 个单位.
15．
试题分析：当 时， ，则 ．又因为 为偶函数，所以 ，所以 ，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 ．
， ， .
设 为平面 的一个法向量，则 即
可取 .于是 .
20．试题解析：由题设 ，设 ，则 ，且
．
记过 两点的直线为 ，则 的方程为 ．．．．．．．．．．．．．3分
（1）由于 在线段 上，故 ，
记 的斜率为 的斜率为 ，则 ，
所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）设 与 轴的交点为 ，
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 .
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标.
24．已知函数 .
（1）当a=2时，求不等式 的解集；
（2）设函数 .当 时， ，求 的取值范围.
2016年新课标高考真题全国三卷理科数学参考答案
1．D试题分析：由 解得 或 ，所以 ，所以 ，故选D．
2．C试题分析： ，故选C．
3．A试题分析：由题意，得 ，所以 ，故选A．
4．D试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于 ，而一月的平均温差小于 ，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 ，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
19．试题解析：（Ⅰ）由已知得 .
取 的中点 ，连接 ，由 为 中点知 ， .
又 ，故 ，四边形 为平行四边形，于是 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）取 的中点 ，连结 .由 得 ，从而 ，且
.
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .由题意知， ， ， ， ，
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
18．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
令 ，解得 （舍去）， ．
（Ⅰ）当 时， 在 内无极值点， ， ， ，所以 ．
（Ⅱ）当 时，由 ，知 ．又
，所以 ．
综上，
（Ⅲ）由（Ⅰ）得 .
当 时， .
当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 .
23．（1） ： ， ： ；（2） ，此时 .
试题解析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值即为 到 的距离 的最小值， .
如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD．
23．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
A． B． C． D．
12．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个B．16个
C．14个D．12个
二、填空题
13．若 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
14．函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移个单位长度得到．
15．已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程是__________．
16．已知直线 ： 与圆 交于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，若 ，则 __________．
三、解答题
17．已知数列 的前n项和 ，其中 ．
8．C试题分析：设
,故选C.
形
9．B解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为： ，
故棱柱的表面积为圆半径为 ，则 ，故球的最大半径为 ，故选B.
11．A试题分析：如图取 与 重合，则由 直线 同理由 ,故选A.
4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
16．4因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，则由 ，解得 ，代入直线 的方程，得 ，所以直线 的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯形 中， ．
故答案为4
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
试题解析：（Ⅰ）由题意得 ，故 ， ， .
由 ， 得 ，即 .由 ， 得 ，所以 .
因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 .
A． B． C．90D．81
10．在封闭的直三棱柱 内有一个体积为V的球，若 ， ， ，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
11．已知O为坐标原点，F是椭圆C： 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
2016年新课标高考真题全国三卷理科数学
一、单选题
1．设集合 ，则S T=
A．[2,3]B．（− ,2] [3,+ ）
C．[3,+ ）D．（0,2] [3,+ ）
2．若 ，则
A．1B．-1C．iD．-i
3．(2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则 ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
则 ，
由题设可得 ，所以 （舍去）， ．
设满足条件的 的中点为 ．
当 与 轴不垂直时，由 可得 ．
而 ，所以 ．
当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 ．．．．．．．．．12分
21．试题解析：（Ⅰ） .
（Ⅱ）当 时，
.
因此 .
当 时，将 变形为 ．
令 ，则 是 在 上的最大值， ， ，且当 时， 取得极小值，极小值为 ．
附注：
参考数据： ， ，
， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
19．如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．若 ，则 （）
A． B． C．1D．
6．已知 ，则
A． B．
C． D．
7．执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）
A．3B．4C．5D．6
8．在 中， ，BC边上的高等于 ,则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .由 得 ，即 .
解得 .
18．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
， ， ，
，
.
因为 与 的相关系数近似为0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.
（Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ，
.
所以， 关于 的回归方程为： .
将2016年对应的 代入回归方程得： .
5．A试题分析：由 ，得 或 ，所以 ，故选A．
6．A因为 ，且幂函数 在 上单调递增，所以b<a<c.
故选A.
7．B试题分析：模拟执行程序,可得 ,执行循环体, ,不满足条件 ,执行循环体, ,不满足条件 ,执行循环体, ,不满足条件 ,执行循环体, ,不满足条件 ,退出循环,输出 的值为 ,故选B.