《相似三角形的判定预备定理-》

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相似三角形(预备定理)

例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性、反身性和对称性，即如果两个三角形相似，则它们的对应边和对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判定定理的基础，对于理解三角形相似的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领域中，相似三角形预备定理都有广泛的应用。
等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使用相似三角形来表示不同高度之间的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使用相似三角形来确定两点之间的相对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确地折射和聚焦。

湘教版九年级数学上册《相似三角形判定》知识全解

《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。

九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计

针对以上学情，教师在教学过程中应采取有针对性的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的几何思维能力，培养他们的人文素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：

九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例

1.完成课本上的练习题的应用，并说明其相似比。
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。

2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件

A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形。
两个条件要同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为相似形？
对应角……？对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'

相似三角形的判定(预备定理)

27.2.1相似三角形的判定
（第1课时）
创设情境，引入新课
1、相似多边形有什么性质？
2、在相似多边形中最简单的
是相似三角形，你能给它下一个定义吗？
3、在 △ ABC和 △A’B’C’中，
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
则（1）△ ABC与△A’B’C相’似，记作△ ∽ABC
△A’B’C’.
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC,
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
2、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解: (1) DE ∥ BC
上下型:(1) AB DE (2) BC EF
BC EF
AB DE
A
上全型: (1) AB DE (2) AC DF AC DF AB DE
B
全
下全型: (1) BC AC
EF DF
(2) AC BC
DF EF
C
D
l1
E上
l2
下
F l3
拓展: AB BC AC
图5
DE EF DF
如图，l1 ∥l2 ∥l3，AB 3，BC 6，DE 2.求EF的长.
解：∵l1 ∥l2 ∥l3
AB DE
l1
BC EF
又∵ AB 3，BC 6，DE 2

《相似三角形的判定预备定理》

18.5.1相似三角形的判定——预备定理【教学目标】知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．【教学重点】预备定理的证明与应用【教学难点】预备定理的证明【教学过程】一.复习引入活动1回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由.学生猜想：相似。

能得到△ADE ∽△ABC 吗？教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ）学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得=AD AE DE AB AC BC ⎫=⎬⎭由DE ∥BC 得相似定义只需证出：DE AD BC AB=或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上证明：过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD= ∴DE AD BC BD= ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC∵DE ∥BC∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴B分析完后由学生口述再ppt 出示过程由此可得：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似。

拓展：思考：若条件不变，图形如图所示，结论是否仍然成立？依然成立几何画板演示教师活动:板书课题“相似三角形的判定”二、形成新知：活动2 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理：文字语言：平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原来三角形相似。

课题：相似三角形的判定(预备定理)

课题：相似三角形的判定（预备定理）初三数学学习目标：1、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。

2、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算教学重点：相似三角形判定定理的预备定理的探索与应用教学难点：相似三角形判定定理的预备定理的有关证明一、课前学习：1、根据相似形的定义,两三角形在角上满足：_________________________,在边上满足_______________________则△ABC ∽△A ’B ’C ’2、若D E ∥BC ，DF ∥AC 请写出所有比例关系______________________________ ______________________________________________________________二、课堂探究（一）预备定理证明1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DE ∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？2、猜测：当D 为AB 上任一点时过D 点作DE ∥BC 交AC 于点E ，都有△ADE ∽△ABC 。

（尝试在下图中做出辅助线并证明）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

若___________________则__________________（二）定理应用1、(1)点D 在△ABC 的边AB 上，DE ∥BC 交AC 于点E 。

写出所有可能成立的比例式。

______________________________________________________________________________(2) 如果DB AD＝23，AC ＝8cm 。

求AE 长（3）DE∥BC，AB=15，DE=9，BD=5，求BC的长2、如图，在平行四边形ABCD中，E是CB的延长线上一点，连接DE,交AC于G,交AB于F,则图中相似三角形（不包括全等三角形）共有______对，分别为_____________________________________________（三）提高与创新1、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为18cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是．2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB的中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长。

相似三角形判定-预备定理

创设情景明确目标
最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1
AC AB BC ，∠C＝∠C1，＝＝AC ， A1 B1 B1C1 1 1
那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
已知：DE//BC，且DE分别交AB、AC于D，E .猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。 A 相似。 D B 12
DE AE BC AC
AD AE DE AB AC BC
3
F
B
∴ △ADE与△ABC的对应边成比例 ∴ △ADE ∽ △ABC
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其他图形吗？
4. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为 D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则 2 CD∶DE的值是_______ ．
达标检测反思目标 5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF， AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
20 解：求菱形的边长为 cm． 9
证明: ∵ DE // BC
E C
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC BF AE AD AE ∴ AB AC BC AC A
D 2 E C ∴ 四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF , ∴ ∴
即： E D 在△ABC中，如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全，全比上） AB AC BC AD AE DE

27.2.2相似三角形的判定(2)预备定理.

再见
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对
应线段的比相等.
符号语言：∵ l3∥l4 ∥l5 ,
∴
AB BC

DE , EF
BC AB
EF , DE
l1
l2
A
D
l3
AB DE , AC DF
AC DF AB DE
27.2相似三角形的判定
预备定理
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵A A, B B, C C
AB BC CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
三角形相似具有
传递性!
或：Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
Δ OAB∽Δ OCD
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
F
G
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
相似三角形判定方法

三角形相似的预备定理

直觉告诉我们，ADE和ABC形状是相同的，即ADE和ABC相似。
思考：如何证明呢？
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC 于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC 于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。
分析：先证明两个三角形的对应角相等。在ADE与ABC中，A A,
分析： AB // EF AOB ∽ FOE; EF // CDFOE ∽ DOC; AB // CDAOB ∽ DOC.
例：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。
(设网球是直线运动)
图中有几个相似三角形？
解：图中的两个竖线都是
垂直于水平线的，即互相平行，
AE AC 8 .
BC
33
例：如图，BE, CF是ABC的中线，交于点G,
求证：GE GF 1 。 GB GC 2
证明：连接EF , EF为AC, AB的中点，
A EF为ABC的中位线,即EF // BC,且EF 1 BC,
F
G
E
2
EGF ∽ BGC
B
C
EF
GF
GE
1.
BC GC GB 2
AD AE DE .
AB
AC
BC
证明了ADE, ABC的对应角相等，对应边的比相等，
所以ADE ∽ ABC。
判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
例：如图，AB∥EF∥CD，图中共有 3 对相似三角形，写出来并说明理由。
相似三角形的判断（2）三角形相似的预备定理

相似三角形的判定-预备定理

2、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB 于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若 3:5 。 AD:DB=3:2，则EC:BC=______ D
A
E
C
探索发现：
如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D 作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC 相似吗? A
D B E C
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.
k
A1 A
B
C
B1
C1
若△ABC与△DEF相似,且相似比是K,那么 △DEF 与△ABC的相似比是多少?
AB 若△ABC∽△DEF,则相似比为 DE K , DE 1 若△DEF ∽△ABC,则相似比为 AB K .
相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？当两个三角形的相似比为 1 时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
∴△ADE∽△ABC
知识要点
平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D B
E C
勤于动脑：
观察图形，如果平行线DE与三角形的另两边的延长线相交,此时截得的三角形和原三角形还相似吗? D A E
即：如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
想一想：
“△ABC与△ A′B′C′相似”与“△ABC∽△A′B′C′” 有区别吗？
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，

相似三角形判定的预备定理-北京版九年级数学上册教案

相似三角形判定的预备定理-北京版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解相似三角形的定义及其性质。

2.掌握相似三角形的判定方法之一：角-角-相似。

3.能够应用所学知识解决与相似三角形相关的问题。

4.培养学生的分析问题和解决问题的能力。

二、教学重难点1.重点：相似三角形的定义及其性质，角-角-相似判定方法。

2.难点：如何运用所学知识解决与相似三角形相关的问题。

三、教学内容及学习方法1. 课前热身（5分钟）出示两个三角形的图形，让学生从直觉上判断它们是否相似，并询问学生他们的判断依据。

引入相似三角形的概念及其性质，导入本节课的主题。

2. 学习和探讨（40分钟）（1）相似三角形的定义及其性质定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

性质： 1. 相似三角形的对应边成比例。

2. 相似三角形的对应角相等。

3. 相似三角形的周长和面积分别成比例。

（2）角-角-相似判定方法判定方法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

应用：利用角-角-相似判定方法，判定两个三角形是否相似，同时运用相似三角形的性质来解决问题。

3. 练习和巩固（15分钟）练习：在讲解完相关知识后，教师出示几道练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容，并给出解答。

4. 课后反思（5分钟）将学生的反馈意见进行总结，索取他们的意见和建议，并在今后的教学中加以运用。

四、教学反馈与解决方案在进行本课教学中，学生的学习积极性较高，能够动手尝试计算题目，教师也根据学生的不同程度做了不同的讲解。

但在教学中也存在着一些问题，如时间安排过于紧凑，缺乏足够的练习时间等。

在今后的教学中，应该逐步完善教学计划，增加练习时间，提高教学效果。

九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件

点的字母写在对应的位置上，这样
便于找出相似三角形的对应角和对应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”,没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系.
师友展示
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.