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2019 考研数学完整版及参考答案

一、选择题： 1－ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数y f ( x) 具有二阶导数，且 f ( x ) 0, f ( x )0 ，x为自变量x在点x0处的增

量，y与 d y 分别为 f ( x ) 在点x0处对应的增量与微分，若x 0 ，则（）

(A)0 dy y .(B)0y dy .

(C)y dy 0 .(D)dy y 0 .

x

（2）设f ( x )是奇函数，除x0 外处处连续，x0 是其第一类间断点，则（ A）连续的奇函数 .（B）连续的偶函数

（C）在x0 间断的奇函数（D）在x0 间断的偶函数.

（3）设函数g ( x )可微， h(x)e1 g(x) , h (1)1,g (1)2，则g(1)等于（

（ A）ln31.（B）ln3 1.

（ C）ln 2 1.（D）ln 2 1.

（4）函数y C1e x C2e 2x xe x满足的一个微分方程是[]

（ A）

y y 2

y

3 e x.（B）

y y

2 3e x.

x y

（ C）

y y 2

y

3 e x.（D）

y y

2

y

3e x.

x

（5）设f ( x, y)为连续函数，则04 d 1

0 f (r cos, r sin)rdr

等于（）

21x 2f ( x, y)d y .

（ B）

2

dx1x

2

（Ａ）

02 dx

2

f ( x, y)d y

.

x0

2 1 y22

1y2

(C)2dy f ( x, y)dx .(D)2 d y f ( x, y )d x .

y0

00

f (t )dt

是0

（）

）

（6）设 f ( x , y )与( x , y ) 均为可微函数，且

y (,

y

)0 ，已知(x , y )是 f ( x, y) 在约束x0 0

条件 ( x , y )0 下的一个极值点，下列选项正确的是（）

(A)若 f x(x0 , y0 )0 ，则f y( x0, y0)0 .

(B)若

f x(x0 , y0 )0 ，则f

y( x0, y0)0 .

(C)若

f x ( x0 , y0 )0 ，则f

y( x0, y0)0.

(D)若 f x ( x0 , y0 )0 ，则f y( x0, y0)0.

（7）设

1, 2,L , s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是

[ ]

(A) 若 1, 2 ,L , s 线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性相关 . (B) 若 1, 2 ,L , s 线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性无关 . (C) 若 1, 2 ,L , s 线性无关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性相关 .

(D)

若 1, 2 ,L , s 线性无关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性无关 .

（8）设

A

为 3 阶矩阵，将A

的第 2 行加到第 1 行得 B

，再将 B

的第 1 列的

1

倍加到第

1 1 0

2 列得 C ，记 P0

1 0 ，则（）

0 0 1

（Ａ） C P 1 AP .

（Ｂ） C PAP 1 .

（Ｃ） C

P T AP .

（Ｄ） C PAP T .

一．填空题

（9）曲线 y

x 4sin x 的水平渐近线方程为

2cos x

5 x

1 x

2

sin t dt, x 0

在 x

0 处连续，则 a

（10）设函数 f ( x)

x 3

a,

x 0

（11）广义积分

xdx .

(1 x 2 )2

（12） 微分方程 y

y (1 x )

的通解是

x

（13）设函数 y

y( x) 由方程 y

y

dy

1 xe 确定，则

dx

x 0

（14）设矩阵 A

2

1 ， E 为

2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B 2E ，则

1 2

B

.

三 、解答题： 15－ 23 小题，共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

（ 15）（本题满分 10 分）

试确定 A, B,C 的值，使得

e x (1 Bx Cx 2 ) 1 Ax o(x 3 ) ，

其中 o(x 3

)是当 x

0 时比 x 3 高阶的无穷小 .

（16）（本题满分 10 分）

求arcsine x

dx. e x （17）（本题满分 10 分）

设区域D( x, y ) x2y 21, x

1xy

dxdy.

0 ，计算二重积分22

D 1 x y

（18）（本题满分12 分）

设数列

x n满足 0 x1, x n 1sinx n (n 1,2,L )（Ⅰ）证明lim x n存在，并求该极限；

n

1

（Ⅱ）计算lim x n 1x2n.

n x n

（19）（本题满分 10 分）

证明：当 0 a b时，

b sin b2cos b b a sin a2cosa a .（20）（本题满分 12分）

设函数

f ( u) 在

(0,) 内具有二阶导数，且z f x 2y 2满足等式

2 z 2 z0.

x 2y2

（ I ）验证f ( u ) f ( u )0 ；

u

（ II ）若 f (1)0, f (1) 1 ，求函数 f ( u ) 的表达式.（21）（本题满分 12分）

已知曲线 L 的方程x t21,

y4t t 2

(t 0)

（ I ）讨论L的凹凸性；

（ II ）过点(1,0) 引 L 的切线，求切点(x0, y0) ，并写出切线的方程；

（ III）求此切线与L（对应于x x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

（22）（本题满分 9 分）

已知非齐次线性方程组

x1x2x3 x41

4x13x25x3x41

ax1x23x3bx41

有 3 个线性无关的解.