最值问题教师版个性化

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学科数学年级九年级教材版本浙教版课称名称专题5 最值问题

教学目标1、线段最值问题常见的两种模型

2、模型的应用

3、学会观察、分析

教学重点线段最值问题常见两种模型教学难点线段最值问题常见两种模型

课堂教学过程试试看：与最值有关的知识与题目能想起多少？

说明：最值问题是指最大最小、最多最少、最长最短问题，让我们翻开记忆，按最值问题在课本出现的顺序搜索一下：

（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短；

（3）不等式的最大（小）解；（4）二次整式最值；

（5）线段和最小差最大；（6）勾股对称最短路径；

（7）一次函数最优方案；（8）二次函数的最值；

（9）圆中最长弦是直径；（10）圆的最近（远）距离－－－

以上所列，有的是同一问题、有的是具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出现，为了简捷实用，提升能力、直面中考，通过整理，就以下几个问题展开研究：（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短

（3）圆中最长弦是直径；（4）两正数和的最小值

（5）不等式一次函数最优方案；（6）二次函数最值；

（7）几何最值探究

一、两点之间线段最短

（一）线段和（PA＋PB）最小：“两点之间线段最短”与轴对称结合.

【通法】求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”；作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段长即为该最小距离，该线段与这条直线的交点即为所求点.

例6－1－1 几何模型

（1）如图6－1－1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小.你的根据是.

模型应用：

A

B

m

A

B

m

图6－1－1图6－1－1

（3）如图6－1－1③，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一点，则 PE ＋PB 的最小值为 .

（4）如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .

（5）如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .

【规律】题目背景不对，但解决问题方法一样，都是作对称点、连线段、求最值.

体验与感悟6－1－1

1.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .

（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则P A ＋PC 的最小值是 ；

（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为 .

2.（1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 .

（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 .

B

C

A

D E

P

A

O

B

C D

A

B C E

P

图6－1－2

图6－1－2图6－1－2

A

B

C

D

P

E

A

B

C D

P

M

N

A

C B

D

E

P

图6－1－1

图6－1－1

图6－1－1

（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .

3.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .

（2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x

-

(x <0)上，点P 、Q 分别是x 轴、

y 轴上的动点，当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.

A .y ＝x

B .y ＝x ＋1

C .y ＝x ＋2

D .y ＝x ＋3

4. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝2

30，试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM ＋MN

＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ ）

A .6

B .8

C .10

D .12

（二）“小虫爬行问题”

【通法】见“小虫爬行问题”作展开图构造Rt △，再用勾股定理求之.

例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？

【规律】“小小相加凑一边时路径最短.”

B

A

A

B

O

P

R

Q

A

P

Q

O B

y

x a b

图6－1－4

图6－1－4

图6－1－5

A

D

C

B

K

P Q

x

P

B

C

A

O

y

A

C

D

B

M

N

图6－1－3

图6－1－3

图6－1－3