悬臂梁固有频率的计算

悬臂梁固有频率的计算

试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。

解：法一：欧拉-伯努利梁理论

悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂；

悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l

dw w w

w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到

1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2

4

A EI

ρωβ=

将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得

12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得

12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要

求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即

(cos cosh )

(sin sinh )

=0(sin sinh )(cos cosh )

l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+

所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；

该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：12

2

4

()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各

n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；

若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n

n n l l C C l l

ββββ+=-+；

因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l l

W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得

到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：

111

2

22

222123444

1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al

ωωωρρρ===，，， 112

22

24544

10.995541()14.1372()EI EI Al Al

ωωρρ==，；

法二、铁摩辛柯梁梁理论

1.悬臂梁的自由振动微分方程：

4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂；

边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x l

x l

w x x φ

φ

==∂∂-==∂∂（2）

； 设方程的通解为：(,)Csin

cos n n x

w x t w t l

π=；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：4

22222224442224r ()(1)0n

n

n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22

I EI r A A

αρ==，；若转

动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为22

2n n w l απ=

；当n=1,2,3,4,5时可分别

求得固有频率为：

12345w w w w w =====

多自由度系统频率的计算方法

等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量1

2345m

5

m m m m m =====

。 1.邓克莱法

邓克莱公式为：

111222555211

a a a m m m ω≈+++ ，其中33333

11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI

=

====，12345m

5

m m m m m =====；将其代入上式可求得系统的基频为：1

2

1

4

2.887()EI w Al ρ，此基频比用伯努

利-欧拉梁求得的一阶固有频率

1

2

214

1.875104()EI Al ωρ=偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。

2.瑞利法

系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为

0000000010

000500000

m

m

M m m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3

3

33

3333333

333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l EI EI EI

∆=33l EI

EI

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

135177986279322212700045002258541811818627911172112447194500157505861931811813222112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EI K l --------=∆=-----60291

30⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎣⎦

取静变形曲线为假设阵型，设(40141279436600)T

A =有

32

31122000EI 28401503l m 649418m,,75EI

T

T

T A MA A KA A M MA l ==∆=

所以448.648.57(A)=,(A)T T T T A KA EI A MA EI

R R A MA l A M MA l ρρI II

===∆，

此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率1

2

214

1.875104()EI Al ωρ=偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

3.里茨法

系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为12(1

2345)(13579)T T ψψ==，；