悬臂梁固有频率的计算

悬臂梁固有频率的计算试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。

解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x ldw w ww x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中24A EIρωβ=将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(cos cosh )(sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh )l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n nn n l l C C l lββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l lW n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1112222221234441.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Alωωωρρρ===，，， 112222454410.995541()14.1372()EI EI Al Alωωρρ==，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂；边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x lx lw x x φφ==∂∂-==∂∂（2）； 设方程的通解为：(,)Csincos n n xw x t w t lπ=；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：422222224442224r ()(1)0nnn r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22I EI r A Aαρ==，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为222n n w l απ=；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：12345w w w w w =====多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量12345m5m m m m m =====。

1.邓克莱法邓克莱公式为：111222555211a a a m m m ω≈+++ ，其中3333311223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI=====，12345m5m m m m m =====；将其代入上式可求得系统的基频为：12142.887()EI w Al ρ，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104()EI Al ωρ=偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。

2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为0000000010000500000mmM m m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦33333333333333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l EI EI EI∆=33l EIEI⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦135177986279322212700045002258541811818627911172112447194500157505861931811813222112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EI K l --------=∆=-----6029130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦取静变形曲线为假设阵型，设(40141279436600)TA =有3231122000EI 28401503l m 649418m,,75EITTT A MA A KA A M MA l ==∆=所以448.648.57(A)=,(A)T T T T A KA EI A MA EIR R A MA l A M MA l ρρI II===∆，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104()EI Al ωρ=偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为12(12345)(13579)T T ψψ==，；则可求出**,M K 分别为*T 33*T335595=9516578375EI 57375EI 181l 181l 57375EI 78375EI 181l 181l m m M M m m K K ψψψψ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将**,M K 代入**2**()0K w M A -=得**2*0K w M -=；可以求得：*1w ==*2w ==*(1)*(2)11A ,A 0.5780.29⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；所以系统前两阶主阵型的近似为(1)*(1)(2)*(2)1.0000 1.0000 0.6303 1.5915A =A =0.422 0.2607,A =A =0.712.1831 -0.1090 2.7746 -0.47873.3662ψψ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.雅克比法动力矩阵为333333333333333333333l m l m4l m11l m 7l m 375EI 150EI 375EI 750EI 375EI l m8l m 14l m 4l m 26l m 150EI 375EI375EI 75EI 375EI 4l m 14l m9l m 27l m 18l m 375EI 375EI 125EI 250EI 125EI 11l m 4l m 27l m 64l m 88l m 750EI 75EI 250EI 375EI 375EI 7l m 2375EI D M =∆=33336l m 18l m 88l m l m 375EI125EI375EI 3EI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率2.93 0 0 0 0 0 18.70 0 0 0 0 0 52.7 0 0 0 0 0 100 00 0 0 0 158.11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0.0459 0.1669 0.3387 0.5393 0.7513 0.2290 0.5589 0.5802 0.1677 -0.5201 -0.4879 -0.5446 0.2548 0.5306 -0.3448 -0.6481 0.1332 0.4650 -0.5539 0.19T79 0.5361 -0.5878 0.5172 -0.3046 0.0833⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。