2.1复数的加法与减法
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
新版高中数学必修2课件：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
提示：我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋ di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi(a，b∈R) 减去复数c＋di(c，d∈R)的差，记作(a＋bi)－(c＋di)．
根据复数相等的含义，c＋x＝a，d＋y＝b， 因此x＝a－c，y＝b－d， 所以x＋yi＝(a－c)＋(b－d)i， 即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i. 答案：A
2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是 ()
A．1 Bห้องสมุดไป่ตู้ 2 C．－1 D．－i
解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i， 故复数z的虚部为－1. 答案：C
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2 ＝________.
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形，∴|z1－z2|＝ 2.
方法归纳
1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本 章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2| ＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方 形．
(2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四
边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA ＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC ＝________.
高二数学复数的加减乘除与运算规则
高二数学复数的加减乘除与运算规则复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
在高二数学中，我们学习了复数的加减乘除与运算规则，它们是我们在解决复数相关问题时的基础。
本文将对这些运算规则进行详细的介绍。
一、复数的加法与减法规则复数的加法规则很简单，实部相加得到新的实部，虚部相加得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和可以表示为(z1+z2) = (a+c) + (b+d)i。
同样地，复数的减法规则也很直观，实部相减得到新的实部，虚部相减得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的差可以表示为(z1-z2) = (a-c) + (b-d)i。
二、复数的乘法规则复数的乘法规则需要我们对两个复数进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算实部的乘积，然后计算虚部的乘积，最后将两部分相加。
所以，两个复数的乘积可以表示为：(z1*z2) = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则有些类似，但需要注意的是，我们需要将除数的共轭复数乘以被除数，然后进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算两个复数的乘积，然后将乘积的实部和虚部除以除数的模的平方。
所以，两个复数的除法可以表示为：(z1/z2) = (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2 + d^2)以上就是高二数学中复数的加减乘除与运算规则的详细介绍。
通过掌握这些规则，我们可以更加熟练地进行复数的运算，解决与复数相关的问题。
同时，在实际应用中，我们可以利用这些规则简化计算，并应用到其他数学领域中。
2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课典文 型精例讲题
例2:根据复数及其运算的几何意义，求复平面 1.（重内点的）两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离. 解: 因为复平面内的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的
复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，所以点 Z1,Z2之间的距离为 Z1Z2 Z1Z2 z2 z1 | ( x2 y2i) ( x1 y1i) |
进行，这是复数减法的几何意义.
课典文 型精例讲题
例1:计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 1.（重点） 解: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=(5-2-3)+(-6-1-4)i =-11i.
课典文 型精例讲题
总结:本题还可以这样解： 1.（重点(5-）6i)+(-2-i)-(3+4i)
1.复数的减法法则
根据复数相等的含义，c+x=a,d+y=b, 因此x=a-c,y=b-d, 所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即
实部相减为实部
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
虚部相减为虚部
课文精讲
➢ 复数的减法 1.（重点）
1.复数的减法法则
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复 数的差是一个确定的复数.可以看出，两个复数 相减例讲题
总结:尽管 AB 的位置可以不同，只要它们的 1.（重点终）点与始点所对应的复数的差相同，那
么向量 AB 所对应的复数就是唯一的， 因此我们将复平面上的向量称之为自由 向量，即它只与其方向和长度有关，而 与其位置无关.
本课小结
复数的加法
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件ppt
正弦值,进而求出△AOB 的面积.
解 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
微练习
(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=
(2)(5-5i)-3i=
.
答案 (1)1+2i (2)5-8i
解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.
(2)(5-5i)-3i=5-8i.
.
知识点二、复数加法的几何意义
设1 , 2 分别与复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则1 =(a,b),2 =(c,d).
这说明两个向量1 与2 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此,复
数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
微练习
若在复平面上的平行四边形 ABCD 中, 对应的复数为 6+8i,对应的复数
为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
因此 cos∠AOB=- 17 ,故 sin∠AOB= 17 ,
1
1
17 5 4 17 5
5
故 S△AOB=2 ||||sin∠AOB=2 × 2 × 2 × 17 = 2,即△AOB 面积为2.
§2复数的四则运算(1)
2.1复数的加法与减法教学目标:1.理解复数代数形式的四则运算法则2.能运用运算律进行复数的四则运算.教学重点：复数的加法、减法运算教学难点：复数加减运算教学过程：一、问题情景1、 任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算？二、学生活动已知:di c Z bi a Z +=+=21；如何计算：21Z Z Z +==？=21.Z Z ?三、建构数学1.复数的加法、减法运算设di c Z bi a Z +=+=21；是任意两个复数，则21Z Z Z +==i d b c a di c bi a ）（）（）（）（+++=+++ i d b c a di c bi a Z Z Z ）（）（）（）（-+-=+-+=-=212.复数运算律：）（）；（3213211221Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ++=+++=+四、数学运用例计算(1) ）（）（）（i i i 945231+-++--.(2)(i 21-)+(i 32+-)+(i 43-)+…+(i 20032002+-)+(i 20042003-).思考: 当0>a 时，方程02=+a x 的解是什么？思考：在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？同步练习:1.一个实数与一个虚数的差 （ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数2.已知复数i m m z i z )1(,2121-+=+=,要使21.z z 的实部与虚部相等,则实数m 的值为______________3.已知虚数x 与y 实部相等,虚部互为相反数,且i xyi y x 6432-=-+）（,求y x ,.。
【新教材精品教案】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计(2)-人教A版高中数学
【新教材】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计（人教A 版）复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、 情景导入提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。
3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----121472z i Z i =+=-与12OZ OZ +②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义图321如图321所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．四、典例分析、举一反三题型一 复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i.(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i.解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]；(2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i.(2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离.【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i .所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项)向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是z B －z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D 2， 所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值．【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z |max ＝6，|z |min ＝4.解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）(1)|z －z 0|表示复数z ，z 0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z －z 0|＝r 表示以z 0对应的点为圆心，r 为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝ 2.【解析】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝ 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.。
复数的加法与减法(课件)高一数学(北师大版2019 必修第二册)
课前探究学习
课堂讲练互动
2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数加减法的几何意义
如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形
OZ1ZZ2 为平行四边形，则与
z1＋z2 对应的向量是
→ OZ
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．正确理解复数代数形式的加、减运算法则 复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆 运算，其合理性可以从以下几点理解： (1)当复数的虚部为零时，与实数的加、减法法则一致． (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立． (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数． (4)可以推广到多个复数进行加、减运算．
∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部．
于是|z|＝ 2－|z|2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， ∴|z|＝17.代入 z＝2－|z|＋8i 得：z＝－15＋8i.
课前探究学习
课堂讲练互动
误区警示 复数减法的几何意义应用有误而致错
【示例】 已知复数 z1＝2＋i，z2＝1＋2i 在复平面内对应 的点分别为 A、B，求A→B对应的复数 z 在复平面内所对应 的点在第几象限？
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解 法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i.
∴a＋ a2＋b2＝2， b＝8，
解得ab＝ ＝－ 8. 15，
∴z＝－15＋8i.
法二 原式可化为：z＝2－|z|＋8i，
复数的加法和减法(上课用)ppt
OZ1=(a,b) OZ2=(c,d)
z z 1 z2 a c b d i
uuur uuur uuuur y
Z(a+c,b+d)
OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c,d )
Z2(c,d)
= (a + c,b + d )
Z1(a,b)
结论：复数的加法o可以按照向量的加法来进行 x
-
13
1.已知复数z对应点A,说明下列各式所 表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点Z到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|点Z到点(－1, －2)的
距离
(3)|z+2i| 点Z到点(0, －2)的距离
(4)|z－1| 点A到点(1,0)的距离
-
14
2. 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2 ∴
y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
-
8
例4、设Z , Z ∈C，求证：
12
Z +Z
12
=
Z 1+
Z
2
，Z -Z=
12
Z- 1
Z
2
证明：设Z=1 a1+b1i ， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)
=(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
高中数学人教A版2019必修第二册 7 2 1 复数的加 减法运算及其几何意义 导学案
7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义学习目标1.知识目标1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2.核心素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点难点重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.学习过程一、预习导入阅读课本75-76页，填写。
1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则①z1＋z2＝__________________________；②z1－z2＝__________________________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝___________； ②(z 1＋z 2)＋z 3＝___________． 2．复数加减法的几何意义图321如图321所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数___________对应，向量Z 2Z 1→与复数___________对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？ 提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．小试牛刀1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． ( ) 2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8i3．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|等于( ) A ． 2 B ．2 C ．10 D ．4 4．(5－i)－(3－i)－5i ＝________.自主探究题型一 复数的加减运算 例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)； (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)； (3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)． 跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]；(2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)． 题型二 复数加减运算的几何意义 例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离. 跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长． 题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值． 跟踪训练三1．设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.当堂检测1. a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.5．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．答案小试牛刀 1. (1) × (2) × (3) × 2．B. 3．B. 4. 2－5i. 自主探究例1 【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i. 【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i. (3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i. 跟踪训练一1．【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i.(2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i. 例2【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i . 所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2跟踪训练二1、【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. 例3 【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5， 所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z |max ＝6，|z |min ＝4. 跟踪训练三1．【答案】|z 1－z 2|＝ 2.【解析】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2， 又(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2， 可得2ac ＋2bd ＝0.∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2. 当堂检测1-2.DB 3. 5 4. -15. 【答案】向量OA →＋OB →对应的复数为2.向量BA →对应的复数为－8－2i. A ，B 两点间的距离为217. 【解析】向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝217.。
复数运算的基本法则
引言：复数运算是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛应用。
本文将介绍复数运算的基本法则，包括复数的加减、乘法、除法规则，以及复数的共轭和模等概念。
概述：复数由实数部分和虚数部分组成，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的运算包括加减、乘法、除法等基本操作，这些操作有一定的规则，下文将逐一介绍。
正文：（大点1）复数的加法规则1.1实部的加法规则：两个复数的实部相加，虚部保持不变。
1.2虚部的加法规则：两个复数的虚部相加，实部保持不变。
1.3复数的加法运算可用坐标表示：复数加法的运算可以看作是向量相加，即将两个复数的实部和虚部分别相加。
（大点2）复数的减法规则2.1实部的减法规则：两个复数的实部相减，虚部保持不变。
2.2虚部的减法规则：两个复数的虚部相减，实部保持不变。
2.3复数的减法可用向量表示：复数的减法运算可以视为从第一个复数到第二个复数的向量差。
（大点3）复数的乘法规则3.1复数的乘积公式：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i。
3.2实数与复数的乘法规则：实数与复数相乘时只需将实数乘以复数的实部和虚部。
3.3复数的乘法可用极坐标表示：复数的乘法运算可以用极坐标表示，即将模相乘，幅角相加。
（大点4）复数的除法规则4.1复数的除法公式：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)+(bcad)i]/(c^2+d^2)。
4.2除数的倒数：如果一个复数的模为1，那么它的倒数等于它的共轭。
4.3复数的除法可用极坐标表示：复数的除法运算可以用极坐标表示，即将模相除，幅角相减。
（大点5）复数的共轭和模5.1复数的共轭定义：一个复数的共轭将虚部的符号取反。
5.2复数共轭的性质：共轭的和等于和的共轭，共轭的差等于差的共轭，共轭的积等于积的共轭。
5.3复数的模定义：复数的模是实部和虚部构成的向量的长度。
5.4复数的模的性质：复数的模大于等于0，模为0的复数为零，模相等的复数相等。
7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)
【变式训练3】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量 对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一 复数的加、减运算
【例1】 计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用
2024-2025年北师大版数学必修第二册5.2.1复数的加法与减法(带答案)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法必备知识基础练知识点一 复数的加法与减法运算 1．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)；(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)].知识点二 复数加减法的几何意义2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量OZ 1→ 对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→ 对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．4.如图，平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO → 所对应的复数，BC →所对应的复数； (2)对角线CA →所对应的复数；(3)B 点对应的复数．知识点三 复数加减法的应用5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形6．已知z ∈C ，指出下列等式所表示的几何图形． (1)|z ＋1＋i|＝1； (2)|z －1|＝|z ＋2i|.关键能力综合练一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数z 1＝－3＋2i ，z 2＝1－4i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m ＝( ) A ．4 B ．－1 C ．6 D ．03．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA → ，OB →，则复数z 1－z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA → ，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i5．(易错题)设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题6．已知复数z 1，z 2满足z 1－2z 2＝5＋i ，2z 1＋z 2＝3i ，则z 1＝________．7．已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．8．(探究题)复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为2＋3i ，向量BC →对应的复数为3－i ，则点C 对应的复数为________．三、解答题9．已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应复数－5－2i ，－4＋5i ，2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．学科素养升级练1.(多选题)已知复数z 0＝1＋2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z －1|＝|z －i|，下列结论正确的是( )A ．P 0点的坐标为(1，2)B ．复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为222．(学科素养——数学运算)已知复平面内的平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．2．1 复数的加法与减法必备知识基础练1．解析：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i. 2．答案：B解析：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故其对应的点位于第二象限．故选B.3．答案：1－i解析：∵Z 1Z 2＝OZ 2－OZ 1，∴向量Z 1Z 2对应的复数为(3－4i)－(2－3i)＝1－i.4．解析：(1)AO → ＝－OA →， ∴AO →所对应的复数为－3－2i. ∵BC → ＝AO →， ∴BC →所对应的复数为－3－2i. (2)CA → ＝OA → －OC → ， ∴CA →所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ， ∴OB →所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i. 5．答案：B解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA → ，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．故选B.6．解析：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点(1，0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线．关键能力综合练1．答案：C解析：由复数加法运算可知，z ＝z 1＋z 2＝－3＋2i ＋1－4i ＝－2－2i ，在复平面内对应的点坐标为(－2，－2)，在第三象限．故选C.2．答案：B解析：由题意可得z 1＝z 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1.故选B.3．答案：C解析：由图可知OA → ＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，因此z 1－z 2＝－2－i －i ＝－2－2i ，所以z 1－z 2在复平面内所对应的点为(－2，－2)，在第三象限．故选C.4．答案：D解析：在▱ABCD 中，CD → ＝BA → ＝OA → －OB →＝3＋i －(－1＋3i)＝4－2i.故选D. 5．答案：B解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1－z 2一定不是虚数，因此当z 1－z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，所以必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数时，z 1－z 2不一定是虚数，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立．故选B.6．答案：1＋75i解析：由题意得z 1－2z 2＋2()2z 1＋z 2 ＝5z 1＝5＋i ＋6i ＝5＋7i ，所以z 1＝1＋75i.7．答案：(2，＋∞)解析：由题意得z 1－z 2＝(2－a )＋(a －1)i ，因为复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a <0，a －1>0， 解得a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 8．答案：3－3i解析：设O 为坐标原点，由BA → ＝OA → －OB → 得OB → ＝OA → －BA →＝(2，1)－(2，3)＝(0，－2)，所以OC → ＝OB → ＋BC →＝(0，－2)＋(3，－1)＝(3，－3)，所以点C 对应的复数是3－3i. 9．解析：设AC 与BD 的交点为M ，则z M ＝z A ＋z C 2 ＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝(－5－2i)＋2－(－4＋5i)＝1－7i. 即点D 对应的复数为1－7i.因为z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC |＝|7＋2i|＝72＋22＝53 ，因为z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD |＝|5－12i|＝52＋（－12）2＝13.学科素养升级练1．答案：ACD解析：复数z 0＝1＋2i 在复平面内对应的点为P 0(1，2)，故A 正确；复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称，故B 错误；设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入|z －1|＝|z －i|，得|(x －1)＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，即（x －1）2＋y 2 ＝x 2＋（y －1）2，整理得y ＝x ，即点Z 在直线y ＝x 上，故C 正确；易知点P 0到直线y ＝x 的垂线段的长度即为P 0，Z 两点之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为|1－2|2 ＝22 ，故D 正确．故选ACD.2．解析：(1)∵向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i.∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵OC → ＝OA → ＋AC → ，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD → ＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1). 设D (x ，y )， 则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA → ·BC → ＝|BA → ||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10 ＝152 ＝210 .∵0<B <π，∴sin B ＝7210 ，∴S ▱ABCD ＝|BA → ||BC →|sin B ＝5 ×10 ×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.。
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式1. 复数的定义与表示方式复数是由实部和虚部组成的数。
通常情况下，可以用 a+bi 的形式来表示一个复数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
2. 复数的运算规则2.1 复数的加法与减法复数的加法和减法可以分别通过实部和虚部的运算来进行。
具体规则如下：- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的和为 z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，差为 z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
2.2 复数的乘法与除法复数的乘法和除法可以通过展开公式来进行。
具体规则如下：- 乘法：实部相乘减去虚部相乘，并将实部与虚部相乘后再相加。
- 除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，再除以除数的模的平方。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的乘积为z1 \* z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i，商为 z1 / z2 = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i。
3. 复数的共轭与模3.1 复数的共轭一个复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数可以通过改变虚部的符号来得到。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的共轭为 z* = a - bi。
3.2 复数的模一个复数的模是指将实部和虚部的平方和的平方根。
模可以表示复数到原点的距离。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的模为|z| = √(a^2 + b^2)。
总结复数的运算与表示方式包括复数的加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法可以通过实部和虚部运算得到，乘法和除法可以通过展开公式或共轭复数得到。