概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计考试试卷与答案
概率论与数理统计考试试卷与答案一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。
解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。
概率论与数理统计试题及答案(自考)
概率论与数理统计试题及答案（自考）一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】：A解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。
2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】：B解析：无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。
A、sB、C、D、【正确答案】：C解析：样本均值是总体均值的无偏估计量。
故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。
A、B、C、D、【正确答案】：B解析：5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】：B解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。
6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】：A解析：本题考察假设检验“两类错误”内容。
选择A。
7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】：D解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。
计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。
8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】：B解析：样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。
则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-】3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f则下列等式成立的是（ ）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()$5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （ ）． (A)⎰b ax x F d )( (B) ⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）． (A) (B) (C) (D)`8. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（ ）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （ ）．￥(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （ ）．(A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）． (A) E X D X (),().==321 (B) 9.0)(,3)(==X D X E (C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==0321《13. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（ ）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （ ）．(A) 30 (B) 20 (C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N .|(A)10050-X (B) 1050-X(C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ ）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（ ）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=1%18. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（ ）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（ ）成立． …(A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立 (C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（ ）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容%23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（ ）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（ ）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+(C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的． %(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（ ）. ?(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅=(C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为，，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）. (A) (B) (C) (D)~30. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（ ）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（ ）有关.—(A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（ ）．(A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α;35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为的置信区间为（ ）.>(A) （x －n σ，x +n σ） (B) （x －nσ，x +nσ）(C) （x －nσ，x +nσ） (D) （x －nσ，x +nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（ ）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++%40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（ ）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（ ）.(A) x (B) ∑=-n i i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ ）是统计量． /(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量． （A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.—(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（ ）．(A) 0 (B) 81(C) 21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（ ）.(A) (B) (C) (D)~47. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ ）成立．【(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D +=(C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=, D (X )=，则（ ）． (A) n = 8, p = (B) n = 6, p = (C) n = 6, p = (D) n = 24, p =二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = ，P (B ) = ，P (B A +) = ，则P (AB ) = 0．:2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+． \3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.》5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．/7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1． '8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．'10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .]2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).：3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，求A 与B 只有一个发生的概率."5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +． ?7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．￥8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = ，P (B ) = ，P (A B )=，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少^10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().[12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．-13. 已知P (B ) = ，)(B A P =，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．;15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.@16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为，第二道工序的次品率为，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.%18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19.268-16. 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．、20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．&21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.[23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.—25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.@26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是和，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是，乙工序的次品率是，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.(28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则X 的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P A B P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布(A) 2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211,(())1n ii X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩，其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，12,,,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2(,)N μσ.2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2σ)的样本，证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布，并写出自由度.Y X 0 10 1一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，P(A 1)=，P(A 2)=，P(A 3)=，P(B|A 1)=，P(B|A 2)=，P(B|A 3)= ………3分(1)P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分=++= ………7分 (2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2．（10分）解：(1) X ～b(3，， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== ………3分X 0 1 2 3p………7分(2)P{X 1}=1－P{X=0}= ………10分 3．（12分）解：（1）01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分（2）()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, (10)分2412(3){/4/2}sin .24P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4．（8分）解： E （X ）＝，E （Y ）＝，E （XY ）＝ ………4分Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－ ………6分 P{X +Y 1}=＋＋= ………8分5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明 ：X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分22()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2．证明：212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
《概率论与数理统计》题库及答案
《概率论与数理统计》题库及答案一、填空题1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.2．设ξ在[0，1]上服从均匀分布，则ξ的概率分布函数F (x )= ＿＿＿,P (ξ≤2)= ＿＿＿.3．设母体)4,30(~N ξ，),,,(4321ξξξξ为来自ξ的一个容量为4的样本，则样本均值~ξ＿＿＿，=>)30(ξP ＿＿＿,),,,(4321ξξξξ的概率密度为＿＿＿.4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.6． 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.7．设ξ具有概率密度⎩⎨⎧<<+=其他031)(x b ax x f ，又)21(2)32(<<=<<ξξP P ，则a = ,b = .8．设ξ与η相互独立，ξ～N (0,1)，η～N (1,2)，令ζ=ξ＋2η，则E ζ=＿＿＿,D ζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.9．已知B A ⊂，P (A )=0.1,P (B )=0.5,则P (AB )= ＿＿＿,P (A +B )= ＿＿＿,=)(B A P ＿＿＿,P (A |B )= ＿＿＿，=+)(B A P ＿＿＿.10．设)4,3(~N ξ，则使得)()(c P c P ≤=>ξξ成立的=c ＿＿＿. 11．已知1-=ξE ，3=ξD ，则 =-)]2(3[2ξE ＿＿＿.12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 ． 13. 相关系数的取值范围是 ．14. 设总体),(~2σξa N ，2σ已知，),...,(1n X X 为来自ξ的一个样本，如检验00:a a H =（常数），则在0H 成立条件下，检验统计量服从 分布．15. 设总体ξ的概率分布列为),...,(,1)0(,)1(1n X X p P p P -====ξξ为来自ξ的一个样本，则=)(X D ．16. 设ξ的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2x x e x f x 当当，则=ξD ．17. 设),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f ， 则η的边沿密=)(y f ．18. =+==⊂)(,5.0)(,1.0)(,B A P B P A P B A 则 ．19. 若,5.0)(,6.0)(==B P A P 7.0)(=+B A P ，则=)(AB P ． 20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 ．21. ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,cos )(πx x A x f 为密度函数，则=A ．22. 两随机变量ξ与η的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则=-)(ηξD . 23. 设)1,0(~N ξ，)(~2n χη，且ξ与η相互独立，则统计量~nηξ． 二、选择题1．若事件A 、B 为互逆事件，则=)(B A P （ ）A. 0B. 0.5C. 1D. Φ2．在四次重复贝努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为80/81，则A 在每次试验中发生的概率p 为（ ）A.4532 B. 31 C.32D. 1－4532 3．若两个随机变量ξ和η的相关系数0=ξηρ，则下列结论正确的是（ ）.A. ()ηξηξD D D -=-B. ()ηξηξD D D +=+C. ()ηξξηD D D =D. ξ和η相互独立4． 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为（ ）A. ABCB. A ＋B ＋CC. C B AD. C B A5． 每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（ ）.A. r n r r n p p C --)1(B. rn r r n p p C ----)1(11 C. rn r p p --)1( D. r n r r n p pC -----)1(1116． 设（ξ,η）具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f ，则A=( )A. 0.1B. 0.5C. 1D. 27． 设),(~2σμξN ，且μ=0，12=σ，令βαξη+=，则D η=( )(α、β为常数)A.βα-B. βα+C.α ④2α 8． 已知ξ的概率密度函数为f (x ),则（ ）A.0≤f (x )≤1B.P (ξ=x )=f (x )C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.P (ξ=x )≤f (x )≤19． 若母体ξ的方差为2σ，则2σ的无偏估计为（ ）A.21S n n -B.2SC.21S n n- D.S 10．设A ，B 为两事件，B A ⊂，则不能推出结论（ ）A. )()(A P AB P =B. )()(B P B A P =⋃C.)()()(B P A P B A P -=D. )()()(A P B P B A P -= 11. 若事件A 、B 互不相容，则=)(B A PA ．0.5B ．0C ．1D ．0.25 12. 设事件A 、B 相互独立，已知5.0)(,25.0)(==B P A P ，则=-)(B A P A ．12.0 B ．125.0 C ．25.0 D ．5.013. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ，则=≤)1.5(ξPA ．0.875B ．⎰-5.10)2dx x （ C ．⎰-5.11)2dx x （ D ．⎰∞--5.1)2xdx x （14. 设)(x f 为连续型随机变量ξ的概率密度，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x F = B ．1)(0<<x f C ．)()(x F x P ==ξ D ．⎰∞+∞-=1)(dx x f15. 设),(ηξ的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ，则C =A ． 1B ．0.5C ．0.25D ．216. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ ， 则=ξEA ．λB ．λ1 C ．2λ D ．21λ17. 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰有两个发生的事件应表示为 A.C B A BC A C AB ++ B. AC BC AB ++ C.ABC C B A BC A C AB +++ D. C A C B B A ++18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A ．83 B ．81)83(5 C ．81)83(348C D ．485C19. 设)1,0(~),4,(~2N a N ηξ记),1(),4(21≥=-≤=ηξp p a p p 则下列正确的是 A ．21p p = B ．21p p ≠ C ．21p p < D ．21p p >20. 设ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(2x Ax x f ， 则A =A ．31 B ．3 C ．21D ．221. 已知连续型随机变量ξ的概率密度为)(x f ，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x P ==ξ B ．1)(=⎰∞+∞-dx x f xC ．1)(0≤≤x FD ．)()(x f x P =≤ξ22. 设随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，如果（ ），恒有1)(0≤≤x f ．A ．),1(~2σξN B ．)1,2(~N ξ C ．),(~2σξa N D ．),0(~2σξN三、计算题1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.2． 如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立、同分布的随机变量，μξ=i E ，),,2,1(8n i D i ==ξ.对于∑==ni i n 11ξξ，写出ξ所满足的切贝晓夫不等式，并估计)4|(|<-μξP .3．在密度函数(),1)(ααx x f +=10<<x 中求参数α 的矩估计和极大似然估计.4． 已知随机变量ξ～N (0，1)，求(1) ξηe =的概率密度； (2) ||ξζ=的概率密度.5． 全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求(1) 3人中至少有1人学过日语的概率； (2) ξ的概率分布列及E ξ.6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ，（θ>0）试求参数θ的矩估计和极大似然估计.7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求（1） 两次都抽到白球的概率； （2） 第二次才抽到白球的概率； （3）第二次抽到白球的概率.8．已知ξ～N (0，1)，求（1）ξe 的概率密度； （2）2ξ的概率密度.9．设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计. 10． 设母体ξ具有指数分布，密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ（0>λ），试求参数λ的矩估计和极大似然估计.11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率. 13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率. 14. 某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(~2N ξ，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（)8413.0)1(=Φ。
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2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本 均值， S 2 为样本方差。
若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（ ） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（ ）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（ ） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（ ）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为（）。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件，若A,B之积为不可能事件，则称（）。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（）.(4分)A :“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B :“甲，乙两种产品均畅销”；C :“甲种产品滞销”；D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件，且B A，则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场券，则（）。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件，且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为（）.(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有两个为红色，4个为蓝色；木质球有3个为红色，7个为蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”；B表示“取到玻璃球”。
概率论及数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判定正误（1）必然事件在一次实验中必然发生，小概率事件在一次实验中必然不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包括的全数样本点是不是同时显现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）假设()0,P A = 那么A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个小孩的家庭小孩的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，那么P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）假设P(A)P(B)≤，那么⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件假设知足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，那么n 个事件彼此独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件知足P(AB)=0，那么©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，那么P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，那么其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）假设A, B 为两随机事件，且B A ⊂，那么以下式子正确的选项是(A)A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，那么()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 知足P(B|A)=1, 那么(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂（7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 那么(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 相互对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 相互独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率别离是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
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一.选择题（18分，每题3分）1.如果1)()(>+B P A P ，则事件A 与B 必定（）)(A 独立；)(B 不独立；)(C 相容；)(D 不相容.2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
现任选4人，则4人血型全不相同的概率为：（）)(A 0.0024；)(B 40024.0；)(C 0. 24；)(D 224.0.3. 设~),(Y X ⎩⎨⎧<+=.,0,1,/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为（）)(A 独立同分布的随机变量；)(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量；)(D 不独立也不同分布的随机变量.4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 （ ）)(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与；(D) 9434与．5.设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（）)(A 32112110351ˆX X X ++=μ；)(B 3212949231ˆX X X ++=μ； )(C 3213216131ˆX X X ++=μ；)(D 32141254131ˆX X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10)(22212n Xini χμχ-=∑=，其拒域为（1.0=α）（）)(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(205.02n χχ≥.二. 填空题（15分，每题3分）1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为.3.已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .4.设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数，则=)(Y E ，=)(Y D .5．设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2σμN X 中抽取的样本，则概率=≤-≤∑=)76.1)(37.0(222012012σσX XP ii .5. 设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 . 三. 计算题（54分，每题9分）1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。
为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。
2．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为1,02,max{0,1}min{1,}(,)0,x x y x f x y otherwise≤≤-≤≤⎧=⎨⎩求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .3. 已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y +=， 试求：(),(),XY E Y D Y ρ.4. 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。
出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。
已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。
5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈+=)1,0(,0)1,0(,)1(),(x x x x f θθθ1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本。
求：(1) 未知参数θ的矩估计量； (2) 未知参数θ的极大似然估计量； (3) )(X E 的极大似然估计量6. 为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有5位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积，得如下数据（单位：2km ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23 设测量误差服从正态分布.试检验（0.05α=）（1）以前认为这块绿地的面积是μ=1.232km ，是否有必要修改以前的结果？ （2）若要求这次测量的标准差不超过0.015σ=，能否认为这次测量的标准差显著偏大？四. 证明题（6分）设12,,,,n X X X 是相互独立且都服从区间],0[θ上的均匀分布的随机变量序列，令1max{}n i i nY X ≤≤=，证明1)(lim =<-∞→εθn n Y P .五．是非题（7分，每题1分）1. 设样本空间{}4321,,,ωωωω=Ω，事件{}431,,ωωω=A ，则75.0)(=A P . （）2. 设n 次独立重复试验中，事件A 出现的次数为X ，则 5n 次独立重复试验中，事件A 出现的次数未必为5X .（）3．设a , b 为常数，F (x )是随机变量X 的分布函数. 若F (a ) <F (b ),则a <b . （） 4. 若随机变量)5.0;1,0;1,0(~),(-N Y X ，则)1,0(~N Y X +（） 5.)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件.（） 6. 若随机变量),(~m m F X ，则概率)1(≤X P 的值与自然数m 无关.（） 7．置信度α-1确定以后，参数的置信区间是唯一的. （）附分布数值表99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ0150.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ一. 选择题（15分，每题3分） [ 方括弧内为B 卷答案 ]C AC AD . . [ A D B CA ] 二. 填空题（18分，每题3分）1. 62.0 [84.0]；2..0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 [0,3.0,2.0,4.0≥-≥≤=+-c b a c a b 且]； 3.),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+ [)22,(),6()22,6(1+∞-∞+-+F F F ]； 4. 4/,2/m m [ 4/,2/n n ] ；5. 985.0 [)1(-+m t mS X α]； 6.)1(--n t nS X α [98.0].五. 是非题（7分，每题1分）非非是是是是非. [ 是非是非非非是 ] 三.计算题（54分，每题9分）1． 解：令 A={抽出一球为白球}，t B ={盒子中有t 个白球}，12,,2,1,0 =t . 由已知条件，131)(=t B P ，12)(tB A P t =,12,,2,1,0 =t ， [ 111)(=t B P ,10)(tB A P t =,10,,2,1,0 =t ]（3分）由全概率公式，∑∑====1201212131)()()(t t t t t B A P B P A P , [∑==10010111)(t tA P ] （3分） 由Bayes 公式，132)()()()(1212131131121212===∑=t t A P B A P B P A B P . [ 112)(10=A B P ] (3分) 2. 解：,01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩[1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈⎧=⎨∉⎩（4分）] （5分）1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈⎧=⎨∉⎩ [,01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩（5分）] （4分）3．解：11111(),()()()222020E X E Y E X E Z ==+=+=（3分） cov(,)(())()()1()12X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==11101()()()()1212001200D Y D X Z D X D Z =+=+=+=[15013] （3分）1XYρ==[2625] （3分） 4．解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i = ，则总价2001ii X X==∑（1分）() 4.6,()0.19i i E X D X ==（2分） 2001()()200 4.6920i i E X E X ===⨯=∑.2001()()2000.1938i i D X D X ===⨯=∑. （2分）(910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-=[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] （4分）5．解：（1）矩估计量12ˆ1X X θ-=- [ ˆ1X Xθ=- ] （3分） （2）极大似然估计量11ˆ11ln ni i X n θ==--∑ [11ˆ1ln ni i X n θ==-∑] （3分）（3）)(X E 的极大似然估计量∑=-=++=n i in X X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ [ 1ln 11ˆˆ)(ˆ11-=+=∑=ni inXX E θθ ] （3分）7. 解：（1）假设01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. [ 01: 1.20;: 1.20H H μμ=≠ ] （1分） 当0H 为真，检验统计量)1(~/0--=n t nS X T μ（3分）0.0252(1)(4) 2.7764t n t α-==，拒绝域(, 2.7764][2.7764,)W =-∞-⋃+∞（3分）221.246,0.0288x s ==， [ 221.23,0.0224x s == ]0 1.242T W =∉，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ] （2分）（2）假设222201:0.015;:0.015H H σσ=>. （1分）当0H 为真，检验统计量)1(~)1(22022--=n S n χσχ（3分）220.05(1)(4)9.488n αχχ-==，拒绝域[9.488,)W =+∞. （3分） 2014.86W χ=∈，拒绝0H . （2分）四．证明题证：⎩⎨⎧∉∈=],0[,0],0[,/1)(~θθθx x x f X i 0,0(),01,1x x F x x x θθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩1max{}n i i nY X ≤≤=的密度为1,[0,]()0,[0,]n n nY ny y f x y θθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩（3分）0ε∀>11||00(||)()(1)0,n n n nny nn nny ny P Y dy dyas n θεθεθεθθθεεθθ----≥<-≥==-==-→→∞⎰⎰即0)(lim =≥-∞→εθn n Y P ，所以1)(lim =<-∞→εθn n Y P . （3分）。