2014年江苏高考数学卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .

4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .

5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象 有一个横坐标为

3

π

的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V

的值是 ▲ .

9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆 4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .

10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(

b

ax y +=2

(a ，b

为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是

▲ .

13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)

3,0[∈x 时,|2

1

2|)(2+

-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .

14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小

值是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分) 已知),2

(ππ

α∈,55sin =α.

(1)求)4

sin(

απ

+的值；

（第3题）

100 80 90 110 120 130 底部周长/cm

（第6题）

（第12题）

(2)求)26

5cos(

απ

-的值.

16.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC

求证: (1)直线//PA 平面DEF ；

(2)平面⊥BDE 平面ABC .

17.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(123

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐

标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.

(1)若点C 的坐标为)3

1

,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；

(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.

18.(本小题满分16分)

如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,

同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河 岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上

任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位

于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向

170m 处(OC 为河岸),3

4

tan =∠BCO .

(1)求新桥BC 的长；

(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？

（第16题）P D C

E F B A

19.(本小题满分16分)

已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；

(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03

0x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.

20.(本小题满分16分)

设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;

(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0

(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=

(∈n N *)成立.