锐角三角函数经典总结(最新整理)

二、【计算】
21 sin 30 cos 45 cos 30sin 45
。
22． 1 sin 60 2 sin 45 sin 30 cos 30
2
2
23． (2sin 30 2 sin 45)(cos30 sin 45)(sin 60 cos 45)
24. 1 +（ 2）1 +2sin60°— 1 — tan60 2
tan 30
3
；
3
tan 45 1；
tan 60 3
六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
sin A cos(90 A),
cos A sin(90 A) ．
七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 tan A cot 90 A ，
三、 增减性：当 00 900 时， sin 随角度 的增大而增大；cos 随角度 的增大而减小。
四、正切概念：
(1) 在 RtABC 中， A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tan A 。
即 tan A A的对边 （或 tan A a ）
A的邻边
b
五、特殊角的正弦值与余弦值：
b
）
15．计算 sin 2 60 tan 45 ( 1 )2 ，结果正确的是（ ） 3
16．在 RtABC中, C Rt,若 tan B 2, a 1,则b _________
17．等腰梯形腰长为 6，底角的正切为 2 ，下底长为12 2 ，则上底长为
，高
4
为
。
18． 在 RtABC 中 ， C 90 ， cot A 3 ， 则 cot A sin B tan C 的 值 为 2
10、如图，在菱形ABCD中，已知AE⊥BC于E，BC=1，cosB= ,求这个菱形的面积。
13
A
D
BE
C
11、（北京市中考试题） 在 RtABC中， C 90 ，斜边 c 5 ，两直角边的长 a、b 是
关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2m 2 0 的两个根，求 RtABC 较小锐角的正弦值.
2. 1 sin 2
cos
。
3.若 sin 1 ，且 0 90 ，则 =_______，已知 sin 3 ，则锐角 =__________。
2
2
4．在 RtABC中, C 90 , A 60 ,,则cos B _________
5．在 ABC ， C 90 , AC 3, AB 5,则cos B _________
（1）求出点 B、C 的坐标；（2）求 s 随 t 变化的函数关系式；
（3）当 t 为何值时 s 有最大值？并求出最大值.
y
DC
A PO
Q Bx
4、如图，将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 D 在边 0C 上，点 E 在边 OA 上，把矩形
4
沿直线 DE 翻折，使点 O 落在边 AB 上的点 F 处，且 tan∠BFD= ．若线段 OA 的长是一元二
3
次方程 x2—7x 一 8=0 的一个根，又 2AB=30A．请解答下列问题：
(1)求点 B、F 的坐标： (2)求直线 ED 的解析式：
(3)在直线 ED、FD 上是否存在点 M、N，使以点 C、D、M、N 为顶点的四边
形是平行四边形，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6 题图
3、如图：直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直 线 CB 的表达式为 y=－ 4 x+ 16 ，点 A、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点 P 自 A 点
33 出发，在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运行，速度均为每秒 1 个 单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点 P 运动 t（秒）时，△OPQ 的面 积为 s（不能构成△OPQ 的动点除外）.
【能力提升】
1、如图，在 RtABC中, ACB Rt,CD AB 于点 D，AD＝4， sin ACD 4 , 5
求CD 、 BC 的值。
2、比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
3、若 30°< < <90°，化简 (cos cos )2 cos 3 1 cos
A
B D
C
[思维拓展训练]
1、如图，已知 P 为∠AOB 的边 OA 上的一点，以 P 为顶点的∠MPN 的两边分别交射线 OB 于 M、N 两点，且∠MPN=∠AOB=α（α 为锐角）．当∠MPN 以点 P 为旋转中心，PM 边与 PO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN 保持不变）时，M、N 两点在射线 OB 上同 时以不同的速度向右平行移动．设 OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM 的面积为 S．若 sinα= 二分之根号三。oP=2．（1）当∠MPN 旋转 30°（即∠OPM=30°）时，求点 N 移动的距离；（2） 求证：△OPN∽△PMN； （3）写出 y 与 x 之间的关系式； （4）试写出 S 随 x 变化的函数关系式，并确定 S 的取值范围．
6． RtABC中, C 90 , BC 3, AB 5,则sin A _________
7．在 RtABC 中， C 90 ， 3a 3b ，则 A =_________， sin A =_________
8．在 RtABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值（
2 题图
2、如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在 线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动．设运动的时间为 t（秒）．（1）设△BPQ 的面积为 S， 求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰 三角形；（3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AO=OB 时，求∠BQP 的正切值； （4）是否存在时刻 t，使得 PQ⊥BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
12、（上海中考模拟）如图ΔABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan∠B=cos∠DAC。
（1）求证：AC=BD
12
（2）若 sin∠C= ,BC=12，求 AD 的长．
A
13
B

C
D
14、（上海中考模拟）已知：如图，在 RtABC中，ACB 90 , sin B 3 , D是BC 边上 5
一点，且 ADC 45 ，DC = 6 。求 BAD的正切值. 。
2
4、已知 sin 2 40 sin 2 1 ，则锐角 =_________。
5、在 RtABC中，C 90 , cos A 1 , sin B n 4 那么 n 的值是___________。
5
5
6、已知 sin cos m, sin cos n, 则 m 、n 的关系是（ ）
A． m n
B． n 2n 1
C． m2 2n 1
D． m2 1 2n
7、如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90o，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA= 1 ，则 AD 的 5A
长为(
)A.2 B. 3 C. 2
D.1
E
8、如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，
cot A tan 90 A ．
八、同角三角函数之间的关系：
⑴
、平
方
关系
：
sin 2 A cos2 A 1⑵
商的
关系
tan A sin A cos A
cot A cos A sin A ⑶倒数关系 tana·cota=1
【典型例题】
【基础练习】
一、填空题：
1. cos 30 sin 30 ___________，
，
则 sin A a ， cos A b 。
c
c
2、当 A 为锐角时， 0 sin A 1 ， 0 cos A 1（ A 为锐角）。
二、 特殊角的正弦值与余弦值：
sin 30 1 ， 2
sin 45
2
，
2
sin 60
3
．
2
cos 30
3
，
2
cos 45
2
，
2
cos 60 1 ． 2
_____________________
12．在 ABC 中， C 90 ，若 cos B 1 ，则 sin2 B =________ 5
13． sin 2 30 cos2 30 的值为__________，
sin2 72 sin2 18 ________
14．一个直角三角形的两条边长为 3、4，则较小锐角的正切值是（
DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN 于点 N．则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式
表示）(
) A．a
B． 4 a 5
C．
2 a
D．
3 a
2
2
B
D A
N
D
M
a
8题
C
C B
3
9、已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B= ,
4
AC上有一点E，满足AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是（
）