【推荐】初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
2、如下图，在Rt△ ABC中，/ C为直角,定义表达式取值范围关系正弦.A ZA的对边sin A =————---斜边asin A =—c0 < sin A < 1（Z A为锐角）sin A = cosB cosA= sin Bsin2 A + cos2 A = 1余弦ZA的邻边S斜边.b cos A=—c0 < cosA < 1（Z A为锐角）正切丄“ Z A的对边tan A= ------------- 厶…,Z A的邻边atan A =—btan A a 0 （Z A为锐角）34、特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sin a012匹2迴21cos。
1逅2212ta naV'31.—03V3不存在5当0°w二＜90°时，sin二随一的增大而增大，cos二随J的增大而减小。
6、正切的增减性：当0 ° ＜二＜90°时，tan二随二的增大而增大。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边所有未知的边和角。
依据：①边的关系：2 2 2a b c;②角的关系：A+B=90°;③边角关系：三角函数的定义。
2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角;②俯角：视线在水平线下方的角。
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
a2+ b2 = c2则/ A的锐角三角函数为（Z A可换成/ B）:sin A = cosB cosA =sin B 由.A .B =90 得乙B匚90 术sin A = cos（90 -A） cos A = sin（90斜边a邻边b对5、如图，在厶 ABC 中，/ ACB=90 , CD! AB 于 D,若AC二 5 6 , AB =5，则 tan / ACD 的值为()③ 坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]
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最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方. 222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小. 6、正切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角. 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义.(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角.仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即hil=.坡度一般写成1:m的形式,如1:5i=等.把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tanhilα==.3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角.如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°.4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） , 南偏东45°（东南方向）, 南偏西45°（西南方向）, 北偏西45°（西北方向）.类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中,,12,43tan,90==︒=∠BCAC求AC、AB和cos B．例2．已知：如图,⊙O的半径OA＝16cm,OC⊥AB于C点,⋅=∠43sin AOC求：AB及OC的长．:i h l=hlα例3.已知A∠是锐角,178sin=A,求Acos,Atan的值对应训练：1．在Rt△ABC中,∠ C＝90°,若BC＝1,AB=5,则tan A的值为A．55B．255C．12D．22．在△ABC中,∠C=90°,sin A=53,那么tan A的值等于（）.A．35B.45C.34D.43类型二. 利用角度转化求值：例1．已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．例2．如图,直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，,与x轴的正半轴交于点D,B是y 轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45对应训练:3.如图,O⊙是ABC△的外接圆,AD是O⊙的直径,若O⊙的半径为32,2AC=,则sin B的值是（）DCBAOyx第8题图A．23B．32C．34D．434. 如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处．已知8AB=,10BC=,AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A DECBF类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．例2．已知：如图,在△ABC中,∠BAC＝120°,AB＝10,AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图,△ABC中,AB＝9,BC＝6,△ABC的面积等于9,求sin B．3. △ABC中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练：1．如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.2．正方形网格中,AOB∠如图放置,则tan AOB∠的值是（）A．55B.2 55C.12D. 2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：︒-︒+︒60tan45sin230cos2．2）计算：︒-︒+︒30cos245sin60tan2.3)计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4)．计算：30tan2345sin60cos221⎪⎪⎭⎫⎝⎛︒-︒+︒+．5)．计算：tan45sin301cos60︒+︒-︒；CBAABO类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°,∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m 23=DE,求点B到地面的垂直距离BC．例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1..如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.2．如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为（）ABCDEA ． 10米B ． 10米C ． 20米D ．米类型七:三角函数与圆：例1． 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．35D ．45例2. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.对应训练:1.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.（1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若54C cos , DE =9,求BF 的长．DB OACD C B A Oyx第8题图CFDOBECB A作业： 1．已知21sin =A ,则锐角A 的度数是( ) A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 2．在Rt△ABC 中,∠ C ＝90°,若BC ＝1,AB =5,则tan A 的值为( )A ．55 B ．255 C ．12D ．2 3．在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 434. 若sin α=32,则锐角α＝ . 5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10,3cos 5BOD ∠=, 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在Rt△ABC 中,∠C=90°,如果cosA=54,那么tanA 的值是( ) A ．53 B ．35 C ．43 D ．348． 如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =35,则cos∠BCD 的值为 ．9.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 210．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.αDCBA11．计算：22sin 604cos 30+sin 45tan 60-⋅oooo．12．已知在Rt△ABC 中,∠C＝90°,a=64,b=212.解这个直角三角形13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.14．如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）15．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险,并说明理由．DBOAC。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
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锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】例1．如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°．①sin A =(②cos A =()＝，对对)＝，对对第 1 题图sin B =(cos B =()＝；对对)＝；对对③tan A =( )＝，∠A对对对例2. 锐角三角函数求值：tan B =∠B对对对＝．( )在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝，sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝．例3．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例题：类型一：直角三角形求值5 1. 已知 Rt △ABC 中， ∠C = 90︒, tan A = 3, BC = 12, 4求AC 、AB 和 cos B ．2. 已知：如图，⊙O 的半径 OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于 C 点， sin ∠AOC = 3⋅4求：AB 及 OC 的长．3. 已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于 C 点，AB ＝16cm ， sin ∠AOC = 3⋅5(1) 求⊙O 的半径 OA 的长及弦心距 OC ； (2) 求 cos ∠AOC 及 tan ∠AOC ．4. 已知∠A 是锐角， sin A = 8 17，求cos A ， tan A 的值对应训练：（西城北）3．在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 BC ＝1，AB = ，则 tan A 的值为A.55B. 2 55C.12D ．2(房ft )5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 3，那么 tan A 的值等于（）.5A. 3 5B. 4 5C. 3 4D.4 3类型二. 利用角度转化求值：1. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是 AC 边上一点，DE ⊥AB 于 E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．32.如图，直径为10的⊙A 经过点C(0对5) 和点O(0对0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（）1 3A.B．2 2C.3D．45 5yCAO D xB图 8图图3.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P（3，4），则sin=．4.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm，DE⊥AB，sin A =，则这个菱形5 的面积= cm2．5.（2009·齐齐哈尔中考）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的3半径为2，AC = 2 ，则sin B 的值是（）2 3 3 4A.B．C．D．3 24 3F2 3 6. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB = 8 ， BC = 10 ，AB=8,则 tan ∠EFC 的值为 ( )ADE 3 4 34 BCＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．43557. 如图 6，在等腰直角三角形∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 6 ， D 为 AC 上一点，若tan ∠DBA = 15，则 AD 的长为()A.B ． 2C.1 D ． 28. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线 AD = 1633求 ∠B 的度数及边 BC 、AB 的长.ACDB图 6类型三. 化斜三角形为直角三角形例 1 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ，求 AB 的长．例 2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ， sin A = 1⋅3(1)求 AB 边上的高 CD ； (2)求△ABC 的面积 S ； (3)求 tan B ．23 33例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC 的值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2.已知：如图，△ABC 中，AB＝9，BC＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B．3.ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的面积是A.2 cm2B.4 cm2C.6 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）1 5A．B．2 5C．1010D．2 55对应练习：1.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A = .CA B2.如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将∆ABC 绕着点A 逆时针旋转得到∆AC' B'，则tan B' 的值为1 1 1A. B. C.4 3 2D. 13.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB 的值是（）A．52B.51C. D. 22特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（昌平）1）.计算：2 cos 30︒+ 2 sin 45︒- tan 60︒．（朝阳）2）计算：tan 60︒+ sin2 45︒- 2 cos 30︒.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－3tan30°－tan45°3AO B33(石景ft)4．计算：⎛+ 2 cos 60︒+ sin 45︒-⎝⎫0tan 30︒⎪．2 ⎭tan 45︒+ sin 30︒ (通县)5．计算：；1- cos 60︒例2．求适合下列条件的锐角．(1)cos=12 (2)tan=3(3) s in 2=22(4) 6 cos(- 16 ) = 3（5）已知为锐角，且tan(+300)=，求tan的值（6）在∆ABC 中，若cos A -+(sin B -2)2= 0 ，∠A，∠B 都是锐角，求∠C 的度数.2例3. 三角函数的增减性1.已知∠A 为锐角，且sin A < 1，那么∠A 的取值范围是2A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2.已知A 为锐角，且cos A < sin 300，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A =12⋅ 13123123求此菱形的周长．2. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°， AC = BC=于 D 点，求：(1) ∠BAD ；(2) sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和 tan ∠BAD ．，作∠DAC ＝30°，AD 交 CB3. 已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD ＝90°， tan ∠B =CAD 、tan ∠CAD ．1 ，求：sin ∠CAD 、cos ∠34. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°， sin B = 3，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6，求 tan ∠BAD5的值．ABDC5.（本小题5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°， tan B =2C， AC = 4 ．求 AB 的长.AB解直角三角形：3 333 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系： ． ②两锐角之间的关系： ．③边与角之间的关系：sin A = cos B =； cos A = sin B = ； tan A =1 =tan B1；tan A= tan B =．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ． CD 2＝ ；AC 2＝ ； BC 2＝ ；AC ·BC ＝ ．类型一例 1．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35， c = 35 ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知： a = 2 ， b = 2 ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知： sin A =2 ， c = 6 ，求 a 、b ；3(4)已知： tan B = 3, b = 9, 2求 a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积 S = 12 3, 求 a 、b 、c 及∠B ．2例2．已知：如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt△ABC 中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（2012•福州）如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100 米，点A、D、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A．200 米B．200 米C．220 米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45 °．点D 到地面的垂直距离DE 3 2m ，求点 B 到地面的垂直距离BC．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小ft顶上，小ft的高BD=30m．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA=60°，测得ft顶B 的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB 的长．ADB E例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树C高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3AB 为1.7 米，求这棵树的高度.米，小聪身高例5．已知：如图，河旁有一座小ft，从ft顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m．现需从ft顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC，求ft的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20 米，到达点C，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（）C．20 米D．米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC）为30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8 秒，∠BAC=75°．（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1 米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60 千米/小时≈16.7 米/秒）3A．10 米B．10 米33 3 3类型四. 坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤坝高 BC=50m ，则应水坡面 AB 的长度是（ ） A ．100mB ．100 mC ．150mD ．50 m类型五. 方位角1. 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30°，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，1.732 )2．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012 年 5 月 18 日，某国 3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政 310” 船人船未歇立即追往北纬 11 度 22 分、东经 110 度 45 分附近海域护渔，保护 100 多名中国 渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图 1）324解决问题如图 2，已知“中国渔政 310”船（A ）接到陆地指挥中心（B ）命令时，渔船（C ）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政 310”船西南方向，“中国渔政 310”船位于陆地指挥中心南偏东 60°方向，AB=海里，“中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政 310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，6tan ∠BDC= 3．(1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长．（2011 东一）18．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 分别作 AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ．（1） 求证： ∠BAE =∠DAF ；（2） 若 AE =4，AF =，s in ∠BAE = 53 ，求 CF 的长．5三角函数与圆：1. 如图，直径为 10 的⊙A 经过点C (0对5) 和点O (0对0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠OBC 的值为（）1 3 A.B ．22C ．3D ． 45 5yC AOD xB图 8图图5 DO4（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接 AC 与⊙O 交于点 D, (1) 求证：∠AOD=2∠CC4 (2) 若 AD=8，tanC= ，求⊙O 的半径。
锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan5DBA∠=，则AD的长为( )A．2 B．2C．1 D．224. 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DABC图6类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，⋅=31sin A(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tan B．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求下列各式的值．.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°= 030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= 计算：tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）CBAA. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．解直角三角形：类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例2．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos 75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）类型四. 坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)综合：1已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=︒，以DC 为直径作半圆O ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠． （1）求证：BF 是O 的切线；（2）若BF FC =，3AE =O 的半径．D O ACF E2.（6分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知2∠A +∠B =90 ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若OA =6，BC =8，求BD 的长．3. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
(完整)锐角三角函数知识点总结及单元测试题,推荐文档
角。
仰仰仰
仰仰
仰仰 仰仰仰 仰仰
仰仰
h
i h:l
α
l
.
.
(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表示，即 i h 。坡度一般写成1: m 的形式，如 i 1: 5 等。
l
把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 i h tan 。
D．c=a·cotA
5．已知△ABC 中，∠C=90°，设 sinA=m，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（ ）
1 A．0＜m＜2
B．0＜m＜
C．0＜m＜
D．0＜m＜
6．小明沿着坡角为 30°的坡面向下走了 2 米，那么他下降（ ）
A．1 米 B． 3 米
C．2 3 米 D． 米 4
7．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=3，BC=8，则 AC 等于（ ） 32
（附加）小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，
BC=20 米，CD 与地面成 30º 角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为
() A．9 米 B．28 米 C．（7+ 3）米 D．（14+2 3）米 A
二、填空题：（每题 3 分，共 30 分）
A．6
B． 3
C．10
D．12
8．sin2 ＋sin2(90°－ ) (0°＜ ＜90°）等于（ ）
B N
A0
B1
C2
D 2sin2
C
D
A
M
9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练.doc
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边C的平方。
a2+h2 =c22、如下图，在RtAABC中,ZC为直角,则ZA的锐角三角函数为（ZA叮换成ZB）:定义表达式取值范围关系正弦.A 的对边sin A =————斜边人asin A =—c0 < sin A < 1（ZA为锐角）sin A = cos B cos A = sin Bsin2 A + cos2A = 1余弦4乙4的邻边cos A=———T—斜边A b cos A=—c0<cosA< 1（ZA为锐角）正切人,4的对边曲“ZA的邻边tan A =—btan A > 0 （ZA为锐角）3sin A - cos B由ZA + ZB = 90。
、sin A = cos（90° - A） cos A = sin B 得ZB = 90° - ZA>cos A - sin（90°一A）4三角函数0°30°45°60°90°sin a01T VI2迴21COSO1迴2VT ~2~10tana0迥31不存在5、正弦、余弦的增减性:当0。
W Q W90°时，sina随。
的增大而增大，cos 6^随Q的增大而减小。
6、正切的增减性：当0。
<«<90°时，tan（7随Q的增大而增大。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其屮必有一边）一所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a2+h2=c2.②角的关系：A+B二90。
；③边角关系：三角函数的定义。
2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角;②俯角：视线在水平线下方的角。
③ 坡面的铅直高度h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）o 用字母：表示,,=h即 7。
坡度一般写成1：加的形式，如，=1：5等。
把坡面与水平面 ・h ,i = — = tana的夹角记作Q （叫做坡角），那么 I 。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
例 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA＝16cm，OC⊥AB 于 C 点， sin AOC 3 4
求：AB 及 OC 的长．
2
例 3.已知 A 是锐角， sin A 8 ，求 cos A ， tan A 的值 17
对应训练：
1．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 BC＝1，AB= 5 ，则 tanA 的值为
B．
3
3
C．
4
4
D．
3
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 ，则 cos∠BCD 的值为 ． 5
C
9.计算： 2 cos 30 2 sin 45 tan 60
A
D
B
10．计算 2sin 60 2 cos 45 3 tan 30 tan 45 .
11．计算： 2 sin 60o 4 cos2 30o+ sin 45o tan 60o．
8
12．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a= 4 6 ，b=12 2 .解这个直角三角形
13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接 AC 与⊙O 交于点 D,
C
(3) 求证：∠AOD=2∠C
则 sin B 的值是（
）
3
2
A．
3
3
B．
2
3
C．
4
4
D．
3
4. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB 8 ，
BC 10 ，AB=8,则 tan∠EFC 的值为 ( )
A
D
3
Ａ．
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数：例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，$sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值 。
1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值对应训练：3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为,A ．5 B ．25 C ．12D ．2 5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．>5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A DECBF7. 如图6，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若DCBAOyx第8题图1tan5DBA∠=，则AD的长为()A．2B．2C．1D．228. 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.^DABC图6类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，⋅=31sin A【(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tan B．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）.2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是3cm23cm23cm2cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255@对应练习：1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC∆绕着点A逆时针旋转得到''BAC∆，则'tan B的值为CBAA.41 B. 31 C.21D. 1$3．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12 D. 2~特殊角的三角函数值.当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°锐角 sin cos tanABO4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算：tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos =α(2)33tan =α ！(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值*（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．，3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．·5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________． {②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一 @例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ； [(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．…例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．*类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角： 例1．（2012•福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． )220米D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．！例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．…例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ． 10米B ． 10米C ． 20米D ． ~A BCD E米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，3≈，60千米/小时≈米/秒）…类型四. 坡度与坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少(精确到海里，732.13 )2．新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）《解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．}综合题：三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan ∠BDC= 63． (1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．…2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B 3 C ．35D ．45;19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]
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初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
锐角三角函数 知识点总结+典型例题
AB= BC = 5，
sin A
4 5
，求
B
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sin A 4
∴ BD AB sin A 5 4 4，
5
5
AD AB2 BD2 52 42 3.
，
5 A
5
C D
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
斜边c
B ∠A的对边a
sin A=∠A斜的边对边 cos A=∠A斜的边邻边
A ∠A的邻边b C
tan A=∠∠AA的的对邻边边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得
B
因此 sin A BC = 6 = 3，
AB 10 5
10
6
A
C
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
求sinB的值.
sin A 5, AC=12.
13
B
解:在Rt △ABC中,
13 5
设AB=13x，BC=5x,;122=(13x)2.
C 12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此 sin B AC 12. AB 13
如图，在 △ABC中， △ABC 的面积.
正弦:
sin
A
A的对边 斜边
【推荐】初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题
初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b2c22、如下图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义 表达式取值范围 关 系正A 的对边 asin Asin A弦斜边c余A 的邻边 bcos Acos A弦 斜边c正aA 的对边 tan Atan AA 的邻边b切余bA 的邻边cot Acot AA 的对边a切0 sin A 1( ∠A 为锐角)sin A cosBcos Asin B0 cosA1sin 2A cos 2A 1( ∠A 为锐角)tan A( ∠A 为锐角)tan A cot Bcot Atan Bcot A 0tan A1( 倒数 )cot A( ∠A 为锐tan A cot A 1角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦由 A BB值。
90对 得 B90A 斜边ca 边sin A cos(90 A)bsin A cosBcos Asin(90ACcos A sin BA)邻边三角函数的基本关系： 1 sin2cos21 sin21 cos2,cos21 sin2；2 sintansintan cos ,cossin ．costan4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正由 AB 90切值。
得 B 90Atan A cot B tan A cot(90A)cot A tan(90A)cot A tan B5、0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin01231222cos13210222tan0313不存在3cot不存在313036、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
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191.7 200 210 ，∴ 2 号救生员先到达营求地点 B ．
4. 过点 C作 CD
AC 交 AB 于 D ，则 ∠ CAB
0
27
，
在 Rt△ ACD 中， CD AC tan∠CAB 4 0.51 2.04（米） .
由于 2.04米大于 1.78米，小于 2.29米，所以小敏不会有碰头危险，而姚明则会有碰头
3， OA、
OB、OC、OD的方向角分别是： 45°、 135°、 225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角， 叫做方向角。 如图
.
4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东 30°（东北方向） ， 南偏东 45°（东 南方向）， 南偏西 60°（西南方向）， 北偏西 60°（西北方向）。
初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt△ABC中，∠ C为直角，则∠ A的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：
定义
正
sin A
弦
A的对边 斜边
余
cos A
弦
A的邻边 斜边
.
tan A cot B cot A tan B
tan A cot(90 A)
cot A tan(90 A)
5、0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 )
三角函数
0°
sin
0
cos
1
tan
0
cot
不存在
6 、正弦、余弦的增减性：
30°
1 2
3 2 3 3
3
45°
2 2 2 2
么重叠部分（阴影）
的面积是（
）.
A． 1 D． 1
cos
B． 1
sinΒιβλιοθήκη C．1 sin210. 如图 5，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为
30°，向高楼前 进 60 米到 C 点，又测得仰角为 45°，则该高楼的高度大
约为（
）.
Ａ． 82 米
Ｂ． 163 米
Ｃ． 52 米 Ｄ． 70 米
二、耐心填一填，一锤定音（ 21 分）
tan 60 2sin 30
sin2 45
1 tan2 60 ；
3
（2） 3 sin 60 tan 30 cos60 ；
（4）
cos2 300 tan60 0
cos2 60 0 tan 450
tan 300
2. 如图 10，在平地 D 处测得树顶 A的仰角为 30 ，向树前进 10mD，到达 C 处，再测得树 顶 A的仰角为 45 ，求树高（结果保留根号） ．（9 分） 3. 如图 11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的 AA 点处C发图 现10 海中B 的 B 点有人求救，便 立即派三名救生员前去营救． 1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边（岸
图1
这种草皮每平方米
C
（
）
A．450 元 B ． 225a元
C ． 150a 元 D ． 300a 元 6. 如图 2，一个钢球沿坡角 31 的斜坡向上滚动了 5 米，此时钢球距
.
地面的高度是（ ）米 .
Ａ． 5cos31
Ｂ． 5sin31
Ｃ． 5tan31
Ｄ．
5 tan 310
2
7. 若 3tan A 3 2sin B 3 0 ，则以∠ A、∠ B 为内角的 ABC 一定是（
长线上的 C 点处，那么 tan ADC
．
7. 如图 9，钓鱼竿 AC 长 6m ，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2m ，某钓者想看看鱼钓上的情
况，把鱼竿 AC 转动到 AC 的位置，此时露在水面上的鱼线 B C 为 3 3m ，则鱼竿转过的角
度是 ________.
三、细心做一做，马到成功
1. 求值：（20 分）（1） sin30 （ 3） 2sin 60 tan 45 ；
危险．
.
三角函数参考答案 一、精心选一选，慧眼识金 1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9.B 10.A
二、耐心填一填，一锤定音
1. 1 2. 3 3. 1.5 20tan 4.
2
5
三、细心做一做，马到成功
2 5. 3 5 6.
2
3 7.15
1. ①（ 1）0；（2） 9 3 ；（3） 1 ； （4）0
6
2. (5 3 5)m ；
3. （ 1）在 △ ABD 中， A 45 ， D 90 ， AD 300 ． ∴ AB AD 300 2 ， BD AD tan 45 300 ．
cos45
在 △BCD 中， BCD 60 ， D 90 ，
∴ BC BD
sin 60
300 200 3 ．∴ CD
3 2
斜边 c
A)
b
AA)
邻边
对
a边
C
三角函数的基本关系： 1 sin2 cos2 1 sin 2 1 cos2 ,cos 2 1 sin 2 ；
sin 2
cos
tan sin
tan cos ,cos
sin ．
tan
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正
切值。
由 A B 90 得 B 90 A
铅垂线
视线
仰角 俯角
水平线
h
i h:l
视线
α
l
(2) 坡面的铅直高度 h和水平宽度 l 的比叫做坡度 ( 坡比 ) 。用字母 i 表示，即 i h 。坡
l
度一般写成 1: m 的形式，如 i 1:5 等。
把坡面与水平面的夹角记作 ( 叫做坡角 ) ，那么 i h tan 。
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图
tan A cot B cot A tan B
tan A 1 ( 倒数 )
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
B
值。
由 A B 90 得 B 90 A
sin A cosB cos A sin B
sin A cos(90 cos A sin(90
4. 在正方形网格中， 的位置如图 6 所示，则 cos 的值为 ______.
.
5. 如图 7，在坡度为 1: 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6 米，
斜坡上相邻两树间的坡面距离是
米
6. 如图 8，已知正方形 ABCD 的边长为 3，如果将线段 AC 绕点 A 旋转后，点 C 落在 BA 延
）.
A．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形
8. ．如图 3，在 △ ABC 中， ACB 90 ， CD AB 于 D ，若 AC 2 3 ，
AB 3 2 ，则 tan BCD 的值为（
）.
Ａ． 2
Ｂ． 2
2
Ｃ． 6
3
Ｄ． 3
3
9. 如图 4，有两条宽度为 1 的带子，相交成 角，那
BD sin 60
300 100 3 .
3
1 号救生员到达 B 点所用的时间为 300 2 150 2 210 （秒）；
2
.
数据计 险吗？
2 号救生员到达 B 点所用的时间为 300 100 3 200 3 50 250 3 191.7 （秒）；
6
2
3
3 号救生员到达 B 点所用的时间为 300 300 200（秒） .
数据
2 ≈1.4 ， 3 ≈1.7) （10 分）
.
4. 如图 12 所示，某超市在一楼至二楼之间安装有 电梯，天花板与地面平行，请你根据图中
算回答： 小敏身高 1.78 米，她乘电梯会有碰头危
姚明身 高 2.29 米，他乘电梯会有碰头危险吗？
（可能用到的参考数值： sin 270 0.45 ， cos27 0 0.89 ， tan 270 0.51 ）（10 分）
边看成是直线）向前跑到 C 点，再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑 3 0 0 米到离 B
点最近的 D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是 6
米／秒，
在水中游泳的速度都是 2 米／秒．若 BAD 450 ， BCD 600 ，
三名救
生员同时从 A点出发，请说明谁先到达营救地点 B． ( 参考
正
tan A
切
A的对边 A 的邻边
余
cot A
切
A的邻边 A的对边
表达式 取值范围
a sin A
c
0 sin A 1
( ∠A 为锐 角)
b cos A
c
0 cosA 1
( ∠A 为锐 角)
tan A 0
tan A a b
( ∠A 为锐 角)
b cot A
a
cot A 0
( ∠A 为锐 角)
关系
sin A cosB cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
1. 在△ ABC中，若∠ A＝30°，∠ B＝45°， AC＝ 2 ，则 BC＝
2
2. ．在 Rt△ ABC 中， C 90 ， BC : AC 3: 4 ，则 sin A
3. 离旗杆 20 米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ， 如果测角仪高为 1.5 米．那
么旗杆的高
为米（用含 的三角函数表示）。
锐角三角函数单元反馈测试