算法设计与分析-第8章-回溯法

解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
8.1.1 问题的解空间
对于n=4的TSP问题，其解空间树如图8.1.1-4所示，树中 的24个叶子结点分别代表该问题的24个可能解，例如结点5代 表一个可能解，路径为1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。
1 2 2 2 3 3 4 4 5 4 2 6 3 7 4 9 3 8 4 13 19 2 3 4 1 1 18 3 24 4 1 4 29 3 2 35 4 1 1 1 3 34 2 40 4 1 4 45 2 3 51 2 1 1
• 关键：提炼剪枝函数 方法：找出显式约束和隐式约束
注意：尽早避免无效检索
8.1.3 回溯法的求解过程
由 于 问 题 的 解 向 量 X=(x1, x2, …, xn) 中 的 每 个 分 量 xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合 Si={ai1, ai2, …, airi}，因此， 回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积 S1×S2×…×Sn中的元素。 初始时，令解向量 X 为空，然后，从根结点出发，选 择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a11， 如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择S2 的第一个元素作为解向量 X的第2个分量，否则，选择S1的 下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a12。依此类 推，一般情况下，如果X=(x1, x2, …, xi)是问题的部分解， 则选择Si+1的第一个元素作为解向量X的第i+1个分量时，有 下面三种情况：
第8章 回溯法
8.1 概 述 8.2 图问题中的回溯法 8.3 组合问题中的回溯法 8.4 实验项目——0/1背包问题
8.1 概 述
8.1.1 问题的解空间 8.1.2 回溯法的设计思想 8.1.3 回溯法的求解过程 8.1.4 回溯法的算法描述 8.1.5 回溯法的时空性能
8.1.1 问题的解空间
8.1.1 问题的解空间
例 8皇后问题 。 1 2 3 4 5 6 7 8
1 Q 解的表示：X=(x1,x2,…,x8) 2 Q 3 Q 显式约束: 4 Q xi∈Si ，1≤i≤8， 5 Q Si={1,2,3,4,5,6,7,8} 6 Q 隐式约束： 7 Q 任何两个皇后不能相互攻击 8 Q
解空间大小： 88 8!
8.1.1 问题的解空间
对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如图8.1.1-2所示，树中的 8个叶子结点分别代表该问题的8个可能解。
1
1 2 1 3 1 4 0 5 1 7 0 0 9
对物品1的选择
1 6
0 10
0 3 0 12 1 14 0 15
对物品2的选择
1
11 图8.1.1-2
对物品3的选择
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下， 将 其 可 能 解 表 示 为 满 足 某 个 约 束 条 件 的 等 长 向 量 X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n)的取值范围是某个有限集合 Si={ai1, ai2, …, aimi}，所有可能的解向量构成了问题的解空间。 假设集合Si的大小是mi ，解空间的大小为m=m1m2…mn。
？
8.1.1 问题的解空间
三、状态空间树：解空间的树结构 问题的解空间一般用解空间树（Solution Space Trees, 也称状态空间树）的方式组织，树的根结点位于第1层，
表示搜索的初始状态，第2层的结点表示对解向量的第一
个分量做出选择后到达的状态，第1层到第2层的边上标出 对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶 子结点的路径（也可能是根节点到任何一个树中结点，但 不含搜索失败的结点），就构成了解空间的一个可能解。
8
8.1.1 问题的解空间
4皇后问题的解空间树
1 1
4
3 34 50 4 45 4 1 2 3 51 2 1 1 2 56 3 1 3 61 2
2
2 2 3 3 4 4 5 4 2 6 3 7 4 9 3 8 4 3 4 1 18 3 24 4 1 4 1 4
1
2 40
13
2 3
19
29
3 2
35
TSP问题的代价矩阵
8.1.2 回溯法的设计思想
1→2→3→4→1：代价为10
1 2 2 2 3 3 4 4 5 3 8 4 13 4 3 11 2 1 28 图8.1.2 TSP问题的搜索空间 4 2 1 1 18 3 24 4 29 35 3 2 4 1 1
1
4
3
34 2 4 45 4 1 2 3 50 2 1 1 2 55 3 58 1 24 3 60 2
8.1.3
简言之： 1) 逐级扩展解向量 2) 动态测试部分解
回溯法的求解过程
x1 ，x2 ， … ， xi-1 xi
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试，
判定路径
x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
从i=1开始构造i元组，如果i元组满足约束，i=i+1，扩展搜索； 如果试探了x[i]的所有值，仍不能满足约束，则i=i-1,回溯到上 一层重新选择x[i-1]的其他值。这种扩展回溯的搜索方法可以表 示为状态空间树上带剪枝函数的深度优先的搜索。
40
4 2
4 1
27
46 48 51 53 2 47 1 2 3 54
1

表示可以从任何城市i出发最后回到城市i的搜索过程
8.1.2 回溯法的设计思想
回溯法的搜索过程涉及的结点（称为搜索空间）只是整 个解空间树的一部分，在搜索过程中，通常采用两种策略避 免无效搜索：
（1）用约束条件剪去得不到可行解的子树；
一、解空间概述 复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构成了 问题的解空间。 解空间也就是进行穷举的搜索空间，所以，解空间中 应该包括所有的可能解。
确定正确的解空间很重要，如果没有确定正确的解空 间就开始搜索，可能会增加搜索很多无用解，或者根本 就搜索不到正确的解。
8.1.1 问题的解空间
例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4 个等边三角形。
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
8.1.1 问题的解空间
二、显式约束与隐式约束
用回溯法求解，它的解一般要求满足一组综合约束条件，这 些约束条件分为以下两类： 显式约束：限定每个xi只从一个给定的集合Si上取值。
即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量；
② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假设 xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1；否则， 就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；
8.1.4 回溯法的算法描述
一、回溯法的非递归形式描述
假定回溯法要找出所有的解而不是仅仅只找出一个。设 （ x1, x2,…,xi-1 ）是状态空间树中由根到一个结点的路径， 而 R （ x1, x2,…,xi-1 ）是下述所有结点 xi 的集合，它使得对 于每一个xi，（x1,x2,…,xi）是一条由根到结点 xi的路径； 还假定剪枝函数Ci，如果路径（x1,x2,…,xi）不可能延伸到 一个答案解，则Ci（x1,x2,…,xi）取假值，否则取真值。于 是解向量 X （ 1 ： n ）中第 i 个分量就是那些选自集合 R （ x1, x2,…,xi-1）且使Ci为真的xi。算法BACKTRACK是使用R和Ci的 回溯方法的抽象化描述。
8.1.1 问题的解空间
状态空间树的特点 树中的结点：求解过程的一个状态 树中的边：标示 xi 的一个可能的值
解向量： 由根结点到任意（叶）结点的路径定义
解空间：由根结点到所有（叶）结点的路径定义
8.1.2 回溯法的设计思想
一、什么是回溯法
以深度优先的方式系统地搜索问题的解且结合剪枝函数的算 法称为回溯法，它适合于解一些组合数较大的问题。
4 50 2
56 3 1 3 61 2
4 3
11 14 16 20 22 25 27 30 32 36 38 41 43 46 48 52 54 57 59 62 64 2 2 3 4 3
4
1
3
1
4
2
4
1
2
1
2
3
3
1
2
1
10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65 图8.1.1-4 n=4的TSP问题的解空间树
8.1.2 回溯法的设计思想
例如，对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为{20, 15, 10}，价值为{20, 30, 25}，背包容量为25，从图8.1.2所示 的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下： ---应用约 束条件剪枝
1 2
1 0 6 10 0 8 不可行解 价值=20 1 11 0 1 14 1
1
0
9 0 13 0 15
不可行解
1
12
价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
C=
∞ 12 8 3
3 6 7 ∞ 2 8 6 ∞ 2 7 6 ∞
3/12中3表示第一个城市到第二个 城市代价，12表示第二个城市到 第一个城市代价