山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化2007-2008.1.A卷+答案

线性代数一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设矩阵333223⨯⨯⨯C B A ,,，则下列运算可行的是 【 】 .A AC , .B CB , .C ABC .D B A +2、设, A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列等式成立的是 【 】 .A ()()22B A B A B A -=+- .B ()()E A E A E A -=+-2.C BA AB = .D ()E B A E B A ++=+3、设方阵A 有特征值1、2，a 是与1 对应的特征向量，b 是与2对应的特征向量，下列判断正确的是 【 】.A a 与b 线性无关 .B b a +是A 的特征向量 .C a 与b 线性相关 .D a 与b 正交4、设4阶方阵A 的行列式为2，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为 【 】(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 15、112012()2, 1012a A a r A a -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭若矩阵的秩则的值为 【 】(A)0(B)0 -1(C)-1(D) 1 1-或 或6、A 与B 为同阶方阵，如果A 与B 具有相同的特征值，则 【 】 (A) A 与B 相似；(B) A 与B 合同；(C) A B =； (D) A B = 二、填空题（每小题3分，共18分）7、0200003000045000D =，则_______D =.8、设3阶矩阵A ，且矩阵行列式3=A ，则矩阵行列式=A 2 .9、设矩阵a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，则A 的非零特征值为____________.10、若方阵A 有一个特征值是1，则E A -= .11、n 维向量空间的子空间121220(,,,)0n n n x x x W x x x x x ⎧⎫+++=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬++=⎩⎪⎪⎩⎭的维数是____12、设(,)E i j 表示由n 阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E 1[(,)]E i j -=_________.三、解答下列各题（每小题6分，共24分）13、计算行列式 7592437102102251-----=D14、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B ，求行列式AB 。

15、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100221100035012X16、问λ取何值时，二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型？四、综合题（每小题10分，共40分）17、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14122615101231407023154321a a a a a ,,,,（1）求向量组的秩，并判断其相关性; （2）求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示..18、设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++bx x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203，问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解19、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b aA 的一个特征向量． 1）试求参数a 、b 及特征向量ξ所对应的特征值； 2）问A 是否相似于对角阵？说明理由． 20、已知向量组（Ⅰ） 321ααα，，； （Ⅱ） 4321αααα，，，； （Ⅲ） 5321αααα，，，．如果各向量组的秩分别为()()3R R ==ⅠⅡ，()4R =Ⅲ，证明：向量组（Ⅳ） 45321ααααα-，，， 的秩为4.07-08-1学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、 C ；2、 B ；3、 A ；4、C ；5、A ；6、C 二、填空题（每小题3分，共18分）7、120-；8、24；9、4a ；10、0；11、2n -；12、()j i E , 三、解答下列各题（每小题6分，共24分）13解：31411522152201200120D 217340216229570113r r r r --+--=-----分231120120221603094113113r r c -----=分14解：8A =；1B - …………….4分 8AB A B ==- ……………. 2分15解：12101253020200101X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分3101252020200101-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭分16110201⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭分16解：f 的矩阵为11A 422124λλ-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭分 ．因此，二次型f 为正定二次型．⇔矩阵A 为正定矩阵． ⇔矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零． 而矩阵A 的各阶顺序主子式分别为 011>=D ，22441λλλ-==D ，()()21442124113+--=--==λλλλA D ．————2分 所以，二次型f 为正定二次型．⇔0422>-=λD ，且()()02143>+--=λλD 由 0422>-=λD ，得 22<<-λ ． 由 ()()02143>+--=λλD ，得 12<<-λ ． 因此，得 12<<-λ ．————2分 四、综合题（每小题10分，共40分） 17解：()123451725217252301110217147,,,,214064004400312103121211001725217032330312103011110133001100011000110000000000000000r rr a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛- ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−→−−→−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭分所以 （1）()5354321<=a a a a a ,,,,R , 所以向量组线性相关，————1分 （2）取 321a a a ,,为一个极大无关组，————2分32143132a a a a ++=321503131a a a a ++-=————3分 18解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22000014001111003111131117231531203111b a b a A ————4分 当≠a 4时，方程组有唯一解； 当=a 4，≠b 2时，方程组无解当=a 4，=b 2时，)(A r =)(A r ＝3 < 4，方程组有无穷多组解, ———3分 其通解为T T k )0,1,1,2()0,0,1,1(-+-=α，k 为任意常数.————3分19解：1）由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量，所以有()0ξA I =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------=-1112135212λλλλb a ————2分即： ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+-=++-021*******λλλb a ．解得 103-==-=λ，，b a —————3分2）由1）得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=201335212A ，所以， ()31201335212+=+-+---=-λλλλλA I因此1-=λ是矩阵A 的3重特征根．————2分 而()312I A 5232101R R --⎛⎫ ⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭从而1-=λ所对应的线性无关的特征向量只有一个，————2分 因此矩阵A 不能相似于对角矩阵．————1分20、证：因为()()3R R ==ⅠⅡ，所以向量组321ααα，，线性无关，而4321αααα，，，线性相关，所以，存在数321λλλ，，，使得3322114ααααλλλ++= （*）――――3分 设有数4321k k k k ，，，，使得()0ααααα=-+++454332211k k k k ————2分将（*）式代入上式并化简，得()()()0αααα=+-+-+-54343324221411k k k k k k k λλλ由于()4R =Ⅲ，所以向量组5321αααα，，，线性无关．因此，由上式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-0004433422411k k k k k k k λλλ ，——————2分解此方程组，得04321====k k k k ，因此，向量组45321ααααα-，，，线性无关，即此向量组的秩为4．——————3分。