1章习题课
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E
在球外
q ˆ r 2 4 0 r 1
1
q U 4 0 r
练习 库仑定律 静电场的理论基础是 —————————— 和
———————————
场叠加原理 。关
电场线 于静电场的描述有两种方式：几何描述是通过————————— 和— 等势面 ———————来形象直观地表示，从图形上看两者之间的关系是 等势面与电场线正交 电场线密的地方等势面也密 1）——————————————————— 2） ————————————————————。理论
dq U 40 r
②已知场强分布求电势。（定义法）
1
②利用高斯定理求场强。
1 E d S
S
0
q
S内
UP
③电势差
P（ 0 零点）
P
E dl
③利用场强与电势的微分关系 求场强。
Ua Ub
b
a
E dl
4、几种典型带电体的静电场 1）点电荷
Q 40d
Q -Q产生的电势为： U 2 40 R
U O2
Q 1 1 ( ) 40 R d
两球心间的的电势差为： U O O U O U O 1 2 1 2
1 1 ( ) 20 R d
Q
ⅱ]已知场强分布求电势。（定义法） [例7]两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间 距为d（d＞＞2R），单位长度上的带电量分别为+λ和－λ。求两 直线间的电势差。 解：建立坐标系，P点处的场强为两带电直线在此处产生的 场强的叠加，故:
E U 分关系—————————————————————— 。描述静电场性质的两个基
高斯定理 和—————————— 环路定理 ， 它们的数学表达 本定理分别为——————————
U
E dl
UP E d l ，它们的积分关系为 ————————————— ，微 P
x
L
4 0 ( L d x ) 0
故有：
q 4 0d ( L d )
E
q i 40d (d L)
[例2]用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电 荷Q，试求圆心处点O的场强。
解：取微元 d q r d ，由对称性可知，Ey= 0。 y
dq d E x d E sin sin 2 40 R
0
dq
d
Ex d Ex
sin d 40 R
Q
O
R
d Ex
dE
d Ey
x
2 40 R
2 0 R
2
2
y
dq
故有： E E x
Q 2 2 0 R 2
d
R
O
d Ex
dU p
dq 40 r
dx
40 ( 2l a x )
2l
x dx
2l
dq
P
a
x
U p dU p
q
dx
40 ( 2l a x )
o
0
q 2l a 2l ln(2l a x ) 0 ln( ) 40 80 l a
[例6]两个半径为R的非导体球壳，表面上均匀带电，电量分别为 +Q和-Q，两球心相距离为d (d＞＞2R)。求两球心间的电势差。 解： 对于O1 点： Q Q Q +Q产生的电势为：U 1 R R 40 R o1 o2 d Q -Q产生的电势为： U 2 Q 1 1 40d U O1 ( ) 40 R d 对于O2 点： +Q产生的电势为： U 1
主要的计算类型
一、场强的计算
ⅰ] 叠加法（取微元 ）： 线电荷：
y
dx
x
o
R
d
L
d
x
dq d x
dq
x
d q d l r d
面电荷：
d q 2r d r
d q r d d r
r
d q 2r d r 2R2 sin d
R
S1
S2
由高斯定理，得: e
故有:
A S 0
2 3 要求 B ,作图示的高斯面S 2 , E0 4 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
A 0 E0
E0 3
A
E0
B
B S e 由高斯定理得: 0
电势 ， 上定量描述静电场性质的两个基本物理量是电场强度 ————————和————
力的作用和对电荷 ———— 作功 它们是从静电场对电荷有———— 两方面
F WP E U P ————————————— q0 q0
P（ 0 零点）
的性质而引进的。这两个物理量的定义式为
P（ 0 零点） ——————————————— P P
2 0
x
Ez
/2 1 d sin cos d 0 4 0 2 0 2 4 0
ⅱ] 高斯定理 ：
1 E d S
S
0
q
S内
q
1 q e1 e 6 6 0
[思考] 若点电荷 q 位于立方体的 A角上，则通过立方体侧面
O
[例1] 真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直 杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P的电场强度。 解：建立坐标系，取微元 d q d x ，则有：
dq d x
dE
d
dE
dx
40 ( L d x )2
x
L
o L dx E dE 0 4 ( L d x )2 0 q
dE
d Ey
x
[例3]一半径为R 的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ， 求球心点O 处的场强。
z
解: 取图示微元，则有:
dq d s dldr R d R si n d 1 dq dE y 2 4 0 R 1 dq d E z d E cos cos 2 4 0 R R2 sin cos d d sin cos d d 2 40 R 40
习 题
课
基本理论
本章主要研究静电场的基本性质和规律： 1、描述静电场的两个基本物理量 ① 电场强度矢量 F E q0 ② 电势
W UP P q0 or UP
电场线
P（ 0 零点）
P
E d l 等势面
2、静电场的两个基本定理 高斯定理：
1 E d S
E q ˆ r 2 40 r 1 q U 40 r 1
2） 均匀带电无限长直线 ˆ E r U lnr (U ( r 1) 0) 20 r 20 3） 均匀带电无限大平面 r ˆ ; E r U (U ( r 0) 0) 2 0 2 0 4 ）均匀带电球面 E0 在球内 q U 4 0 R
D） 电势不变的空间内，场强一定为零。 4、若均强电场的场强为 E ，其方向为平行于半径为R 的半球 面的轴，则通过此半球面的电通量为：[ A ]
A)R 2 E 1 C ) R 2 E 2
B )2R 2 E D ) 2R 2 E
R o
E
5、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图
a 0
d x x 0 0 x
0
( x a )
(a x a ) ( x a)
1 a 2 o
a
3
x
对于1点：U1 x 对于2点：U 2
a 0 E d l 0d x dx a
x a
对于3点： U 3 0 d x d x x a 0 a 0
上的电通量是多少？
q e 24 0
A
q
[例4] A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，若 两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E0 / 3。 求两平面A、B上的电荷σA和σB. A B 解: 要求 A ,作图示的高斯面 S1，
E0 2 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
故有:
4 B 0 E0 3
二、电势的计算 ⅰ]已知电荷分布求电势； (叠加法） [例5]电量q均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与 杆端距离为a的点P 的电势（以无穷远为零电势点）。 解: 建立如图坐标系，并选取微元 d q d x 则d q 单独存在时在 P 点产生的电势为:
[例8]电荷面密度分别为+σ和－σ的两块无限大均匀带电平面， 处于与平面垂直的 x 轴上的- a和+ a的位置上。设坐标原点O处的 电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。 解：建立坐标轴，分别在三个区域选取1、2、3点。 由高斯定 理得：
0 E 0 0
b
r
o
r
a
D) 0
8、下面列出的真空中静电场的场强公式，其中哪一个是正确的?
A）点电荷的电场： E q 40 r
2
[
D
]
B）“无限长”均匀带电直线的电场： E
σ E C） “无限大”均匀带电平面（电荷密度σ）的电场： 2ε0
r 3 20 r
σR2 D）半径为R 的均匀带电球面（电荷密度σ）的电场： E r 3 ε0 r
可看出：[
D
]
A) EA＞EB＞EC，UA＞UB＞UC． B) EA＜EB＜EC，UA＜UB＜UC． C) EA＞EB＞EC，UA＜UB＜UC． D) EA＜EB＜EC，UA＞UB＞UC．
C
B
A
6、一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d（d << R） 环上均匀带正电，总电量为q，则圆心O 处的场强大小 qd 从O点指向缺口中心点。 E = ———————— ，方向为 —————————— 8 2 0 R 3
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。பைடு நூலகம்
B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。
C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 一定为零。
3、以下各种说法正确的是： [ D ] A） 场强为零的地方，电势也一定为零。电势为零的地方， 场强也一定为零。 B） 电势较高的地方，场强一定较大。场强较小的地方， 电势也一定较低。 C） 场强相等的地方，电势相同。电势相等的地方，场强也 都相等。
R o
d
7、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 的 a 点处有 一试验电荷q 。现使试验电荷q 从 a 点沿半圆弧轨道运动到b 点，则电场力作功为[ D ] Qq r 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 0 r 2 4 0 r
Qq C) r 2 4 0 r
E 20 r 20 (d r ) dR U oo' E d l
R
d
P
dR
R
[ ]d r 20 r 20 (d r )
r
o
R
dr
o'
dR dR dR ln [ln ln ] 0 R 20 R R
S
0
q
S内
有源场
无旋场
环路定理：
E dl 0
L
3、两个基本物理量的计算 场强计算
① 根据点电荷的场强公式和叠加 原理求场强。 1 dq dE r 2 4 0 r
电势计算
①已知电荷分布求电势； (叠加法）
dU
dq 40 r
1
E
dq r 2 40 r 1
式
1 E d l ，这两个定理反映了静电 0 —————————————— E d S q和—————————— L
S
有源场 无旋场 场。 场是———————— 场和—————————
0
S内
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 [ [
在球外
q ˆ r 2 4 0 r 1
1
q U 4 0 r
练习 库仑定律 静电场的理论基础是 —————————— 和
———————————
场叠加原理 。关
电场线 于静电场的描述有两种方式：几何描述是通过————————— 和— 等势面 ———————来形象直观地表示，从图形上看两者之间的关系是 等势面与电场线正交 电场线密的地方等势面也密 1）——————————————————— 2） ————————————————————。理论
dq U 40 r
②已知场强分布求电势。（定义法）
1
②利用高斯定理求场强。
1 E d S
S
0
q
S内
UP
③电势差
P（ 0 零点）
P
E dl
③利用场强与电势的微分关系 求场强。
Ua Ub
b
a
E dl
4、几种典型带电体的静电场 1）点电荷
Q 40d
Q -Q产生的电势为： U 2 40 R
U O2
Q 1 1 ( ) 40 R d
两球心间的的电势差为： U O O U O U O 1 2 1 2
1 1 ( ) 20 R d
Q
ⅱ]已知场强分布求电势。（定义法） [例7]两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间 距为d（d＞＞2R），单位长度上的带电量分别为+λ和－λ。求两 直线间的电势差。 解：建立坐标系，P点处的场强为两带电直线在此处产生的 场强的叠加，故:
E U 分关系—————————————————————— 。描述静电场性质的两个基
高斯定理 和—————————— 环路定理 ， 它们的数学表达 本定理分别为——————————
U
E dl
UP E d l ，它们的积分关系为 ————————————— ，微 P
x
L
4 0 ( L d x ) 0
故有：
q 4 0d ( L d )
E
q i 40d (d L)
[例2]用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电 荷Q，试求圆心处点O的场强。
解：取微元 d q r d ，由对称性可知，Ey= 0。 y
dq d E x d E sin sin 2 40 R
0
dq
d
Ex d Ex
sin d 40 R
Q
O
R
d Ex
dE
d Ey
x
2 40 R
2 0 R
2
2
y
dq
故有： E E x
Q 2 2 0 R 2
d
R
O
d Ex
dU p
dq 40 r
dx
40 ( 2l a x )
2l
x dx
2l
dq
P
a
x
U p dU p
q
dx
40 ( 2l a x )
o
0
q 2l a 2l ln(2l a x ) 0 ln( ) 40 80 l a
[例6]两个半径为R的非导体球壳，表面上均匀带电，电量分别为 +Q和-Q，两球心相距离为d (d＞＞2R)。求两球心间的电势差。 解： 对于O1 点： Q Q Q +Q产生的电势为：U 1 R R 40 R o1 o2 d Q -Q产生的电势为： U 2 Q 1 1 40d U O1 ( ) 40 R d 对于O2 点： +Q产生的电势为： U 1
主要的计算类型
一、场强的计算
ⅰ] 叠加法（取微元 ）： 线电荷：
y
dx
x
o
R
d
L
d
x
dq d x
dq
x
d q d l r d
面电荷：
d q 2r d r
d q r d d r
r
d q 2r d r 2R2 sin d
R
S1
S2
由高斯定理，得: e
故有:
A S 0
2 3 要求 B ,作图示的高斯面S 2 , E0 4 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
A 0 E0
E0 3
A
E0
B
B S e 由高斯定理得: 0
电势 ， 上定量描述静电场性质的两个基本物理量是电场强度 ————————和————
力的作用和对电荷 ———— 作功 它们是从静电场对电荷有———— 两方面
F WP E U P ————————————— q0 q0
P（ 0 零点）
的性质而引进的。这两个物理量的定义式为
P（ 0 零点） ——————————————— P P
2 0
x
Ez
/2 1 d sin cos d 0 4 0 2 0 2 4 0
ⅱ] 高斯定理 ：
1 E d S
S
0
q
S内
q
1 q e1 e 6 6 0
[思考] 若点电荷 q 位于立方体的 A角上，则通过立方体侧面
O
[例1] 真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直 杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P的电场强度。 解：建立坐标系，取微元 d q d x ，则有：
dq d x
dE
d
dE
dx
40 ( L d x )2
x
L
o L dx E dE 0 4 ( L d x )2 0 q
dE
d Ey
x
[例3]一半径为R 的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ， 求球心点O 处的场强。
z
解: 取图示微元，则有:
dq d s dldr R d R si n d 1 dq dE y 2 4 0 R 1 dq d E z d E cos cos 2 4 0 R R2 sin cos d d sin cos d d 2 40 R 40
习 题
课
基本理论
本章主要研究静电场的基本性质和规律： 1、描述静电场的两个基本物理量 ① 电场强度矢量 F E q0 ② 电势
W UP P q0 or UP
电场线
P（ 0 零点）
P
E d l 等势面
2、静电场的两个基本定理 高斯定理：
1 E d S
E q ˆ r 2 40 r 1 q U 40 r 1
2） 均匀带电无限长直线 ˆ E r U lnr (U ( r 1) 0) 20 r 20 3） 均匀带电无限大平面 r ˆ ; E r U (U ( r 0) 0) 2 0 2 0 4 ）均匀带电球面 E0 在球内 q U 4 0 R
D） 电势不变的空间内，场强一定为零。 4、若均强电场的场强为 E ，其方向为平行于半径为R 的半球 面的轴，则通过此半球面的电通量为：[ A ]
A)R 2 E 1 C ) R 2 E 2
B )2R 2 E D ) 2R 2 E
R o
E
5、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图
a 0
d x x 0 0 x
0
( x a )
(a x a ) ( x a)
1 a 2 o
a
3
x
对于1点：U1 x 对于2点：U 2
a 0 E d l 0d x dx a
x a
对于3点： U 3 0 d x d x x a 0 a 0
上的电通量是多少？
q e 24 0
A
q
[例4] A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，若 两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E0 / 3。 求两平面A、B上的电荷σA和σB. A B 解: 要求 A ,作图示的高斯面 S1，
E0 2 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
故有:
4 B 0 E0 3
二、电势的计算 ⅰ]已知电荷分布求电势； (叠加法） [例5]电量q均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与 杆端距离为a的点P 的电势（以无穷远为零电势点）。 解: 建立如图坐标系，并选取微元 d q d x 则d q 单独存在时在 P 点产生的电势为:
[例8]电荷面密度分别为+σ和－σ的两块无限大均匀带电平面， 处于与平面垂直的 x 轴上的- a和+ a的位置上。设坐标原点O处的 电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。 解：建立坐标轴，分别在三个区域选取1、2、3点。 由高斯定 理得：
0 E 0 0
b
r
o
r
a
D) 0
8、下面列出的真空中静电场的场强公式，其中哪一个是正确的?
A）点电荷的电场： E q 40 r
2
[
D
]
B）“无限长”均匀带电直线的电场： E
σ E C） “无限大”均匀带电平面（电荷密度σ）的电场： 2ε0
r 3 20 r
σR2 D）半径为R 的均匀带电球面（电荷密度σ）的电场： E r 3 ε0 r
可看出：[
D
]
A) EA＞EB＞EC，UA＞UB＞UC． B) EA＜EB＜EC，UA＜UB＜UC． C) EA＞EB＞EC，UA＜UB＜UC． D) EA＜EB＜EC，UA＞UB＞UC．
C
B
A
6、一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d（d << R） 环上均匀带正电，总电量为q，则圆心O 处的场强大小 qd 从O点指向缺口中心点。 E = ———————— ，方向为 —————————— 8 2 0 R 3
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。பைடு நூலகம்
B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。
C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 一定为零。
3、以下各种说法正确的是： [ D ] A） 场强为零的地方，电势也一定为零。电势为零的地方， 场强也一定为零。 B） 电势较高的地方，场强一定较大。场强较小的地方， 电势也一定较低。 C） 场强相等的地方，电势相同。电势相等的地方，场强也 都相等。
R o
d
7、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 的 a 点处有 一试验电荷q 。现使试验电荷q 从 a 点沿半圆弧轨道运动到b 点，则电场力作功为[ D ] Qq r 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 0 r 2 4 0 r
Qq C) r 2 4 0 r
E 20 r 20 (d r ) dR U oo' E d l
R
d
P
dR
R
[ ]d r 20 r 20 (d r )
r
o
R
dr
o'
dR dR dR ln [ln ln ] 0 R 20 R R
S
0
q
S内
有源场
无旋场
环路定理：
E dl 0
L
3、两个基本物理量的计算 场强计算
① 根据点电荷的场强公式和叠加 原理求场强。 1 dq dE r 2 4 0 r
电势计算
①已知电荷分布求电势； (叠加法）
dU
dq 40 r
1
E
dq r 2 40 r 1
式
1 E d l ，这两个定理反映了静电 0 —————————————— E d S q和—————————— L
S
有源场 无旋场 场。 场是———————— 场和—————————
0
S内
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 [ [