1章习题课
线性代数(江西高校出版社)第一章习题课
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】 本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n
化工原理第一章习题课
局部阻力系数ζ （进口为0.5，出口为1） 当量长度le 4.非圆形管当量直径
4A de C
管内湍流 Re 2000
机械能衡算方程
u 2 P we gz wf 2
J/kg
例：为了测出平直等径管AD上某泄漏点M的位置，采用 如图所示的方法，在A、B、C、D四处各安装一个压力表， 并使LAB=LCD 。现已知AD段、AB段管长及4个压力表读 数，且管内流体处于完全湍流区。试用上述已知量确定泄 漏点M的位置，并求泄漏量点总流量的百分数。
2.ρ——流体密度，kg/m3（平均值）
P1 P2 3.柏式应用于可压缩流体， P1 0.2 用平均压强来计算ρm代入
机械能衡算方程
u 2 P we gz wf 2
J/kg
w f w f w f ——管路总阻力，J/kg
'
1.静止流体或理想流体 w f 0
( Hg ) g
Hf , ab；
( Hg ) g
Hf , cd ;
机械能衡算方程
u 2 P we gz wf 2
J/kg
P
Байду номын сангаас
——静压能（流动力），J/kg
1.△P——两截面上压强差，若两容器开口，△P=0 绝压，表压，真空度（负表压）的概念 流体静力学基方方程式
P Pa gh
U形管压差计测两截面（容器）总势能差
gz P R( A ) g
如图所示，贮槽内水位维持不变。管路直径100mm，管路 上装有一个闸阀，距管口入口端15m处安有以水银为指示 液的U形管压差计。测压点与管路出口端之间的直管长度为 20m。求1）当闸阀关闭时，测得R=600mm，h=1500mm， 当闸阀部分开启时，测得R=400mm，h=1400mm。摩擦系 数可取0.025。问每小时流量？2）当闸阀全开时，U管压差 计的静压强为若干？闸阀全开时，le/d=15，摩擦系数不变。
习题课第一章第二节原子结构与元素周期表
2．若某原子的价层电子排布式为4d15s2，则下列说法正确的是( )
√A．该元素位于周期表中第五周期第ⅢB族
B．该元素原子价层电子数为2
C．该元素为非金属元素
D．该元素原子N层共有8个电子 解析：该原子的价层电子排布式为4d15s2，该元素基态原子的电子排布式
为1s22s22p63s23p63d104s24p64d15s2，该元素位于周期表中第五周期第ⅢB族，
第ⅠA族元素，也可能为副族元素，如铬元素、铜元素。
3．基态原子的价层电子排布为(n－1)dxnsy的元素的族序数一定为
(x＋y)吗？
提示：不一定。基态原子的价层电子排布为(n－1)dxnsy的元素的
族序数可能为x＋y(x＋y≤7)，也可能为第Ⅷ族(10≥x＋y>7)，还
可能为y(x＝10)。
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V。该元素原子的电子排布式为1s22s22p63s23p63d34s2。
(2)该元素在元素周期表中的位置是什么？ 提示：该元素位于第四周期第ⅤB族。 (3)按核外电子排布划分，该元素属于哪个区？ 提示：该元素属于d区。
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2．基态原子的N层上只有一个电子的元素，一定是第ⅠA 族元素
吗？
提示：不一定。基态原子的N层上只有一个电子的元素，可能是
B．f区指的是镧系和锕系，镧系和锕系在第六、七周期的第ⅢB 族，第五周期不含有f区
元素，故B说法错误；
C．d区和ds区均为过渡元素，过渡元素都是金属元素，故C说法正确；
D．s区的价层电子排布为ns1～2，s区所有元素原子的p能级电子均为全满或全空状态，故
D说法正确。
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12345
2．已知下列元素原子的最外层电子排布式，其中不一定能表示该元素为
第一章质点运动学习题课
质点运动学
30
物理学
第五版
第一章习题课
9 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，设t=0时 质点位于x轴上，其角速度为ω=12t2。试求
质点运动学
23
物理学
第五版
第一章习题课 5 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v0，刹车 后其加速度与速度成正比而反向，即a=-kv，k 为正常量。
试求
（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系
（2）刹车后轿车最多能行多远？
解：
dv 1 kt 由 a kv kv dv kdt v Ce （1） dt v
（3） v R 25 1 25m s
1
a R m s 2
质点运动学
29
物理学
第五版
第一章习题课 8 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧 长与时间的关系为s=bt+ct2/2，其中b，c为常量， 且Rc>b2。 求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的 时间 解：
答案：B
质点运动学
4
物理学
第五版
第一章习题课
4 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一 定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人 以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率 为v,则小船作( )
质点运动学
5
物理学
第五版
第一章习题课
v0 (A) 匀加速运动, v cos
(B) 匀减速运动,
第一章习题课
化工原理第一章习题课
化工原理第一章习题课(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、概念题1．某封闭容器内盛有水，水面上方压强为p 0，如图所示器壁上分别装有两个水银压强计和一个水银压差计，其读数分别为R 1、R 2和R 3，试判断： 1）R 1 R 2（＞，＜，＝）； 2）R 3 0（＞，＜，＝）；3）若水面压强p 0增大，则R 1 R 2 R 3 有何变化（变大、变小，不变）2．如图所示，水从内径为d 1的管段流向内径为d 2管段，已知122d d =，d 1管段流体流动的速度头为，m h 7.01=，忽略流经AB 段的能量损失，则=2h m ，=3h m 。
3．如图所示，管中水的流向为A →B ，流经AB 段的能量损失可忽略，则p 1与p 2的关系为 。
21)p p A > m p p B 5.0)21+> m p p C 5.0)21-> 21)p p D <4．圆形直管内，Vs 一定，设计时若将d 增加一倍，则层流时h f 是原值的 倍，高度湍流时，h f 是原值的 倍（忽略管壁相对粗糙度的影响）。
5．某水平直管中，输水时流量为Vs ，今改为输2Vs 的有机物，且水μμ2=，水ρρ5.0=，设两种输液下，流体均处于高度湍流状态，则阻力损失为水的倍；管路两端压差为水的 倍。
6．已知图示均匀直管管路中输送水，在A 、B 两测压点间装一U 形管压差计，指示液为水银，读数为R （图示为正）。
则： 1）R 0（>，=，<）2）A 、B 两点的压差p ∆= Pa 。
)()ρρ-i Rg A gh Rg B i ρρρ+-)() )()ρρρ--i Rg gh C gh Rg D i ρρρ--)()3）流体流经A 、B 点间的阻力损失f h 为 J/kg 。
4）若将水管水平放置，U 形管压差计仍竖直，则R ，p ∆ ，f h 有何变化7．在垂直安装的水管中，装有水银压差计，管段很短，1，2两点间阻力可近似认为等于阀门阻力，如图所示，试讨论：1）当阀门全开，阀门阻力可忽略时，1p 2p （＞，＜，＝）；2）当阀门关小，阀门阻力较大时，1p 2p （＞，＜，＝），R （变大，变小，不变）；3）若流量不变，而流向改为向上流动时，则两压力表的读数差p ∆，R ；（变大，变小，不变）。
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
第一章(5)习题课
∴
E
0，
( r R)
E的方向垂直轴线沿径向， > 0则背离轴线；
R ˆ， ( r R ) r 0r
< 0则指向轴线。
11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为，P点与 平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的 电势 V p d / 2 0 ，若在P点由静止释放一个电子(其 质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为：
3、一均匀静电场，场强 E (400i 600 j )V m 1 , 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 Vab 2000V
解 : E 400i 600 j
b b a a
dl dxi dyj
Vab E dl (400i 600 j ) (dxi dyj )
侧 面 EdS E 侧 面 dS 2πrhE
(1) r < R时,
qi 0 ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
即 2πrhE 0, 得 E 0 (2) r > R时, q i 2πRhσ ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
σR 即 2πrhE 2πRhσ / ε0 , 得 E ε0 r
2
10.( 第一章习题二 .9) 无限长均匀带电圆柱面，电荷 面密度为，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面
R r
E
为高斯面, 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向
h E
S
ˆ r
沿矢径方向。 Φ S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS
第一章 电磁现象的普遍规律习题课
第一章 电磁现象的普遍规律要求掌握§1—§6，其中重点是§3—§5。
具体要求是：1． 需要掌握的主要数学公式 （1） 矢量代数公式：cb a bc a c b a b a c a c b c b a)()()()()()(⋅-⋅=⨯⨯⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ （2） 梯度、散度和旋度定义及在直角坐标和球坐标中的表达式。
（3） 矢量场论公式AB B A A A A A A⨯∇⋅∇±∇==⨯∇=⨯∇⋅∇=∇⨯∇∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇＝，可引入＝若，可引入若000)(0)()(2ϕϕ（4）复合函数“三度”公式：dudf uu f ∇=∇)(du A d u u A⋅∇=⋅∇)(duA d u u A⨯∇=⨯∇)(（5）有关x x r '-=的一些常用公式：为常数矢量）a a r a r rr r r r r r r r r rr()(0),0(0,10,3,333=⋅∇=⨯∇≠=⋅∇-=∇=⨯∇=⋅∇=∇（6）积分变换公式：Sd A A l d A V d A s d SLVS⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰)(2． 麦克斯韦方程组建立的主要实验定律和假定电磁感应定律：⎰-=B dt d εS d⋅(实质：变化磁场激发电场)电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇t J ρ位移电流假定：tEJ D ∂∂=0ε（实质：变化电场可以激发磁场）感生电场i E ： 0,=⋅∇∂∂-=⨯∇i i E tBE3． 真空中的麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇00000B E t E J B t B E ερμεμ4．介质中的电磁性质方程仅讨论均匀介质：E P 00εχ=, p m H M ρχ,==P ⋅∇-,tE J H B E D t P J M J D P m ∂∂===∂∂=⨯∇=0,,,,εμε5．介中的麦克斯韦方程组微分方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇0,B D t D J H t B Eρ 积分方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅+=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰s S LL s S d B Q S d D Sd D dtd I l d H S d B dt d l d E 0 其中M BH P E D-=+=00,με6． 洛伦兹力公式：B J E f⨯+=ρ(适用于电荷分布情况)B v e E e F⨯+=(适用于单个带电粒子)7． 电磁场的边值关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅0)()(0)()(12121212E E n H H n B B n D D n f fασ其它有用的边值关系：12)(εσσP f E E n +=-⋅， P P P n σ-=-⋅)(12,tJ J n f ∂∂-=-⋅σ)(128． 电磁场的能量能流密度矢量H E S⨯=及其意义；均匀介质中的能量密度 )(21H B D E w⋅+⋅=;能量在场中传递，传递方向为S的方向三、 练习题（一） 单选题（在题干后的括号内填上正确选项前的序号，每题1分） 1．高斯定理→→⎰⋅E S d s=εQ中的Q 是 （ 4 ）① 闭合曲面S 外的总电荷 ② 闭合曲面S 内的总电荷 ③ 闭合曲面S 外的自由电荷 ④ 闭合曲面S 内的自由电荷 2．高斯定理→→⎰⋅E S d s=0εQ中的E是 ( 3 )① 曲面S 外的电荷产生的电场强度 ② 曲面S 内的电荷产生的电场强度③ 空间所有电荷产生的电场强度 ④ 空间所有静止电荷产生的电场强度 3．下列哪一个方程不属于高斯定理 （3 ）①→→⎰⋅E S d s=εQ②→→⎰⋅E S d S=V d V'⎰ρε01② ▽→⨯E =-tB∂∂→④→⋅∇E =ερ4．静电场方程▽→⨯E = 0 ( 1 )① 表明静电场的无旋性 ② 适用于变化电磁场 ③ 表明静电场的无源性 ④ 仅对场中个别点成立5．对电荷守恒定律下面哪一个说法成立 ( 3 )① 一个闭合面内总电荷保持不变 ② 仅对稳恒电流成立 ③ 对任意变化电流成立 ④ 仅对静止电荷成立6．在假定磁荷不存在的情况下，稳恒电流磁场是 （ 4 ） ① 无源无旋场 ② 有源无旋场 ③有源有旋场 ④ 无源有旋场7．下面哪一个方程适用于变化电磁场 （ 3 ）① ▽→⨯B =→J 0μ ②▽→⨯E =0 ③→⋅∇B =0 ④ →⋅∇E =08．下面哪一个方程不适用于变化电磁场 （ 1 ）① ▽→⨯B =→J 0μ ②▽→⨯E =-t B ∂∂→③▽•→B =0 ④ ▽•→E =0ερ 9．通过闭合曲面S 的电场强度的通量等于 ( 1 )① ⎰⋅∇VdV E )( ②⎰⋅⨯∇L l d E )( ③ ⎰⨯∇V dV E )( ④⎰⋅∇SdS E )(10．电场强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( 2 )① ⎰⋅∇VdV E )( ② ⎰⋅⨯∇SS d E )( ③⎰⨯∇VdV E )( ④⎰⋅∇SdS E )(11.磁感应强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( 2 )① l d B L⋅⨯∇⎰)( ② ⎰⋅⨯∇SS d B )( ③⎰⨯SS d B ④⎰⋅∇VdV B )(12. 位置矢量r的散度等于 ( 2 )①0 ②3 ③r1④r 13.位置矢量r的旋度等于 ( 1 )①0 ②3 ③r r ④3rr14.位置矢量大小r 的梯度等于 ( 3 )①0 ② r 1 ③ r r ④3rr15.)(r a⋅∇=? (其中a 为常矢量) ( 4 )① r ② 0 ③ rr④a16.r1∇=？ ( 2 )① 0 ② -3rr ③ r r④ r17.⨯∇ 3rr=？ ( 1 )① 0 ② r r③ r ④r118.⋅∇ 3rr=？（其中r ≠0） ( 1 )①0 ② 1 ③ r ④r119.)]sin([0r k E ⋅⋅∇ 的值为（其中0E和k 为常矢量） ( 3 )①)sin(0r k k E ⋅⋅②)cos(0r k r E ⋅⋅③)cos(0r k k E ⋅⋅④)sin(0r k r E⋅⋅20.对于感应电场下面哪一个说法正确 ( 4 )①感应电场的旋度为零 ②感应电场散度不等于零③感应电场为无源无旋场 ④感应电场由变化磁场激发21.位移电流 ( 4 )①是真实电流，按传导电流的规律激发磁场 ②与传导电流一样，激发磁场和放出焦耳热 ③与传导电流一起构成闭合环量，其散度恒不为零 ④实质是电场随时间的变化率22.麦氏方程中tBE ∂∂-=⨯∇ 的建立是依据哪一个实验定律 ( 3 )①电荷守恒定律 ②安培定律 ③电磁感应定律 ④库仑定律23.麦克斯韦方程组实际上是几个标量方程 ( 2 )①4个 ②6个 ③8个 ④10个24.从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( 2? )①有源无旋场 ②有源有旋场 ③无源无旋场 ④无源无旋场25.从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 ( 3 4 )①有源无旋场 ②有源有旋场 ③无源无旋场 ④无源无旋场26.束缚电荷体密度等于 ( 3 )①0 ②P ⨯∇ ③-P⋅∇ ④)(12P P n-⋅27.束缚电荷面密度等于 ( 4 )①0 ②P ⨯∇ ③-P ⋅∇ ④-)(12P P n -⋅28.极化电流体密度等于 ( 4 )①0 ②M ⋅∇ ③M ⨯∇ ④tP∂∂29.磁化电流体密度等于 ( 1 )①M ⨯∇ ②M ⋅∇ ③tM ∂∂④)(12M M n -⋅30.对于介质中的电磁场 ( 3 )①（E，H ）是基本量，（D ，B ）是辅助量②（D ，B ）是基本量，（E，H ）是辅助量 ③（E，B ）是基本量，（D ，H ）是辅助量 ④（D ，H ）是基本量，（E，B ）是辅助量31. 电场强度在介质分界面上 ( )①法线方向连续，切线方向不连续 ②法线方向不连续，切线方向不连续③法线方向连续，切线方向连续 ④法线方向不连续，切线方向连续32.磁感应强度在介质分界面上 ( )①法线方向连续，切线方向不连续 ②法线方向不连续，切线方向不连续③法线方向连续，切线方向连续 ④法线方向不连续，切线方向连续33.玻印亭矢量S( )①只与E垂直 ②H 垂直 ③与E 和H 均垂直 ④与E 和H均不垂直（二）填空题（在题中横线上填充正确的文字或公式）1．连续分布的电荷体系)(/x ρ产生的电场强度=)(x E ___________________。
概率论与数理统计习题课1
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
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第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
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第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
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第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
同济高等数学第一章习题课
f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以， 所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当 下列函数分别是x的几阶无穷小 时，下列函数分别是 的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习： 练习： P74，3（1） ， （ ）
求分段函数的极限， 三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性， 连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0
第一章质点运动学习题课
v v v v绝 = u牵 + v相
v’2
α v2
v1
r r r v雨地 = v车地 + v雨车
那么，雨滴下落速度 那么，雨滴下落速度v2为：
其方向关系如图所示。 其方向关系如图所示。
r r 0 v雨地 = v车地 / tan 75 = 5.36(m / s)
13
1-21如图示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1，下落雨滴的 如图示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 如图示 速度方向偏离于竖直方向之前θ角 速率为v 速度方向偏离于竖直方向之前 角，速率为 2。若车后有一长方形 物体，问车速为多大时，此物体正好不被雨水淋湿？ 物体，问车速为多大时，此物体正好不被雨水淋湿？ 分析：视雨点为研究对象，地面为静参考系，汽车为动参考系。r 分析：视雨点为研究对象，地面为静参考系，汽车为动参考系。 r r 则 v1是牵连速度， 2是绝对速度 是牵连速度， v v1 要使物体不被雨淋湿， 要使物体不被雨淋湿，在车上观察雨点下落的方向 r 即相对速度） （即相对速度）应满足 r α ≥ arctg(l / h) v′ α θ
分析： 分析： 质点作匀速率圆周运动, 质点作匀速率圆周运动 只有法向加速度. 只有法向加速度 质点的位矢与速度垂直. 质点的位矢与速度垂直 质点的位矢与加速度反向. 质点的位矢与加速度反向 质点的速度与加速度垂直. 质点的速度与加速度垂直 O
v vA r R a n
X
3
1-9下列说法是否正确 下列说法是否正确: 下列说法是否正确 (1)质点作圆周运动时的加速度指向圆心 质点作圆周运动时的加速度指向圆心; 质点作圆周运动时的加速度指向圆心
v0t + at / 2 = h + v0t − gt / 2
第一章习题课(第二次)
则电子的运动微分方程为
mx evy B eBy my eE evx B eE eBx ②-③-④ mz 0
由② m dvx dt
eB dy , ，即 dt
vx v
dvx
eB
y
m dy
0
代入③整理可得
vx
eB m
y
V
⑤
y e2 B2 y e E BV ⑥
m2
m
对于齐次方程 y e2 B 2 y 0 的通解 m2
2
d 2
a
cos2
3
2
2
1 a
2cos
2
1 2
3sin 2
2
cos
2
5 2
故
F
mh2u 2
d 2u d 2
u
mh 2
a3
1 cos2
2c
os2
1 2
3sin 2
2
c
os2
5 2
1 cos2
3mh 2
cos
2
3 2
1
tan 2
2
a3
3mh 2
cos 2
7 2
a3
3mh2 3ma 4h 2
把⑧⑨代入① N mg cos m v2
mg cos m 2ga1 cos2 2mg cos
4a cos
1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。
a Fx 6abz3 y 20bx3 y2 ， Fy 6abxz3 10bx4 y ， Fz 18abxyz2
b F iFx x jFy y kFz z
•O
•a
v •A
v • m
所以
第一章_习题课_流体流动
2
1、粘性是流体的物性之一，无论是静止的还是流动的流体都 具有粘性。（ √ ） 2、尽管粘性是流体的物性之一，但只有流动的流体才考虑粘 性的影响，对静止的流体可不考虑粘性的影响。（ √ ） 3、U型压差计测量的是两截面间静压强的差值。（ × ） 4、流体在圆形管道中作稳态流动，流速会因内摩擦力的存在 而减速。（ ×） 5、孔板流量计工作时，流体在流过孔板前后的静压强差不变。 （ × ） 6、转子流量计工作时，流体作用在转子上下截面间的静压强 差不变。（ √ ）
u h f R( 0 ) g 2
2. 流体在流动过程中，由于速度的大小和方向发生变化 形体 而引起的阻力，称为______________ 阻力
3. 流体在水平等径直管中流动时的摩擦阻力损失hf所损 失的是机械能中的____ P/ 项。 升高 4. 一般情况下，温度升高，气体的粘度___________ ， 液体的粘度_____________ 。 降低
2
静力学方程式：
p1
gz1
p2
gz2
主要公式
虚拟压强：
P p ρgz
P p ρgz const 静力学基本方程： ρ ρ
非等径直管中稳态流动：
2 P1 P2 u2 u12 Rg( 0 ) （ ） hf ρ ρ 2 2
等径直管中稳态流动：
h f,前＝h f,后
l u2 l u' 2 d 2 d' 2
u' d' u d
Vh' u' d' 2 2.5 2 1.5 2.756 Vh u d
（2）有人建议将管路并联一根长度为l/2、内径为 50mm的管子（见图b）。（增加26.5%）
概率统计习题课一
生产的概率? 解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:
P( A1 | B)
P( A1 )P(B | A1 )
5
• P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B).
• P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(s -AB)
• P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。
• A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等， P(A)=p，求P(B).
（3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32，P（C）=32/36=8/9
注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？
3
• AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件 的概率。
解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
=（4/10）×（3/9）+（6/10）×（4/9）
= 6/15
12 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲
厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品 率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.
=0.8×0.7×0.4=0.224
电路理论基础课后习题解析 第一章
电路理论基础
ux
ix uo 20KW 60KW i3
io
50KW 10KW
30KW uo
解 由题可知
u1=4mV
u1= u2=4mV
i1= i2=0，电压ux为 u2 4 10 3 3 3 ux (10 50） 60 10 24 10 3 10 10 10
a 6A I0 2W 1/4I0 I1 8W U 0
电路理论基础
解 对图中节点a利用 KCL可得 1 6 I 0 I 0 I1 0 4
对8W 、2W电阻由欧姆定律可得， I1 U 0 / 8 CCCS I0 U0 / 2 将I1、I2代入上述方程中解得： U0 8 V I0 4 A
电路理论基础
第一章 习 题 课
1、参考方向和实际方向
电路理论基础
例1-1 某二端元件两端电压的数值为10V，若 已知电流由元件的 b 端指向 a 端，元件获得能量。 试标出电压的实际方向，写出电压表达式。
a
i U=10V
b
思考
a i i
U=-10V
b U= ? b
若电压电流都取相反 擦靠方向，则 ？
例1-11 图示含有理想运算放大器电路，试求输出电 压U0。 I 5W 2 解 U A 1V
5W A I 5W 3
I1 B 5W I4 5W C I5 ∞
电路理论基础
Hale Waihona Puke U C 3VUA I1 0.2A Uo 5 1V 3V UC U A I2 0.4A 5 I 3 I 2 I1 0.4 0.2 0.2A U AB I 3 5 1V U BC 3 I4 0.6A U BC U AB U AC 3V 5 5
离散数学第一章习题课
1兴义民族师范学院数学系10级专科班使用代数结构集合论组合数学离散数学数理逻辑图论初等数论离散数学及其应用兴义民族师范学院2主要内容z 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化z 联结词¬, ∧, ∨, →, ↔及复合命题符号化z 命题公式及层次z 公式的类型z 真值表及应用基本要求z 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化z 会求复合命题的真值z 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念z 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假赋值及判断公式类型第一章习题课例2将下列命题符号化.(1)吴颖既用功又聪明.(2)吴颖不仅用功而且聪明.(3)吴颖虽然聪明，但不用功.(4)张辉与王丽都是三好生.(5)张辉与王丽是同学.(1) p∧q解令p:吴颖用功, q:吴颖聪明(2) p∧q(3) ¬p∧q设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生(4) p∧q(5) p: 张辉与王丽是同学(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性(4)—(5) 要求分清“与”所联结的成分34例3将下列命题符号化(1) 2 或4 是素数.(2) 2 或3 是素数.(3) 4 或6 是素数.(4) 小元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王小红生于1975 年或1976 年.解：(1) 令p :2是素数, q :4是素数, p ∨q 解：(2) 令p :2是素数, q :3是素数, p ∨q 解：(3) 令p :4是素数, q :6是素数, p ∨q解：(4) 令p :小元拿一个苹果, q:小元拿一个梨(p ∧¬q )∨(¬p ∧q )解：(5) p :王小红生于1975 年, q :王小红生于1976 年,(p ∧¬q )∨(¬p ∧q ) 或p ∨q相容或排斥或5定义1.4设p , q 为两个命题，复合命题“如果p , 则q ”称作p 与q 的蕴涵式，记作p →q ，并称p 是蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件，→称作蕴涵联结词.规定：p →q 为假当且仅当p 为真q 为假.2. 蕴涵联结词(1)p →q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件(2)“如果p , 则q ”有很多不同的表述方法：若p ，就q 只要p ，就q p 仅当q 只有q 才p除非q , 才p 或除非q ，否则非p ，…．(3)当p 为假时，p →q 恒为真，称为空证明(4)常出现的错误：不分充分与必要条件6第一章习题课1.下列句子中，那些是命题？并判断其真假.(1) 古代中国有四大发明. (2) 是无理数. (3)3是素数或4是素数.(4) ,其中是任意实数.(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数.(7)刘红与魏新是同学.(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘以.(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数.(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.(13)2025年元旦下大雪.5x 235x +<π是命题，真命题是命题，真命题是命题，真命题不是命题，真值不唯一不是命题，疑问句是命题，假命题是命题，真值客观存在，真值视具体情况定不是命题，感叹句不是命题，祈使句是命题，真命题是命题，真命题是命题，假命题是命题，真值客观存在，真值待定78. 将下列命题符号化,并指出各命题的真值.(1)只要，就有.(2) 如果，则.(3) 只有，才有.(4) 除非，才有.(5) 除非，否则.(6) 仅当.32<21<21<21<21<21<21<32≥32<32≥32≥32<解：设p :，q : 21<32<提示：分清必要与充分条件及充分必要条件(1) p →q,真值为：1(2) p →¬q,真值为：1真值为：0(3) ¬q →p,(4) ¬q →p,真值为：0(5) ¬q →p,真值为：0假言易位A →B ⇔¬B →¬A¬q →p ⇔¬p →q(6) p →q,真值为：1补充题3. 用真值表判断下面公式的类型(1)p∧r∧¬(q→p)(2)((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r(3)(p→q) ↔(p→r)89(1) p ∧r ∧¬(q →p )矛盾式0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 p q r 000000001100001001111p ∧r ∧¬(q →p )¬(q →p ) q →p 001(2) ((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r永真式111111111111111111110 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r ¬q→¬pp→qp q r10练习3解答(3) (p→q) ↔(p→r)非永真式的可满足式1111111111111111110 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1(p→q) ↔(p→r)p→rp→qp q r1112（3）(p ∧q ) →¬p 的真值表1 11 00 10 0(p ∧q ) →¬pp ∧q┐pp q11100111000成真赋值为00，01,1020.列出真值表，求下列公式的成真赋值13（4）¬(p ∨q ) →q 的真值表1 11 00 10 0¬(p ∨q ) →q¬(p ∨q )p ∨qp q111011100001成真赋值为01，10，1120.列出真值表，求下列公式的成真赋值14111100000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1101010100011000011101111成假赋值为：011¬(¬p ∧q ) ∨¬r¬(¬p ∧q )¬r ¬pp q r¬p ∧q11001111（1）¬(¬p ∧q ) ∨¬r 的真值表21.列出真值表，求下列公式的成假赋值15（2）(¬q ∨r ) ∧(p →q )的真值表0 0 01 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 1(¬q ∨r ) ∧(p →q )p →q ¬q ∨r ¬q p q r 11001111100010110011001110111011成假赋值为：010，100，101，110。
电路第一章习题
1 1
2 2
i2
2
3i1
0
2 3
i2
2
3i1
0
求解上面的两个方程得：
i1 2A,i2 6A u 3i1 3 2 6V
is 8A
1
2
+ 3 u
_
A i2
1
i1
2
+
is 8A
_2V
+ 3 u
_
+ _2V
I
例4 分析图示电路，求出A点的电位。
注：一个有n个结点的电路，依kcl列结点电流方程，则n-1 个方程将是相互独立的。
习题1-15答案 答案分析：
(1)i3R3 u s3 i4R4 i2R2 0
i R i R i R u u (2) 0
2 2 5 5 11
s2
s1
(3)i4R4 i6R6 u s2 i5R5 0
1-10 b)电路如图所示，试求电压 ucb.
解： u1 2 5 10V i 0.05u1 0.5A uac Ri 20 0.5A 10V uab 3V ucb uac uab 13V
1－13在图示电路中，已知
u12 2V , u23 3V , u25 5V , u37 3V , u67 1V , 尽可能多的
第一章 习题课
1 如图所示电路中，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，US1=3V， US2=1V 。求电阻R1两端的电压U1。
I3 + U3 – ① + U2 – I2
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式
1 E d l ，这两个定理反映了静电 0 —————————————— E d S q和—————————— L
S
有源场 无旋场 场。 场是———————— 场和—————————
0
S内
练习题
1、关于高斯定理，下列说法中正确的是： A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。 C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 D）以上说法都不正确。 2、下列说法正确的是 [ [
E
在球外
q ˆ r 2 4 0 r 1
1
q U 4 0 r
练习 库仑定律 静电场的理论基础是 —————————— 和
———————————
场叠加原理 。关
电场线 于静电场的描述有两种方式：几何描述是通过————————— 和— 等势面 ———————来形象直观地表示，从图形上看两者之间的关系是 等势面与电场线正交 电场线密的地方等势面也密 1）——————————————————— 2） ————————————————————。理论
dq U 40 r
②已知场强分布求电势。（定义法）
1
②利用高斯定理求场强。
1 E d S
S
0
q
S内
UP
③电势差
P（ 0 零点）
P
E dl
③利用场强与电势的微分关系 求场强。
Ua Ub
b
a
E dl
4、几种典型带电体的静电场 1）点电荷
dq d E x d E sin sin 2 40 R
0
dq
d
Ex d Ex
sin d 40 R
Q
O
R
d ExBiblioteka dEd Eyx
2 40 R
2 0 R
2
2
y
dq
故有： E E x
Q 2 2 0 R 2
d
R
O
d Ex
C
]
D
]
A）若高斯面内无净电荷，则高斯面上 E 处处为零。
B）若高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有净电荷。
C）若高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 D）若通过高斯面的电通量为零，则高斯面内的净电荷 一定为零。
3、以下各种说法正确的是： [ D ] A） 场强为零的地方，电势也一定为零。电势为零的地方， 场强也一定为零。 B） 电势较高的地方，场强一定较大。场强较小的地方， 电势也一定较低。 C） 场强相等的地方，电势相同。电势相等的地方，场强也 都相等。
dE
d Ey
x
[例3]一半径为R 的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为σ ， 求球心点O 处的场强。
z
解: 取图示微元，则有:
dq d s dldr R d R si n d 1 dq dE y 2 4 0 R 1 dq d E z d E cos cos 2 4 0 R R2 sin cos d d sin cos d d 2 40 R 40
S1
S2
由高斯定理，得: e
故有:
A S 0
2 3 要求 B ,作图示的高斯面S 2 , E0 4 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
A 0 E0
E0 3
A
E0
B
B S e 由高斯定理得: 0
Q 40d
Q -Q产生的电势为： U 2 40 R
U O2
Q 1 1 ( ) 40 R d
两球心间的的电势差为： U O O U O U O 1 2 1 2
1 1 ( ) 20 R d
Q
ⅱ]已知场强分布求电势。（定义法） [例7]两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间 距为d（d＞＞2R），单位长度上的带电量分别为+λ和－λ。求两 直线间的电势差。 解：建立坐标系，P点处的场强为两带电直线在此处产生的 场强的叠加，故:
E 20 r 20 (d r ) dR U oo' E d l
R
d
P
dR
R
[ ]d r 20 r 20 (d r )
r
o
R
dr
o'
dR dR dR ln [ln ln ] 0 R 20 R R
[例8]电荷面密度分别为+σ和－σ的两块无限大均匀带电平面， 处于与平面垂直的 x 轴上的- a和+ a的位置上。设坐标原点O处的 电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。 解：建立坐标轴，分别在三个区域选取1、2、3点。 由高斯定 理得：
0 E 0 0
R o
d
7、 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 的 a 点处有 一试验电荷q 。现使试验电荷q 从 a 点沿半圆弧轨道运动到b 点，则电场力作功为[ D ] Qq r 2 Qq A) Q B) 2r 2 q 2 4 0 r 2 4 0 r
Qq C) r 2 4 0 r
主要的计算类型
一、场强的计算
ⅰ] 叠加法（取微元 ）： 线电荷：
y
dx
x
o
R
d
L
d
x
dq d x
dq
x
d q d l r d
面电荷：
d q 2r d r
d q r d d r
r
d q 2r d r 2R2 sin d
R
O
[例1] 真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直 杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P的电场强度。 解：建立坐标系，取微元 d q d x ，则有：
dq d x
dE
d
dE
dx
40 ( L d x )2
x
L
o L dx E dE 0 4 ( L d x )2 0 q
E U 分关系—————————————————————— 。描述静电场性质的两个基
高斯定理 和—————————— 环路定理 ， 它们的数学表达 本定理分别为——————————
U
E dl
UP E d l ，它们的积分关系为 ————————————— ，微 P
x
L
4 0 ( L d x ) 0
故有：
q 4 0d ( L d )
E
q i 40d (d L)
[例2]用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电 荷Q，试求圆心处点O的场强。
解：取微元 d q r d ，由对称性可知，Ey= 0。 y
a 0
d x x 0 0 x
上的电通量是多少？
q e 24 0
A
q
[例4] A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，若 两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E0 / 3。 求两平面A、B上的电荷σA和σB. A B 解: 要求 A ,作图示的高斯面 S1，
E0 2 e E d S S E0 S E0 S 3 3 S
S
0
q
S内
有源场
无旋场
环路定理：
E dl 0
L
3、两个基本物理量的计算 场强计算
① 根据点电荷的场强公式和叠加 原理求场强。 1 dq dE r 2 4 0 r
电势计算
①已知电荷分布求电势； (叠加法）
dU
dq 40 r
1
E
dq r 2 40 r 1
E q ˆ r 2 40 r 1 q U 40 r 1
2） 均匀带电无限长直线 ˆ E r U lnr (U ( r 1) 0) 20 r 20 3） 均匀带电无限大平面 r ˆ ; E r U (U ( r 0) 0) 2 0 2 0 4 ）均匀带电球面 E0 在球内 q U 4 0 R
电势 ， 上定量描述静电场性质的两个基本物理量是电场强度 ————————和————
力的作用和对电荷 ———— 作功 它们是从静电场对电荷有———— 两方面
F WP E U P ————————————— q0 q0
P（ 0 零点）
的性质而引进的。这两个物理量的定义式为
P（ 0 零点） ——————————————— P P
0
( x a )
(a x a ) ( x a)
1 a 2 o
a
3
x
对于1点：U1 x 对于2点：U 2
a 0 E d l 0d x dx a
x a
对于3点： U 3 0 d x d x x a 0 a 0
D） 电势不变的空间内，场强一定为零。 4、若均强电场的场强为 E ，其方向为平行于半径为R 的半球 面的轴，则通过此半球面的电通量为：[ A ]
A)R 2 E 1 C ) R 2 E 2
B )2R 2 E D ) 2R 2 E
R o
E
5、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图
习 题
课
基本理论
本章主要研究静电场的基本性质和规律： 1、描述静电场的两个基本物理量 ① 电场强度矢量 F E q0 ② 电势
W UP P q0 or UP