复习：几个典型例题

L
系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转 动。当 m2 缓慢滑到端点A时，系统角速度为 求：此过程中外力矩的功 请自行列式

o
k
m2
解：m1 + m2+k 系统非刚体， A
m1
缓慢滑动，不计 m2 沿杆径 向运动的动能。
L
A外 A内 Ek
1 A内 A弹 kx d x k ( x ) 2 0 2

m M L
1 3 2
2
1 mg 3 L Mg 4 2 L
1 ( mg 3 4 L Mg 2 L ) (1 cos )
0
EK1 Ep1 Ek 2 Ep 2 Ep Ep 2 Ep1 EK1 Ek 2 EK
1 3 2 2
4.某质点的运动方程为 x =2t7t3+3 （SI）,则该质点作
(A)匀加速直线运动,加速度沿 (B)匀加速直线运动,加速度沿 (C)变加速直线运动.加速度沿 (D)变加速直线运动,加速度沿 x x x x 轴正方向; 轴负方向; 轴正方向; 轴负方向。
[
D
]
5.某物体的运动规律为 dv/dt = Av2 t,式中 A 为大于零的常数,当 t = 0 时,初速为 v0, 则速度 v 与 t 时间的 函数关系为 1 2 2 (A)v A t v0 ; (B) v A t v0 ; 2 2 2 At 1 1 At 1 (D) ; (C) ; 2 v0 v 2 v0 [ C ]
a
'
a
T
m2
m2 g
T
m2 a
m1
m1 g
a'
m1a
m : m g m a T m a
1
'
1
1
1
(1)
'
m : T m g m a m a
2
2
2
2
(2)
联立两式可得：
m1 g a m2 g a ' a m1 m2
2m1m2 g a T m1 m2
2.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖 直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3, 起初杆静止,桌面上有两个质量均为 m 的小 球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端, 以相同速率 v 相向运动,当两个小球同时与 杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘 在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度 m v 应为:
m, l mg
例:细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过 水平桌面上的光滑小孔，小球以角速度 0 转 动，用力 F 拉线，使转动半径从 r0 减小到 r 0/ 2 。 求：（1）小球的角速度；（2） 拉力 F 做的功。
0
解：（1）由于线 的张力过轴，小球 受的合外力矩为0， 角动量守恒。
r0 F m
o
F
L0 L J 0 0 J
0
2
mr0 0 mr r r0 /2 4 0
2
r0 m F
o
F
半径减小角速度增加。 （2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？ W Md
0
在定义力矩作功时， 我们认为只有切向力 作功，而法向力与位 移垂直不作功。 但在例题中，小球 受的拉力与位移并 不垂直，小球的运 动轨迹为螺旋线， 法向力要作功。
3 4
o
L
M c
v0


m M L 3 M 2 4 m gL 1 cos
1 9 2 16
1 4
L m
3 4
Lmv0 cos m M L
9 16 1 3 2
1 9 2 16

2 2 3 M m 1 M L m gl 1 cos 3 2 4
二、选电梯参考系，电梯参考系是非惯 性系，那么我们就用非惯性系中的力学 定律来解决此问题。 在非惯性系中，物体除了真实受力外， 还要受到一个假想的惯性力的作用。 设 m1、 m 2相对于的电梯的加速 度 a ' ，相对于地的加速度分别 为 a1、a2 受力分析如图。 在非惯性系中，利用牛顿第二定律：
x
A外 k x
1 2 2
1 2

1 3
m1 L2 m2 L2 2
联立可解
kx m2 L
2
例：质量为 m 、长为 l 的细杆两端用细线 悬挂在天花板上，当其中一细线烧断的瞬间另 一根细线中的张力为多大？ 解：在线烧断瞬间，以 杆为研究对象，细杆受 重力和线的张力，
1.升降机内有一装置如图所示，悬挂的两物体的质量各 为m1、 m 2 且 m1 m 2 。若不计绳及滑轮质量，不计轴承 处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向 上）运动时，两物体的对地的加速度各是多少？绳内的 张力是多少？
解：该问题可以在不同的参考系中讨论 一、选地面参考系，地面参考系是惯性 系，那么我们就用惯性系中的牛二律来 解决此问题。 设 m1、 m 2相对于的电梯的加速 度 a ' ，相对于地的加速度分别 为 a1、a2 受力分析如图。
T
m, l mg
mg T ma （1）
注意：在细杆转动时，各点的 加速度不同，公式中a为细杆 质心的加速度。
以悬挂一端为轴，重力产生力矩。
2 1 2 J ml 3 T l a r （ 3） 2 联立(1)、(2)、(3)式 求解 1 T mg 4
mg J
l
（ 2）
3 4

; max ? (只列方程)
3 L处 4
分两个阶段求解,各遵循什么规律? ①相撞: 质点

M L c
定轴刚体
v0
对 O 轴角动量守恒 ②摆动: M + m + 地球系统 E 守恒
1 4
L m
o
3 4
①相撞: 质点 撞前

定轴刚体
对 O 轴角动量守恒 M L c
v0
3 Lm r mv0 4 Lmv0sin 2
a
再根据相对运动公式：
am地 am梯 a梯地
a
'
T
m2
m2 g
T
m2 a
m1
m1 g
a'
m1a
得到：
a1 a a
'
a2 a a
'
m1 g m2 g 2a a1 m1 m2 m1 g 2a m2 g a2 m1 m2
2、一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的 均匀滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的 重物。绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑。 两个定滑轮的转动惯量均为 J 1 mr 2，求两滑 2 轮之间的绳内张力。 解：在地面参考系中，分别以两个物 体和两个滑轮为研究对象，用隔离体 法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴 转动定律建立方程。
4.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动， 地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒。 (B)动量守恒，动能不守恒。 (C)角动量守恒，动能不守恒。 (D)角动量不守恒，动能守恒。
[ C ]
5.一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴 光滑,滑轮的质量为 M/4,均匀 分布在其边远上,绳子 A 端有 一质量为 M的人抓住了绳端,而 A 在绳的另一端 B 系了一质量为 M /4 的重物,如图。已知滑轮 对 o 轴的转动惯量 J=MR2/4 , 设人从静止开始以相对绳匀速向 上爬时,绳与滑轮间无相对滑动, 求 B 端重物上升的加速度？
v om
o
（ A） （ C）
2v 3L 6v 7L
4v （ B） 5L 8 v （ D） 9L
v m
o
m v
[ C ]
3.一块方板，可以其一边为轴自由转动.最初板 自由下垂.今有一小团粘土,垂直板面撞击方板 并粘在板上,对粘土和方板系统，如果忽略空气 阻力,在碰撞中守恒的量是:
(A)动能. (B)绕木板转轴的角动量. (C)机械能. (D)动量. [ B ]
3.质点沿 x 轴作直线运动,其 v ~ t 曲线如图所示,如 t = 0 时,质点位于坐 标原点,则 t = 4.5s时,质点在 x 轴上的位置为: （ A） 0. v （B） 5m. 2 （C） 2m. 1 2. 5 o （D）–2m. 4 . 5 1 2 4 3 t （E） –5m. 1 [ C ]
a
联立① ② ③ ④求解
1 a g 2
练习
1.以下五种运动中, a 保持不变的运动是 (A) (B) (C) (D) (E) 单摆的运动。 匀速率圆周运动。 行星的椭圆轨道运动。 抛体运动。 圆锥摆运动。 [ D ]
2.一质点在平面上运动,已知质点位置矢 量的表达式为 r = at2 i + bt2 j ,(其中a、b为常量.) 则该质点作 (A)匀速直线运动。 (B)变速直线运动。 (C) 抛物线运动。 (D)一般曲线运动。 [ B ]
由此可解出所求值
3 4
o M L c
v0

1 4
L m
1.一个人站在有光滑固定转轴的转动平 台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该 人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中, 人、哑铃与转动平台组成的系统的 （A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. [ C ]
1 4
L m
3 4 Lmv0 cos
LM 0
撞后

3 4
Lmv0 cos
m L Lm
3 4 2
2 1 ; LM ML 3
9 1 m M 16 3
L
2
②摆动: M + m + 地球系统 E 守恒 势能Ep 动能 Ek 初态: 末态:
1 9 2 16
T
a m2
'
T
a
m1
m1 g
a'
m2 g
m : m g T m a m : T m g m a
1
1
1
1
(1) (2)
2
2
2
2
根据相对运动公式：
am地 am梯 a梯地
得到：
T
a1 a a
'
（ 3） （ 4）
a m2
'
T
a
m1
m1 g
a'
a2 a a
'
m2 g
2m : 2mg T 2ma (1) m : T mg ma (2)
1
2
mg
2mg
a r
(5)
1 2 T1r Tr mr 2 1 2 Tr T2 r mr 2
(3) (4)
联立上面的式子Biblioteka Baidu可得：
11mg T 8
物体A和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不 可伸长的轻质细绳相互连接，如图所示。今用 大小为F的水平力拉A。设A、B和滑轮质量都为m， 1 滑轮的半径为R，对轴的转动惯量 J mR 2 AB之间、A与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦， m 绳与滑轮之间无相对滑动，且绳子不可伸长。已 知F＝10N，m＝8.0 kg，R＝0.050m， T 求：滑轮的角加速度。
联立上面四个式子，得：
m1 g a m2 g a a m1 m2
'
2m1m2 g a T m1 m2
m1 g m2 g 2a a1 m1 m2 m1 g 2a m2 g a2 m1 m2
如果电梯是加速向下运动呢？ 不过是把上式中的 a 都换成 a 罢了
B
解：受力分析如图
由题意 a人=aB=a
由牛顿第二定律
人 : Mg T 2 Ma
①
o T2 1 (T 2 T 1)R J M R 2 ③ A
4
附加 : a R
由转动定律 : 对滑轮 :
1 1 B : T 1 Mg Ma ② 4 4
T1
④
Mg
B
1 Mg 4
o
F
d
r
Fn
ds
F
0
r0 F m
o
F
由动能定理： W E k E k 0 1 1 2 2 W J J 00 2 2 1 r0 2 1 2 2 2 m( ) (4 0 ) mr0 0 2 2 2
3 2 2 mr0 0 0 2
练习6： 如图所示， 已知: M , L , m , , v0 ;击中 求:击中时 o
2
B A
F
a
B
m
T
T
a
m
T A F
F T ma
1 TR T R mR 2 2
'
T ma

2F 2 10 10rad s 2 5mR 5 8 0.050
a R
练习5：
k
m2
已知： 杆长 L，质量 m1 A
m1
o
环：m2 , 轻弹簧 k