NO1机械振动答案

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《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动

一、选择题：

1．假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m ，摆长为l ) 。若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F 。则此单摆在该电梯室作小角度摆动的周期为： [

C

]

(A) Fm

l

π2 (B) Fl

m π2 (C) F

ml

π

2

(D) ml

F π

2 解：

2．图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω2（ω为固有角频率）值之比为 [

B ]

(A) 2∶1∶

2

1

(B) 1∶2∶4

(C) 2∶2∶1

(D) 1

∶1∶2

解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2

k

，k ，k 2 则由m

k

=

2

ω可得三个振动系统的ω2（ω为固有角频率）值之比为： m k

2 ：m k ：m k 2，即1∶2∶4

3．两个同周期简谐振动曲线如图所示。则x [ A ] (A) 超前π/2 (C) 落后π 解：由振动曲线画出旋转矢量图可知

x 1的相位比x 2的相位超前π/2

4．一物体作简谐振动，振动方程为)2

1

cos(π+=t A x ω。则该物体在t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：

(b)

(c)

[ B ] (A) 1:4

(B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1

解：由简谐振动系统的动能公式：)2

1(sin 2122πω+=

t kA E k 有t = 0时刻的动能为：22221)2102(sin 21kA T kA =+⋅ππ t = T /8时刻的动能为：2224

1

)2182(sin 21kA T T kA =+⋅ππ，

则在t = T /8时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：1:2

二、填空题：

1．用40N 的力拉一轻弹簧，可使其伸长10cm 。此弹簧下应挂 kg 的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期s)(2.0π=T 。 解： 弹簧的劲度系数 ()

1m N 4001

.040-⋅==∆=

x F k 弹簧振子简谐振动周期 k

m T π

2= 应挂物体质量 ()kg 0.440022.042

22=⨯⎪⎭

⎫

⎝⎛ππ=⋅π=k T m

2．两个同频率余弦交流电()t i 1和()t i 2

位相差=-12ϕ

ϕ 。 解：由图作旋转矢量图可知：

()t i 1的初相

2

1π

ϕ=

()t i 2的初相

02=ϕ

所以 =-12ϕϕ2π-

3．一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期=T ，用余弦函数描述时初相位=ϕ 。 解：由振动曲线和旋转矢量图可知

2212=+T

T 振动周期 ()s 43.37

24

==T

振动初相 ππϕ3

234-=或

4．一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为 ，这时将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量减半的物块，则系统的振动周期又为 。

解：谐振动总能量22

1kA E E E p k =+= 当A x 2

1

=

时 4

)2(212122E A k kx E p ===

所以动能

E E E E p k 4

3

=-=

物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，l

mg

k ∆=， 振动周期g

l k m

T ∆==ππ

22 弹簧截去一半后，其劲度系数为2k l

mg

∆=2

，当挂一质量减半的物块时，其质量为m 2

1

， 振动周期

g l l

mg m

T ∆=∆=π

π2212，即为原周期的一半

5．一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

)4/cos(05.01πω+=t x (SI)

)12/19cos(05.02πω+=t x (SI)

则其合成运动的运动方程为=x 。 (SI) 解：由旋转矢量图可知：，

ππ

ϕϕϕ)125(4

21=-

-=

-=∆知A oA 1∆为等边三角形，故

合成振动振幅 )m (05.021===A A A

合振动的初相 12)43(π

ππϕ-=--=(或π12

23

)

所以，合振动方程为

)12cos(05.0π

ω-

=t x

(SI) 或 )12

23

cos(05.0πω+=t x

(SI)

或

)1211

cos(05.0πω+

-=t x (SI) 或 1

0.05cos()12

x t ωπ=-

(SI)

2