导数及其应用复习课件(1)

函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切
线的斜率，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f /(x0)·(x－x0)．
3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)
点 Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将 P ，Q
看作曲线上的点用导数求解。
y 2x2 3, y 4x. y x1 4 即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线为： y 4x 1．
设过点 Q 的切线的切点为T (x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 4 x0 ，又 kPQ
切③线利的用斜点率斜。式求切线方程. y y0 f (x0 )( x x0 )
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y y0 f (x0 )( x x0 ) ，
如果曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 的切线平行于 y 轴（此时导数不存在）时，由切线定
导数及其应用复习
导数概念
本
章
知
识 结
导数 导数运算
构
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 Y=f(x)
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点P(1,2) 求在点P处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2)
导数 个自变量的差.
Vx x 0
例1已知f
x0
2, 求 lim k 0
f
x0
1k 2
k
f
x0
_________
lim 解 : f x0
x 0
f
x0
(
1 2
k
)
-1k
f
x0 wk.baidu.com
-2 ,
x
1 2
k
2
lim k0
f
x0
1k 2
k
f
x0
1 2
lim k0
f
x0
1 k 2 -1k
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y| xx0
2．导数的几何意义：
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出 P 点的坐标; 此②，求曲出线函y数在f 点(x)x在0 处点的P(变x0化, f率(xf0 )()x处0 )的切lixm线0方f (程x0可如下xx)求 得f (：x0) k 得 到 曲 线 在 点
(x（0 ,1f）(x求0 )出) 的函切数线y的斜f率(x;) 在点 x x0 处的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处
3x03 2x03 x0 0或x0
3 2
3x02
6x0
2
x0
y
y=f(x)
所求曲线的切线方程为y=2x与 y 1 x
A
4 oa
A
bx
问题 3. 求 y 2x 2 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 点拨：点 P 在函数的曲线上，因此过点 P 的切线的斜率就是 y 在 x 1处的函数值；
∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
1 2
①当x0=1时1，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x ②当x0=－ 2 时，所求的切线方程为：
y－2=
－1 4
(x－1),即x+4y－9=0
点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
f
x0
2
1 2
f
x0
1 2 1
2
可将分母的系数直 接乘过去
练习:1 若f
x0
2,则lim k0
f
x0
k
2k
f
x0
_-_1___
f
x0
lim k 0
f
x0
k
k
f
x0
2
2若f
x0
4,则lim h0
f
x0
f x0
2h
h
___2____
f
x0
lim h0
f
x0
f h
x0
h
4
3.导数的概念：
变式: 求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
设切点为A x0, x03 3x02 2x0 , k f x0 3x02 6x0 2
切线为y x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x x0
过0,0 x03 3x02 2x0
y0 x0
9 2
，
故
2x02 6 x0 2
4x0 ，2x02
8x0
6
0. x0
1,3。
即切线 QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线为：
y 4x 1, y 12x 15
，
由于函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率，因
义可知，切线方程为 x x0 .
4公式①.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
平均变化率为:(
y
Vy f(x2 ) f (x1)
Vx
x2 x1
2.函数的瞬时变化率
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
分母是分子中两
lim Vf (x) f ' (x)