导数及其应用复习课件(1)
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 第1课时 导数与函数的极值
函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数
为直线y=a与曲线y=x3-3x2的公共点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极
小值为-4(如图所示).
故当a>0或a<-4时,函数f(x)恰有一个零点.
【变式训练2】 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值 -4 .
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的极大值一定大于极小值.( × )
(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( × )
(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.( × )
(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)内一定有
极值点与极值
1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的
符号有什么规律?
提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其
他点的函数值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函
1
5
9
经检验,a=4,b=-2符合题意.故 a+b=-4.
9
答案:-4
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有(
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
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课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
导数的应用复习PPT课件
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
高考数学专题复习《导数的综合应用》PPT课件
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是
K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
导数及其应用(复习课)
导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____， （２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________． （３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ； （3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ． ３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________． ３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
选修1-1第三章导数及其应用课件人教新课标1
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（x∈R）
的导数为 f‘（x）=3ax2+2bx+c
(1)有三个单调区间
a ≠0
(2)有极大值和极小值 (3)有极值 (4)仅有一个单调区间
Δ>0 a ≠0
(5)没有极值
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
三.导数的基本运算
一、利用分离参数法解决恒成立问题
已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)>1在 (1，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解题根据： （1）a≥f(x)恒成立 a [ f (x)]max （2）a≤f(x)恒成立 a [ f (x)]min
课堂小结： 这节课你有什么收获？
作业设计： 习题
第三章 导数及其应用复习小结
本章知识结构
导数概念 导数 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率
基本初等函数求导
导数的四则运算法则
函数单调性研究
函数的极定义和几何意义
①函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
y f(x2 ) f (x1)
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)
第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高考数学复习第2章函数导数及其应用第1讲函数与映射的概念
解析：x＝1∈A,x→|x－1|＝0 B,即对集合 A 中元素 1, 在集合 B 中没有元素与之对应.故选 C.
答案：C
(2)(多选)下列四个图象中,是函数图象的是(
解析：由已知得 7＋6x－x2≥0,即x2－6x－7≤0, 解得－1≤x≤7,故函数的定义域为[－1,7]. 答案：[－1,7]
(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f(f(x))的定义域为 ______________________.
素 了 2.知解,会道映求指射一数的些函概简数念单y.＝函a数x 与的对定数义函域数和y值＝域；决反在连函求2续0数函三11年的数年、概的都2念定考01及义 查2年求域 求、法简,但2单,新也01函课涉3年数标及
logax互为反函数(a＞0, a≠1)
的反函数
设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
课标要求
考情风向标
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模
对函数概念的理解是学好函 数的关键,函数的概念比较抽
型,在此基础上学习用集合与对应的语 言来刻画函数,体会对应关系在刻画函 数概念中的作用；了解构成函数的要
象,不易理解,应做适量练习, 通过练习弥补理解的缺陷,纠 正理解上的错误.本讲重点解
答案：D
(4)已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x) 1
3
1
x
1
2022版高考数学一轮复习第4章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
ex x＋a
，得f′(x)＝
exx＋a－1 x＋a2
，所以f′(1)＝
ae 1＋a2
＝4e，解得a＝1.
6．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 【答案】y＝2x 【解析】因为y′＝x＋2 1，所以在点(0,0)处切线的斜率为k＝2，则所 求的切线方程为y＝2x.
(2)由y＝ln x＋x＋1，得y′＝1x＋1，令1x＋1＝2，解得x＝1.所以切线 方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
导数几何意义的综合应用
已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．
1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由2aax20x＋0＋aa＋＋22x0＝＋21，＝2x0－1，
解得x0＝－21， a＝8.
【解题技巧】 1．求切线方程的方法 (1)求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； (2)求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标， 然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程． 2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三 个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2) 切点在切线上；(3)切点在曲线上．
3x0，且切线斜率为k＝6x
2 0
－3，所以切线方程为y－y0＝(6x
2 0
－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x20－3)·(1－x0)．整理得4x30－6x20＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相
2025版高考数学总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
x＝－sin12x，C
错误；
(x23x)′＝(x2)′·3x＋x2×(3x)′＝2x3x＋x23xln 3，D 正确．
2．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (4)f(x)＝ 2x＋1.
[解析] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
等式
运算求解
点问题
Ⅱ，22
创新性
数学运算 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考 利用导数证 由 不 等 式 恒 成 逻辑思维 综合性 数学运算
Ⅱ，22 明不等式 立求取值范围 运算求解
逻辑推理
利用导数研
2022新高考
研 究 极 值 点 、 运算求解
究函数的极
Ⅰ，10 值、最值 零点个数
3．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝___0___(C为常数)； (2)(xn)′＝_____n_x_n－__1 _____(n∈Q*)； (3)(sin x)′＝_____c_o_s_x______； (4)(cos x)′＝____－__s_i_n_x_______； (5)(ax)′＝_____a_x_ln__a_______；
(2)y′＝ln
x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′＝1x－x12.
(3)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x，
∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x＝－12sin 4x－2xcos 4x.
(4)f′(x)＝2
21x＋1×(2x＋1)′＝
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（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y y0 f (x0 )( x x0 ) ，
如果曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 的切线平行于 y 轴（此时导数不存在）时，由切线定
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出 P 点的坐标; 此②，求曲出线函y数在f 点(x)x在0 处点的P(变x0化, f率(xf0 )()x处0 )的切lixm线0方f (程x0可如下xx)求 得f (：x0) k 得 到 曲 线 在 点
(x（0 ,1f）(x求0 )出) 的函切数线y的斜f率(x;) 在点 x x0 处的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处
导数 个自变量的差.
Vx x 0
例1已知f
x0
2, 求 lim k 0
f
x0
1k 2
k
f
x0
_________
lim 解 : f x0
x 0
f
x0
(
1 2
k
)
-1k
f
x0
-2 ,
x
1 2
k
2
lim k0
f
x0
1k 2
k
f
x0
1 2
lim k0
f
x0
1 k 2 -1k
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点P(1,2) 求在点P处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2)
平均变化率为:(
y
Vy f(x2 ) f (x1)
Vx
x2 x1
2.函数的瞬时变化率
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
分母是分子中两
lim Vf (x) f ' (x)
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y| xx0
2．导数的几何意义：
f
x0
2
1 2
f
x0
1 2 1
2
可将分母的系数直 接乘过去
练习:1 若f
x0
2,则lim k0
f
x0
k
2k
f
x0
_-_1___
f
x0
lim k 0
f
x0
k
k
f
x0
2
2若f
x0
4,则lim h0
f
x0
f x0
2h
h
___2____
f
x0
lim h0
f
x0
f h
x0
h
4
3.导数的概念：
函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切
线的斜率，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f /(x0)·(x－x0)．
3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)
∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
1 2
①当x0=1时1，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x ②当x0=－ 2 时，所求的切线方程为：
y－2=
－1 4
(x－1),即x+4y－9=0
点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
y0 x0
9 2
，
故
2x02 6 x0 2
4x0 ，2x02
8x0
6
0. x0
1,3。
即切线 QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线为：
y 4x 1, y 12x 15
，
由于函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率，因
义可知，切线方程为 x x0 .
4公式①.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
导数及其应用复习
导数概念
本
章
知
识 结
导数 导数运算
构
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 Y=f(x)
3x03 2x03 x0 0或x0
3 2
3x02
6x0
2
x0
y
y=f(x)
所求曲线的切线方程为y=2x与 y 1 x
A
4 oa
A
bx
问题 3. 求 y 2x 2 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 点拨：点 P 在函数的曲线上，因此过点 P 的切线的斜率就是 y 在 x 1处的函数值；
点 Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将 P ，Q
看作曲线上的点用导数求解。
y 2x2 3, y 4x. y x1 4 即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线为： y 4x 1．
设过点 Q 的切线的切点为T (x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 4 x0 ，又 kPQ
变式: 求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
设切点为A x0, x03 3x02 2x0 , k f x0 3x02 6x0 2
切线为y x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x x0
过0,0 x03 3x02 2x0