江苏专2019版版高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.1离散型随机变量及其分布超几何分布课件
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1． 离散型随机 量的概率分布(1) 随着 果 化而 化的 量叫做随机 量；所有取 可以一一列出的随机 量叫做离散型随机 量．(2) 一般地， 若离散型随机 量 X 可能取的不同 x 1，x 2，⋯，x i ，⋯，x n ，X 取每一个 x i (i ＝1,2，⋯，n) 的概率 P(X ＝ x i )＝ p i ， 称表Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n离散型随机 量X 的概率分布表，具有如下性 ：① p i ____0， i ＝1,2，⋯， n ；② p 1＋ p 2＋⋯＋ p i ＋⋯＋ p n ＝__1__.离散型随机 量在某一范 内取 的概率等于它取 个范 内各个 的概率之和．2． 两点分布如果随机 量X 的概率分布表X 0 1P1－ pp其中 0< p<1， 称离散型随机 量X 服从两点分布．3． 超几何分布一般地， 有N 件 品，其中有 M(M ≤ N)件次品．从中任取 n (n ≤ N)件 品，用 X 表示取出的 n 件品中次品的件数，那么rn －r C M C N －M P(X ＝ r)＝C n N( r ＝ 0,1,2，⋯， l)．即X1⋯l0 n －1 n －1ln －lPC M C N －MC M C N －M⋯C M C N －MnnnC N C NC N其中 l ＝ min( M ， n)，且 n ≤ N ， M ≤ N ，n ， M ， N ∈ N * .如果一个随机 量 X 的概率分布具有上表的形式， 称随机 量 X 服从超几何分布．【思考辨析】判断下面 是否正确 ( 在括号中打“√”或“×” )(1) 抛 均匀硬 一次，出 正面的次数是随机 量．()(2) 离散型随机 量的概率分布描述了由 个随机 量所刻画的随机 象． ()(3) 某人射 命中的概率0.5，此人射 三次命中的次数X 服从两点分布． ()(4) 从 4 名男演 和 3 名女演 中 出 4 名，其中女演 的人数X 服从超几何分布． ()(5) 离散型随机 量的概率分布中，随机 量取各个 的概率之和可以小于1.()(6) 离散型随机 量的各个可能 表示的事件是彼此互斥的． ()1．袋中有 3 个白球、 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作 随机 量的是 ________．①至少取到 1 个白球；②至多取到 1 个白球；③取到白球的个数；④取到的球的个数．2．(教材改 ) 从 有 1～ 10 的 10 支竹 中任取2 支， 所得 2 支竹 上的数字之和 X ，那么随机量 X 可能取得的 有 ________个．3．随机 量X 的概率分布如下：X － 1 0 1Pabc其中 a ， b ， c 成等差数列，P(|X|＝ 1)＝ ________.4．随机 量 X 等可能取 1,2,3 ，⋯， n ，如果 P(X<4) ＝ 0.3， n ＝ ________.5．(教材改 )一盒中有 12 个 球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取3 个球来用，用完后装回盒中，此 盒中旧球个数X 是一个随机 量，P(X ＝ 4)的 ______．题型一离散型随机变量的概率分布的性质k例 1设随机变量X 的概率分布为P(X＝5)＝ak( k＝ 1,2,3,4,5) ．(1)求 a；3(2)求 P(X≥5)；17(3)求 P(10<X≤10)．思维升华(1) 利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设离散型随机变量X 的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求： (1)2X＋ 1 的概率分布；(2)|X－ 1|的概率分布．题型二离散型随机变量概率分布的求法命题点 1 与排列组合有关的概率分布的求法例 2(2015 ·重庆改编 )端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 3 个．(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2) 设 X 表示取到的豆沙粽的个数，求X 的概率分布．命题点 2与互斥事件有关的概率分布的求法例 3某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：日销售量 (件 )0123频数1595试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布规律不变) ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率．(1) 求当天商店不进货的概率；(2) 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布．命题点 3与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例 4 (2014 ·安徽改编 )甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出2，乙获胜的概率为1，各局比赛结现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为33果相互独立．(1) 求甲在 4 局以内 (含 4 局)赢得比赛的概率；(2) 记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布．思维升华求离散型随机变量X 的概率分布的步骤：①理解X的意义，写出X 可能取的全部值；② 求X 取每个值的概率；③ 写出X的概率分布．求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(1)4 支圆珠笔标价分别为10 元、 20 元、 30 元、 40 元．①从中任取一支，求其标价X 的概率分布；②从中任取两支，若以Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的概率分布．(2)(2015 安·徽改编 )已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束．①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；的检测费用 (单位：元 )，求 X 的概率分布．题型三超几何分布例 5一袋中装有10 个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概7率是9.(1)求白球的个数；(2) 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X 的概率分布．思维升华超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；② 已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2015 ·天津改编 )为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名．从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛．(1) 设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布．17．随机变量取值不全致误典例(14 分 )盒子中有大小相同的球10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个．第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球 (假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．温馨提醒(1) 解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3) 避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1.[方法与技巧 ]1．对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机量的概率分布，首先要根据具体情况确定X 的取情况，然后利用排列、合与概率知求出X 取各个的概率．[失与防范 ]掌握离散型随机量的概率分布，注意：(1) 概率分布的构两行，第一行随机量X 所有可能取得的；第二行是于随机量X 的的事件生的概率．看每一列，上是上“ 事件” ，下“ 事件生的概率” ，只不“ 事件”是用一个反映其果的数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件生的概率．(2)要会根据概率分布的两个性来求得的概率分布的正．A 组专项基础训练( ： 40 分 )1．一只袋内装有m 个白球， n－ m 个黑球，不放回地从袋中取球，直到取出黑球止，此取2n－ m A m出了 X 个白球，下列概率等于A3n的是________．2．随机量ξ的所有可能的取1,2,3，⋯，10，且 P(ξ＝ k)＝ ak(k＝ 1,2，⋯，10)， a________．a153．随机量 X 的概率分布律P(X＝n)＝n n＋1(n＝ 1,2,3,4)，其中 a 是常数， P(2<X<2)的 ____．4．从装有 3 个白球， 4 个球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球， 1 个球的概率是______．5．离散型随机量X 的概率分布X01234P0.20.10.10.3m若随机量Y＝ |X－ 2|， P(Y＝ 2)＝ ________.6．甲、乙两在一次抗的某一中有 3 个答，比定：于每一个，没有到的伍得 0 分，到并回答正确的得 1 分，到但回答的扣 1 分 (即得－ 1 分 )；若 X 是甲在比的得分(分数高者 )， X 的所有可能取是________．7．袋中有 4 只球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，得分为随机变量ξ，则 P(ξ≤6) ＝________.8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球， 1 个黄球， 1 个白球和 1 个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10 元，摸到白球或黄球奖励 5 元，摸到黑球不奖励．(1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率；(2) 记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布．B 组专项能力提升( 时间： 30 分钟 )9．从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为________．10.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为 ________．12．盒内有大小相同的9 个球，其中 2 个红色球， 3 个白色球， 4 个黑色球．规定取出 1 个红色球得1分，取出 1 个白色球得0 分，取出 1 个黑色球得－ 1 分．现从盒内任取 3 个球．(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；(3)设ξ为取出的 3 个球中白色球的个数，求ξ的概率分布．13.已知甲箱中只放有x 个红球与 y 个白球 (x， y≥0，且 x＋ y＝ 6) ，乙箱中只放有 2 个红球、 1 个白球与1 个黑球 (球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取 2 个球，从乙箱中任取 1 个球．(1) 记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为P，求当 P 取得最大值时x， y 的值；(2) 当 x＝2 时，求取出的 3 个球中红球个数ξ的概率分布．。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概率、随机变量及其概率分布12.6
§12.6 离散型随机变量的均值与方差考情考向分析 以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差．掌握均值与方差的求法是解题关键．高考中常以解答题的形式考查，难度为中档．1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为(1)均值称E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称V (X )＝σ2＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ＝∑i ＝1nx 2i p i －μ2为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根σ＝V (X )为随机变量X 的标准差．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ ) (3)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .( √ )(4)若随机变量X 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大．( × ) (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × ) 题组二 教材改编2．[P70练习T1]已知离散型随机变量X 的概率分布为则X 的均值E (X )＝________. 答案 32解析 由已知条件可知E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．[P70练习T3]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其概率分布分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案乙解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)．∴乙技术好．4．[P73练习T1]已知随机变量X的概率分布如下表所示，则X的方差为________.答案 3.56解析由题意得0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5.∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴V(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.题组三易错自纠5．下列说法中正确的是________．(填序号)①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值．答案 ②解析 根据均值与方差的概念知②正确．6．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表，且E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.答案512 14解析 由题意，得a ＋b ＋c ＋112＝1.① ∵E (X )＝0，∴－a ＋c ＋16＝0.②∵V (X )＝1，∴a ＋c ＋13＝1.③联立①②③，解得a ＝512，b ＝14.题型一 离散型随机变量的均值、方差命题点1 求离散型随机变量的均值、方差典例 (2017·无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E (ξ)． 解 (1)由题意，得12＋3x ＝1，所以x ＝16.16＋13＋y ＝1，所以y ＝12. 记甲、乙两人所付停车费相同为事件A ，则P (A )＝12×16＋16×13＋16×12＝29.所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为29.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,5， P (ξ＝0)＝112，P (ξ＝1)＝12×13＋16×16＝736，P (ξ＝2)＝16×16＋16×13＋12×12＝13，P (ξ＝3)＝16×16＋16×13＋16×12＝16，P (ξ＝4)＝16×12＋16×13＝536，P (ξ＝5)＝16×12＝112.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝0×112＋1×736＋2×13＋3×16＋4×536＋5×112＝73.命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值典例 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，V (η)＝59，求a ∶b ∶c . 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的概率分布为(2)由题意知η的概率分布为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，V (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断． 跟踪训练 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E (ξ)，方差V (ξ)． 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为⎝⎛⎭⎫1－14－12＝14，⎝⎛⎭⎫1－16－23＝16. 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为 P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.V (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003. 题型二 均值与方差在决策中的应用典例 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立． (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解 (1)由题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的概率分布为所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的概率分布为所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练 某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的概率分布为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的概率分布为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.V (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，V (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴E (X 1)＝E (X 2)，V (X 1)<V (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．离散型随机变量的均值与方差问题典例 (10分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 规范解答解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①由题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②由题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的概率分布为[2分]所以顾客所获的奖励额的均值为E (X )＝20×12＋60×12＝40.[3分](2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析． 对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的概率分布为[6分]X 1的均值为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为V (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的概率分布为[8分]X 2的均值为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为V (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[10分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值； 第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的概率分布； 第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.。
【精选】江苏专版版高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.1离散型随机变量及其分布超几何分布课件
解析 (1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A,
则P(A)=
CC5322CC=3212
1.
5
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为 1 .
5
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
记“在一次游戏中摸出的白球少于2个”为事件B,
则P(B)=1 C=31C21C. 22 C22C21 3
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
例 (2017江苏苏州高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样 一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球 和2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏都从这两个箱子里各随 机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球 放回原箱) (1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为X,求X的数学期望.
高考数学
第二十一章 概率统计
§21.1 离散型随机变量及其分布、超几何分布
知识清单
1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做 随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地,假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且P (X=xi)=pi,i=1,2,…,n, 则称上式为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十二章 概
§12.2 古典概型考情考向分析 古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，常以填空题形式出现，属于中低档题．1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n .如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × ) (4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为nm .( √ )题组二 教材改编2．[P101例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________． 答案 23解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种． ∴所求概率为46＝23.3．[P103练习T4]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________． 答案 25解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 4．[P103习题T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率为P ＝1－66×6＝56.题组三 易错自纠5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________． 答案 23解析 设两本不同的数学书为a 1，a 2，1本语文书为b ，则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种． 因此2本数学书相邻的概率为P ＝46＝23.6．已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为________． 答案 23解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0，又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.题型一 基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为________．①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． 答案 1解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型．2．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具出现的点数，y 表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件． 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 题型二 古典概型的求法典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________． 答案 56解析 设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56.(3)(2017·无锡模拟)从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为________． 答案 35解析 记3名男生分别为x 1，x 2，x 3，2名女生分别为y 1，y 2，则从3男2女共5名学生中任选2名包含的基本事件为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10个．其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件，分别为(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)．故所求事件的概率为610＝35. 引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种， 故所求概率P ＝616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.题型三 古典概型与统计的综合应用典例 某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解 (1)由题意知，样本数据的平均数 x ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种，故所求概率P (M )＝815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的男生有两名，设为A ，B .若x ，y ∈[180,185)，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况； 若x ，y ∈[190,195]，只有AB 1种情况；若x ，y 分别在[180,185)，[190,195]内，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况， 所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x －y |≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7， 故所求概率为715.四审细节更完善典例 (14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解 P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第1个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 ↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ↓ P 1＝316↓(注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个． 因此所求事件的概率P ＝26＝13.[6分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率P 1＝316.[12分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[14分]。
高考数学(江苏专用)一轮课件第二十章§20.1离散型随机变量及其分布列、均值和方差
有2种取法;
③若b=0,d=2,则AB= (a c)2 4 ≤ n2 4 .因为当n≥3时, (n 1)2 4 ≤n,所以X>n当且仅当AB=
n2 4 ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;
④若b=1,d=2,则AB= (a c)2 1≤ n2 1 ,所以X>n当且仅当AB= n2 1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
P(X=200)= 2 16 =0.2,P(X=300)= 36 =0.4,P(X=500)= 25 7 4 =0.4.
90
90
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
高考数学 (江苏省专用)
第二十章 概率统计
§20.1 离散型随机变量及其分布列、均值和方差
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1), (n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点,用 随机变量X表示它们之间的距离. (1)当n=1时,求X的概率分布; (2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= 6 .
7
所以,事件A发生的概率为 6 .
7
名师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分 布的特点: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个体数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
(江苏专用)高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.4 离散型随机变量及其概率
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.4 离散型随机变量及其概率分布 理1．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X ①p i __≥__0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝__1__.离散型随机变量在某一X 围内取值的概率等于它取这个X 围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为X 0 1P1－pp其中0<p <1，则称离散型随机变量服从两点分布． 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么 P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N (r ＝0,1,2，…，l )．即X 0 1 … lPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C l M C n －lN －MC n N其中l ＝min(M ，n )如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________． ①至少取到1个白球； ②至多取到1个白球； ③取到白球的个数； ④取到的球的个数． 答案 ③解析 ①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.2．(教材改编)从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个． 答案 17解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的概率分布如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，则P 答案 23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的概率分布的性质例1 设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X ≤710)．解 (1)由概率分布的性质，得P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P (110<X ≤710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝615＝25.思维升华 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个X 围内的概率时，根据概率分布，将所求X 围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设离散型随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 3 4P0.20.10.10.3m求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的概率分布．解 由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为(1)2X ＋1的概率分布(2)|X －1|的概率分布题型二 命题点1 与排列组合有关的概率分布的求法例2 (2015·某某改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽的个数，求X 的概率分布．解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. (2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的概率分布为命题点2 例3 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例4 (2014·某某改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的概率分布为X 2 3 4 5 P59291081881思维升华 求离散型随机变量X 的概率分布的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的概率分布．求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．①从中任取一支，求其标价X 的概率分布；②从中任取两支，若以Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的概率分布．解 ①X 的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X 的概率分布为X 10 20 30 40 P14141414②根据题意，Y 且P (Y ＝20)＝1C 24＝16，P (Y ＝30)＝2C 24＝13， P (Y ＝40)＝3C 24＝12.所以Y 的概率分布为(2)(2015·某某改编)已知2现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． ①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；②已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的概率分布．解 ①记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.②X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的概率分布为题型三 超几何分布例5 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ， 则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为X 0 1 2 3 P112512512112思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2015·某某改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P114373711417．随机变量取值不全致误典例 (14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． 规X 解答解由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.[4分]P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝C12×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝C12×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝C12×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[10分]故随机变量ξ的概率分布为ξ2346710P 0.090.240.160.180.240.09[14分]温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.[方法与技巧]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值X围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[失误与防X]掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：(1)概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于n －m A 2mA 3n的是________．①P (X ＝3) ②P (X ≥2) ③P (X ≤3) ④P (X ＝2) 答案 ④解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝n －m A 2mA 3n.2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为________． 答案155解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.3．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为________． 答案 56解析 ∵P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 答案1235解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.5．设离散型随机变量X 的概率分布为若随机变量Y ＝|X －2|答案 0.5解析 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X ＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为(时间：30分钟)9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为________． 答案解析 ∵X 的所有可能取值为∴P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.∴X 的概率分布为10.已知随机变量ξ123d 的取值X 围是________． 答案 (－13，13)解析 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d >0，13＋d >0，得－13<d <13.11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为_____________________． 答案解析 ∵η的所有可能值为P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为12．盒内有大小相同的94个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的概率分布为13.已知甲箱中只放有x ，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布． 解 (1)由题意知P ＝C 1x C 1y C 11C 26C 14＝xy 60≤160(x ＋y 2)2＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3. 则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310， P (ξ＝3)＝C 22C 12C 26C 14＝130，所以红球个数ξ的概率分布为。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第二节随机事件及其概率课件文
[小题纠偏]
1．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为 80% ，则下列解释 正确的是 ________(填序号)． ①明天本地有 80%的区域降雨， 20%的区域不降雨； ②明天本地有 80%的时间降雨， 20%的时间不降雨； ③明天本地降雨的可能性是 80%； ④以上说法均不正确．
解析：①②显然不正确．因为 80%的概率是说降雨的概率， 而不是说 80%的区域降雨，更不是说有 80%的时间降雨， 是指降雨的可能性是 80%.
解析：①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
答案：①④
2．已知非空集合 A，B，且集合 A 是集合 B 的真子集，有下面 4 个命题： ①“若 x∈ A，则 x∈ B”是必然事件； ②“若 x∉ A，则 x∈B”是不可能事件； ③“若 x∈ B，则 x∈ A”是随机事件； ④“若 x∉ B，则 x∉ A”是必然事件． 其中正确的命题有________(填序号 )．
解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．
答案：①③④
3．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两次都击 中飞机 }， B＝{两次都没击中飞机 }， C＝{恰有一次击中飞机}， D＝{至少有一次击中飞机 }，其中彼此互斥的事件是 ________，互为对立事件的是 ________．
解析：设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况， 因为 A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为互斥事件．而 B∩D ＝∅，B∪D＝I，故 B 与 D 互为对立事件．
答案：A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的 两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事 件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事 件互斥． ②事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合， 是全集中由事 件 A 所含的结果组成的集合的补集．
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则P(X=0)= 3 × 3 = 9 ,
10 10 100
P(X=1)=C
1×0
=2
5
1 0
,
P(X=2)= 7 × 7 =4 9 .
10 10 100
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
9
21
49
100
50
100
故X的数学期望E(X)=0× 9 +1× 2 1+2× 4 =9 7 .
100 50 100 5
高考数学
第二十一章 概率统计
§21.1 离散型随机变量及其分布、超几何分布
知识清单
1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做 随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地,假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且P (X=xi)=pi,i=1,2,…,n, 则称上式为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
例 (2017江苏苏州高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样 一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球 和2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏都从这两个箱子里各随 机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球 放回原箱) (1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率; (2)在两次游戏中,记获奖次数为X,求X的数学期望.
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
我们将上表称为随机变量X的概率分布表. 显然,这里的pi(i=1,2,…,n)满足条件① pi≥0 ,② p1+p2+…+pn=1 . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值
的概率之和. 2.超几何分布 若有一批产品共有N件,其中有M件不合格品,则随机取出的n件产品中, 不合格品数X的概率分布如表所示.
X
0
1
2
…
l
P
C
0 M
C
n N
M
C C 1 n 1 M N M
C C 2 n 2 M N M
…
C C l n l M N M
C
n N
C
n N
C
n N
C
n N
其中l=min{n,M}.
一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=
C
r M
CC,其NnNn rM中r=0,1,2,3,…,
l,l=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,则称X服从超几何分布,记为X~
H(n,M,N),并将P(X=r)=
C
r M
C记Nn 为rM H(r;n,M,N).
C
n N
方法技巧
方法 求离散型随机变量分布列的方法
1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行: (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证. 2.分布列中某一栏的概率如果比较复杂,直接求不方便,可利用p1+p2+… +pn=1来求.
解析 (1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A,
则P(A)= C
C
=C2 1
32
C2 2
53
1.
5
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为 1 .
5
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
记“在一次游戏中摸出的白球少于2个”为事件B,
则P(B)=1C=31C21C. 22 C22C21 3
C52C32
10