2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题

，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极
坐标方程为
．
（1）求曲线 的参数方程；
（2）已知点 在第一象限，四边形 长最大时点 的坐标．
是曲线 的内接矩形，求内接矩形
示的空间直角坐标系，则
、
、
、
显然，
是平面 的一个法向量，
所在直线为
轴，建立如图丙所
，则
设
是平面
，
设平面 与平面
的一个法向量，则
，即
所成二面角为 ，可以看出， 为锐角，所以，
，不防取 ，则
，所以，
平面 与平面
, 所成二面角的余弦值为 ．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
17.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 ；
（2）若
，
，求△ 的面积．
【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内 角和定理，化简即可求出结果. （2）根据同角三角关系，确定 和 ，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
6600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
(元）；
若采用方案二，200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
实际充电辆数
6000
7000
概率
0.2
0.3
7600 0.5
即为
，
恒成立，解绝对值不等式，
①当
时，不等式化为
②当 ③当
时，不等式化为 时，不等式化为
综上，不等式
的解集为
，解得
；
，解得
；
，无解；
．
（2）当
时，
，
即为
恒成立，
，即
，即
，在
上恒成立，
所以，只需
，解得 ，
所以 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.
18.如图甲，设正方形
的边长为 3，点 、 分别在 、 上，且满足
，
．如图乙，
将直角梯形 沿 折到
的位置，使得点 在平面 上的射影 恰好在 上．
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生 25 元的收入，用 2017 年的统计数据，分别估计 该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润 日收入 日维护费用）． 【答案】（1）3.95 万元（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果. （2）根据题设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润. 【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
广东省 2019 届高三六校第一次联考试题 理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.已知集合
，
A.
B.
C.
【答案】A
，则 D.
（）
2.若复数 满足
，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3.记 为等差数列 的前 项和，若
23.已知 （1）当
，
．
时，求不等式
的解集；
（2）若
，且当
时，
恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） 【解析】
（2）
【分析】
（1）当 时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；
（2）根据
化简函数 ，将
恒成立，问题转化为
令
为其子集，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时，不等式
数），
，则 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 满足约束条件 【答案】25
则
的最大值为______________．
14.若 【答案】240
，则
的展开式中常数项为______________．
15.已知点
及圆
的值为______________．
，
A.
B.
C.
D.
【答案】D
，则 （ ）
4.在区间
上随机取两个实数 ，记向量
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
的概率为（
）
5.已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 M、N 两点，
且
都垂直于 x 轴（其中 分别为双曲线 C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
函绝对值的不等式的解法：
（1）定义法；即利用
去掉绝对值再解
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；
（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如
）；
（4）图象法或数形结合法；
（5）不等式同解变形原理。
及
，且在 上有
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
10.抛物线
上有一动弦 ，中点为 ，且弦 的长度为 ，则点 的纵坐标的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
11.已知三棱锥
中，
则三棱锥
A.
B.
C.
【答案】D
，
，
，
，且二面角
的大小为 ，
外接球的表面积为（
）
D.
12.已知数列 满足
．设
， 为数列 的前 项和．若 （常
，
设曲线 上的点为 ，变换后的点为
由题可知坐标变换为
，即
代入曲线 的普通方程，整理得
曲线 的普通方程为
，
曲线 的参数方程为
( 为参数).
（2）设四边形
的周长为 ，设点
， ，
且
，
，
，
且当
．
时， 取最大值，此时
，
所以，
，
，此时
.
【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问 题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.
D.
【答案】D
6.在△ 中， 为 的中点，点 满足
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
8.已知 是函数 成立，则
A.
B.
C.
【答案】B
的最大值，若存在实数 的最小值为（ ）上的函数 满足
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于 中档题． 19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程 的行业标准，予以地方财政补贴．其补 贴标准如下表：
2017 年底随机调査该市 1000 辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程 ，得到频率分布直方图如上图所示．用 样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
于是方案二下新设备产生的日利润均值为 (元)
【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法， 正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.
20.已知圆
与定点
，动圆 过 点且与圆 相切．
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）若过定点 的直线 交轨迹 于不同的两点 、 ，求弦长 的最大值．
周长的最大值，并求周
【答案】（1） 【解析】 【分析】
（2） ，
（1）先将曲线 化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线 的普通方程和参数方程；
（2）根据题意，设点
，则
可求出最大值及其对应的点 的坐标.
【详解】解：（1）由
得
，利用辅助角公式化简周长 的解析式，即
将
代入，整理得曲线 的普通方程为
，
在
上单调递减，
，
时，
，
在
上的值域为 ．
（2）令
，
则
，
①若 ，则由（1）可知，
，在
上单调递增，
，与题设矛盾，
不符合要求；
②若 ，则由（1）可知， ，
，在 符合要求；
上单调递减，
③若
，则
，使得
，
且 在 上单调递增，在
上单调递减，
，
，
．
由题：
，即
，
，
即
．
且由（1）可知 ．
在
上单调递减，
综上， ． 【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类 讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运 用已知结论是解题关键.
转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩 5 万元/台，每台 每天最多可以充电 30 辆车，每天维护费用 500 元/台； 交流充电桩 1 万元/台，每台每天最多可以充电 4 辆车，每天维护费用 80 元/台．
该企业现有两种购置方案：
方案一：购买 100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩； 方案二：购买 200 台直流充电桩和 400 台交流充电桩．
；再利用正弦定理确定 ，进而由 【详解】解：（1）因为
，所以
由正弦定理，得
又
，
，
所以
，
，
所以
．
（2）由
，
，得
即可求得答案. ，由余弦定理，得 ， ，
，
，
所以
，
由正弦定理
，得
，
所以△ 的面积为
．
【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系， 达到解决问题的目的．其基本步骤是：
（1）证明：
平面 ；
（2）求平面 与平面
所成二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析（2） 【解析】
试题分析：⑴证明：在图甲中，易知
,从而在图乙中有
，
因为 平面 ， ⑵解法 1、
平面 ，所以 平面
如图,在图乙中作
，垂足为 ，连接 ，
由于
平面 ，则
，
所以 平面 ，则
，
所以
平面 与平面
所成二面角的平面角，
（1）求该市每辆纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的均值； （2）某企业统计 2017 年其充电站 100 天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表： 辆数
天数
20
30
40
10
（同一组数据用该区间的中点值作代表） 2018 年 2 月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将
图甲中有
，又
，则
三点共线，
设 的中点为 ，则
，易证
，所以，
，
；
又由
，得
，
于是，
，
在
中，
，即所求二面角的余弦值为 ．
解法 2、
如图,在图乙中作
，垂足为 ，连接 ，由于
平面 ，则
，
所以 平面 ，则
，图甲中有
，又
，则
三点共线，
设 的中点为 ，则
，易证
，所以
，则
；
又由
，得
，
于是，
，
在
中，
作
交 于点 ，则
，以点 为原点，分别以
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由题设可知，动圆 与定圆 相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心 的轨迹方程；
（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为
，直线斜率存在时，设 坐标，直线 方程，
联立椭圆与直线方程，通过
和韦达定理表示出 ，最后运用换元法和函数的性质，确
定最大值.
【详解】解：（1）设圆 的半径为 ，题意可知，点 满足：
21.已知函数 （1）求函数 在
． 上的值域；
（2）若
，
恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）对函数 求导，确定函数在 （2）通过构造函数
上单调性和最值，即可求出函数 在
，将问题转化为在
区间上
上的值域； 问题，求导函数
，通过分类讨论确定实数 的取值范围．
【详解】解：（1）易知