数学培训计算方法资料

例：用线性插值求 115(x 10.723805).
例：用抛物插值求 115(x 10.7238).
2020/10/5
14
分段线性插值
简单地说，就是将两个相邻的节点用直线连接起来，形
成拆线，就是分段插值函数。
记作
I
nI(nx()x，) 有满足良
好
In (x)
的
yi
收，且敛I
性
定 理 设 f (n) (x) 在 区 间 [a,b] 上 连 续 ， f (n1) (x) 在 [a,b] 上 存 在 ，
x0, x1, , xn 是[a,b] 上互异的数，则插值问题的余项当 x [a,b] 时，有
如下估计
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x xj) 。
j 1
数学建模培训内容
----计算方法
主讲人：李新芳
目录
1
误差
2
插值
3
曲线拟合
4
数值积分
5 常微分方程的数值解
6 非线性方程求解
绝对误差与相对误差
设 x 是精确值，x 是其近似值 ，称 (x) x x
为 x 的绝对误差。绝对误差可正可负，且依赖于量纲。 若 (x) x x ，称 为 x 的绝对误差限，有
A xy, A y, A x x y
(A)
A x
x160 y100
(x)
A y
x160 ( y)
y100
36(m2 )
r
( A)
( A) A
0.002252020/10/5源自9数值运算的一些原则
1.简化步骤，减少运算次数，减少舍入误差的积累；
2.避免相近数相减，以防有效数字的严重损失而影响精度； 3.避免使用“小分母”，以防运算结果过大而溢出； 4.防止大数“吃”小数； 5.选用数值稳定的计算公式，避免误差的传播。
2020/10/5
10
第二节 插值
插值与 Lagrange,Newton,Gauss等数学家名字连在一起， 最初来源于天体计算的需要。比如:得到了若干的观测值，即 某星球在若干时刻的位置，需要计算星球在另一些时刻的位置。
插值：通俗的讲，就是在若干已知的函数值之间插入一些未 知的函数值。
已知 y f (x) 在[a,b] ， a x0 x1 xn b(n 1 个相异节点）
。 r (u)
n f k 1 xk
xk xk (xk )
n f
u
k 1 xk
xk xk r ( xk )
2020/10/5
8
例 测得某长方形场地的长与宽的近似值为
x 160m, y 100m ，若 x x 2.0m, y y 1.0 m
，试
求 A xy 的绝对误差限与相对误差限。
P2 (x)
y0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
2020/10/5
13
插值多项式的余项
把差 f (x) Pn (x) 称为用插值多项式 Pn (x) 代替 f (x) 的余项，误 差或插值余项，记为： Rn (x) f (x) Pn (x)
2020/10/5
11
Lagrange 插值
设次数不超过 n 次插值多项式 Pn (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
其中
li
(x)
(x x0 ) (xi x0 )
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(xi xi1)
(x xn ) (xi xn )
x
r ，称r
为x
的相对误差限，相对误
差限愈小，近似程度愈高。
绝对误差与相对误差可互相转化，即 (x) xr (x) 。
2020/10/5
6
有效数字
若
x
的近似值
x
的绝对误差限
1 2
10
n
，则称
x
准
确到小数点后第 n 位，并从第一个非 0 数字到这一位
的所有数字为有效数字。
如： 2 1.414213562 取前四位得近似值 x1 1.414
了误差限，可知 x 的范围为 x x x ，常 用
x x 表示的精度。
例 测一物体长度 5m,其误差限为 0.01m,通常将
准确长度记为 S 5 0.01
2020/10/5
5
称 r (x)
(x)
x
x
x
x
为近似数
x
的相对误差。无量
纲的量，通常用百分数表示。
若
r (x)
(x)
处的函数值 f (xi ) yi (i 0, , n) 。插值问题就是根据这些已知数据来
构 造 一 个 次 数 不 高 于 n 的 多 项 式 Pn (x) ， 使 Pn (x) 满 足
Pn (xi ) f (xi )(i 0, , n) 。点 xi 称为插值节点，y f (x) 称为被插值函 数， Pn (x) 称为插值多项式。
近似值，则函数 u 的近似值 u f (x1, , xn ), ，且 u 的误
差为 (u) u u f (x1, , xn) f (x1, , xn)
n f
du x xk xk ,
xk xk
k
x xk xk xk
k 1 k
则
u
的误差限为
(u)
n k 1
f xk
xk xk (xk ) ， u 相对误差限为
2 1.414 0.000213562 1 103 2
例 写出下列数的 5 位有效数字的近似值
723.32134 、13.42230、0.02541369、6.000043
2020/10/5
7
数值运算的误差估计
设函数 u f (x1, , xn ), x1, , xn 分别为 x1, , xn 的
为
n
次多项式。
1,i j
且 满 足 li (xj ) 0,i j ， 则 Pn (x) 满 足 Pn (xi ) yi (i 0, , n) 。 称
li (x)(i 0, , n) 为节点 x0, x1, , xn n 次插值基函数。
Pn (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
n i0
yili (x)
n i0
yi (
n j0
x xj ) xi x j
ji
n次Lagrange 插值公式
2020/10/5
12
当 n 1时，为一次多项式，称为线性插值公式。
P1 ( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
。
当 n 2 时，为二次多项式，称为抛物插值公式。