高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

令狐采学

1. 空间四边形SABC 中，SO ⊥平面ABC ，O 为∆ABC 的垂心， 求证：（1）AB ⊥平面SOC （2）平面SOC ⊥平面SAB

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E ，M 分别为BB1，A1C 的中点，求证：

（1） EM ⊥平面A A1C1C; （2）平面A1EC ⊥平面AA1C1C ；

3. 如图,矩形ABCD 中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F 为CE 上的点,且BF⊥平面ACE,G 为AC 与BD 的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q 是边长为a 的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图,

（1）证明PQ∥平面AA1B1B ；（2）求线段PQ 的长.

5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．（Ⅰ）当主视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM //面PBC ．

6. 已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F 为棱BB1的中点，M 为线段AC1的中点.

求证：（1）直线MF∥平面ABCD ；（2）平面AFC1⊥平面ACC1A1.

7. 如图，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.

（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P-DC-A=45°，求证：MN⊥平面PDC.

8. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积．

9. 如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.求证：平面SAD⊥平面SBC.

10. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．(1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2) 若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；(3) 若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

11. 如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC,

（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.

12. 如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC 于M，E为AD的中点.（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成

二面角的正切值.

13．如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,PA⊥平面ABC,A在PB,PC上的射影分别为E,F,求证:PB⊥平面AFE.

14．在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,DC=2,

点E在PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面

PAD.(2)当PD∥平面AEC时,求PE∶EB的

值.

15. 如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，

AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PA=AC=1

2

PB，AB，BC的中点．

(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.

16. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．

(1)求证：CM⊥平面FDM；

(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．