高中数学立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练

1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点；

(1)求证：MN// 平面PAD

(2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD

2(本小题满分12 分)

如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点．

1)求证：EF // 平面PAB ；

2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求

证：平面PEF 平面PBC ．

ABC 90 ，

A

P

C

F

B

（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点，

EF // AB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分

（2）Q PA PC，E为AC的中点，

PE AC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分

又Q 平面PAC 平面ABC

PE 面ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分

PE BC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分

又因为F 为BC 的中点，

EF // AB

Q ABC 900, BC EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分

Q EF I PE E

BC 面PEF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分

又Q BC 面PBC

面PBC 面PEF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分

3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

1)求证：BC1// 平面CA1D；

2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分

别是AB、PC的中点．

(1) 求证：EF∥平面PAD；

(2) 求证：EF⊥ CD；

(3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．

5．（本小题满分 12 分）

如图， PA 矩形ABCD 所在的平面， M 、N 分别是AB 、PC 的中点．

1）求证： MN // 平面 PAD ；（ 2）求证： MN CD ；

∴tan ∠EPN= 2 . ........... 10 分

6. 如图， 正方形 ABCD 所在的平面与三角形Ａ

D Ｅ所在平面互相垂直， 三角形，且ＡＥ＝Ｅ D

△ＡＥＢ是等腰直角

设线段 BC 、 AE 的中点分别为 F 、M ，求

证：（1） FM ∥平面ECD ； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切

值．

（1）证明：取 AD 的中点 N,连结 FN,MN, 则 MN ∥ ED ，

FN ∥CD

∴平面 FMN ∥平面 ECD. ∵ MF 在平面 FMN 内 ,

∴ FM ∥平面 ECD ..................... 5 分

（2）连接 EN, ∵ AE=ED ， N 为 AD 的中点， ∴ EN ⊥ AD.

又∵面 ADE ⊥面 ABCD ，∴ EN ⊥面 ABCD. 作 NP ⊥BD, 连接 EP,则 EP ⊥BD ， ∴∠ EPN 即二面角 E-BD-A 的平面角，

设 AD=a, ∵ABCD 为 正方形 ，⊿ADE 为等 腰三角形，

∴EN= 1 a,NP= 2

24

a .

7. 如图，一个圆锥的底面半径为 2cm ，高为 6cm ，其中有一个高为 x cm 的内接圆柱

（1） 试用

x 表示圆柱的侧面积；

（ 2）当

x 为何值时，圆柱的侧面积最大 .

所以当圆柱的高为 3cm 时，它的侧面积最大为

6 cm .... 10 分

8．（10 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠ PAC=∠ PBC=90 o.

（1）证明： AB ⊥ PC ；

（2）若 PC 4，且平面 PAC ⊥平面 PBC ，求三棱锥 P ABC 体积 .

解：

（1）因为 PAB 是等边三角形， PAC PBC 90

所以 Rt PBC Rt PAC , 可得 AC BC 。 如图，取 AB 中点 D ，连结 PD , CD , 则 PD AB ,

CD AB , 所以 AB 平面 PDC , 所以 AB PC 5 分

2）作 BE PC ，垂足为 E ，连结 AE ．

则有

r

6x ,即r

2 x

2

6

3

.

∴ S

圆柱侧

2 rx 2

(2

x

)x 3

4 x 2

x 2

................ 5 分 3 （2）由

（

1）知当 x

4 3时，这个二次函数有最大值

为

2

19. （ 1） 解：设所求的圆柱的底面半径为 r

2( 2

3

)

因为 Rt PBC Rt PAC 所以 AE PC ， AE BE ．

因为 Rt AEB Rt PEB ，所以 AEB, PEB, CEB 都是等腰直角三角形。

(1)证明 PB ∥平面 ACM ； (2)证明 AD ⊥平面 PAC ；

(3) 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．

解析： (1)证明：如图，连接 BD ， MO ，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点， 所以 O 为 BD 的中点．

由已知，平面 PAC

平面 PBC ，故 AEB 90

由已知 PC 4，得 AE BE 2 ， AEB 的面积 S 2．

因为 PC 平面 AEB ， 所以三角锥 P ABC 的体积

V 1

3

9.(本题满分 12 分)如图，在四棱锥

8

S PC ..10

分

3

P － ABCD 中，底ABCD 为平行四边

∠ADC ＝ 45°，AD ＝ AC ＝ 1，O 为AC 的中点， PO ⊥平面 ABCD ，PO ＝ 2，M 为 PD 的中点．