高中数学立体几何习题

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

A

E

D 1

C

B 1

D

A

A

H G

F

E

D

C

B

A

E

D

B

C

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ．

6、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；

（2）''BD ACB ⊥平面.

S

D

C

B

A

D 1

O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C

N M P C B

A

7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

2

EF AC =

， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD

9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；

（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

A A

B 1

C 1

C D G E

F

10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .

11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．

（1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A BC P --的大小．

14、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面

BCD ．

1. 证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1

//,2

EH BD EH BD = 同理，1

//,2

FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2. 证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

同理，AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

4. 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5. 证明：（1）连结11A C ，设11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B

C

D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111

A C

B D ⊥∵， 1111B D A

C C ∴⊥面 1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111

D B AD D ⋂=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 考点：线面垂直的判定

7. 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8. 证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12

//AC =

12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD