面积问题(中考数学压轴)

面积问题（中考数学压轴）

一、解答题(共1道，每道100分)

1.如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．

答案：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），

过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．

∵S△ABC=48，BC=12，

∴AM=8，

∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，

∴，

而AN=AM－MN=AM－DE，

∴，解之得DE=4.8．

∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，

（2）分两种情况：

①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），

△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，

∵DE=x，

∴y=x2，

此时x的范围是0＜x≤4.8，

②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，

如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

即，

而AN=AM－MN=AM－EP，

∴，

解得．

所以，即，

由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；

因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，

当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，

当4.8＜x＜12时，因为，

所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的

最大值：；因为24＞23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分

的面积的最大值为24．

解题思路：（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，进而可得

，解可得答案．（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，②

当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值．

试题难度：三颗星知识点：中考压轴之面积问题