椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质

教学目标：

1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

高考相关点：

在高考中所占分数：13分

考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，围问题，存在性问题。

涉及到的基础知识

1．引入椭圆的定义

在平面与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

有以下3种情况

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

题型总结

类型一 椭圆的定义及其应用

例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知道

结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹 【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线.

,

(定值),又显然

,

根据椭圆的定义可推

断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的

练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆

C 上的一点，且

PF →1⊥2PF u u u r

，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．

【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3

练习2：已知F

1，F

2

是椭圆

x2

16＋

y2

9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，

B两点，在△AF

1

B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3

【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.

【答案】A

类型二求椭圆的标准方程

例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴

上，离心率为

2

2

.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么

椭圆C的方程为________．

【解析】设椭圆方程为x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a >b>0)，

由e＝

2

2

，知

c

a

＝

2

2

，故

b2

a2

＝

1

2

.

由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.

∴b 2

＝8，∴椭圆C 的方程为

x 216

＋y 2

8

＝1. 【答案】

x 216

＋y 2

8

＝1 练习1：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0

的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．

【答案】x 2+3y 2/2=1

类型三 椭圆的几何性质

例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆

()22

22

10x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．

【解析】直线A

1B

2

的方程为

x

－a

＋

y

b

＝1，直线B1F的方程为

x

c

＋

y

－b

＝1，二者

联立，

得T(

2ac

a－c

，

b（a＋c）

a－c

)，

则M(

ac

a－c

，

b（a＋c）

2（a－c）

)在椭圆

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)上，

∴

22

22

()

1 ()4()

c a c

a c a c

+

+=

--

，

c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝27－5. 【答案】27－5

练习1：已知A、B是椭圆x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a＞0，b＞

0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP→＋BP→＝λ(AM→＋BM→)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k

1

、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．