同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页

3．（3）n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<

知识点：1）等比级数求和)1(1)1(1

2

≠--=++++-q q

q a aq

aq aq a n n Λ（共n 项）

2）用P14例4的结论：当1

→n

n q

解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim a

b b

b a a n n n --=----=++∞→111111lim 11

5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：

设a 为正常数，00>x ，)(211n

n n x a x x +=

+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n

n n n n =⋅⋅≥+=

+221)(211（数列有下界） 又02)(212

1≤-=-+=-+n

n n n n n n x x a x x a

x x x （因a x n ≥+1）

（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞

→lim ，对)(211n n n x a x x +=

+两边取极限，得)(21b

a

b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)

1()1()]1(1[lim -++--++→x n

x n x n x 21

221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2

)

1(21+=

=+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)

1()1(lim -++-+→x n

x n x n x 2

)

1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页

8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3

12

--+x ax

，求常数a .

知识点：1）等价无穷小的概念；

2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：1322

31lim 1cos 1)1(lim 2203

120=-=-=--+→→a x

ax

x ax x x 得23-=a 或13

2]1)1()1[(2

1

1lim 1

cos 1)1(lim 31

232

22203

1

20=-

=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化）

P42页3（4） 关于间断点：

x

x x f 1sin 1)(=

0=x 为第二类间断点

说明：x

x x 1

sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）

P43页7（1）证明方程042

=-x x

在)2

1

,0(内必有一实根。

知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理

证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]2

1

,0[上连续； （注:设函数，闭区间）

01)0(>=f ，022)2

1

(<-=f ，

故由根的存在定理，至少在)21

,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ，

即方程042=-x x

在)2

1,0(内必有一实根.

P61页 3.设

)(0x f '存在，求：

（1）

x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim

000

（2）h h x f h x f h )

()(lim 000--+→

（3）t

x f t x f t )

()3(lim

000

-+→

分析：因

)(0x f '存在，则极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

000

的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式 解：（1）

x

x x f x f x ∆∆--→∆)

()(lim

000

)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆

（2）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→h

x f h x f x f h x f h )

()()()(lim

00000+---+=→ )

1)(()

())(()()(lim

00000

----+--+=

→h x f h x f h x f h x f h

)(2)()(000x f x f x f '='+'=

（3）t x f t x f t )()3(lim

000

-+→)(333)

()3(lim 0000x f t

x f t x f t '=⋅-+=→

8.用导数的定义求

⎩

⎨

⎧≥+<=0,)1ln(0,

)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：

x

x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(000

0；

2）点0x 处的左右导数的定义与记号：

左导数

x x f x x f x f x ∆-∆+='-

→∆-)

()(lim )(000

右导数

x

x f x x f x f x ∆-∆+='+

→∆+)

()(lim )(000

3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。 解：因

0)0(=f （先写出0=x 处的函数值）

又

10

lim )0()0(lim )0(00=∆-∆=∆-∆+='--

→∆→∆-x

x x f x f f x x

（在0=x 处的左导数定义）

10

)1ln(lim )0()0(lim )0(00=∆-∆+=∆-∆+='-+→∆→∆+x

x x f x f f x x

（在0=x 处的右导数定义） 而

1)0()0()0(=''='+-f f f 故

10.设函数

⎩⎨⎧>+≤=1

,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？

题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。 解：由题意，函数在1=x

处连续，则1)1()01()01(==+=-f f f ，即

1lim )(lim )01(21

1

===---→→x x f f x x

b a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(1

1

，得1=+b a