算法导论第二十章答案
算法导论课程作业答案
算法导论课程作业答案Introduction to AlgorithmsMassachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine,Lee Wee Sun,and Charles E.Leiserson Handout10Diagnostic Test SolutionsProblem1Consider the following pseudocode:R OUTINE(n)1if n=12then return13else return n+R OUTINE(n?1)(a)Give a one-sentence description of what R OUTINE(n)does.(Remember,don’t guess.) Solution:The routine gives the sum from1to n.(b)Give a precondition for the routine to work correctly.Solution:The value n must be greater than0;otherwise,the routine loops forever.(c)Give a one-sentence description of a faster implementation of the same routine. Solution:Return the value n(n+1)/2.Problem2Give a short(1–2-sentence)description of each of the following data structures:(a)FIFO queueSolution:A dynamic set where the element removed is always the one that has been in the set for the longest time.(b)Priority queueSolution:A dynamic set where each element has anassociated priority value.The element removed is the element with the highest(or lowest)priority.(c)Hash tableSolution:A dynamic set where the location of an element is computed using a function of the ele ment’s key.Problem3UsingΘ-notation,describe the worst-case running time of the best algorithm that you know for each of the following:(a)Finding an element in a sorted array.Solution:Θ(log n)(b)Finding an element in a sorted linked-list.Solution:Θ(n)(c)Inserting an element in a sorted array,once the position is found.Solution:Θ(n)(d)Inserting an element in a sorted linked-list,once the position is found.Solution:Θ(1)Problem4Describe an algorithm that locates the?rst occurrence of the largest element in a?nite list of integers,where the integers are not necessarily distinct.What is the worst-case running time of your algorithm?Solution:Idea is as follows:go through list,keeping track of the largest element found so far and its index.Update whenever necessary.Running time isΘ(n).Problem5How does the height h of a balanced binary search tree relate to the number of nodes n in the tree? Solution:h=O(lg n) Problem 6Does an undirected graph with 5vertices,each of degree 3,exist?If so,draw such a graph.If not,explain why no such graph exists.Solution:No such graph exists by the Handshaking Lemma.Every edge adds 2to the sum of the degrees.Consequently,the sum of the degrees must be even.Problem 7It is known that if a solution to Problem A exists,then a solution to Problem B exists also.(a)Professor Goldbach has just produced a 1,000-page proof that Problem A is unsolvable.If his proof turns out to be valid,can we conclude that Problem B is also unsolvable?Answer yes or no (or don’t know).Solution:No(b)Professor Wiles has just produced a 10,000-page proof that Problem B is unsolvable.If the proof turns out to be valid,can we conclude that problem A is unsolvable as well?Answer yes or no (or don’t know).Solution:YesProblem 8Consider the following statement:If 5points are placed anywhere on or inside a unit square,then there must exist two that are no more than √2/2units apart.Here are two attempts to prove this statement.Proof (a):Place 4of the points on the vertices of the square;that way they are maximally sepa-rated from one another.The 5th point must then lie within √2/2units of one of the other points,since the furthest from the corners it can be is the center,which is exactly √2/2units fromeach of the four corners.Proof (b):Partition the square into 4squares,each with a side of 1/2unit.If any two points areon or inside one of these smaller squares,the distance between these two points will be at most √2/2units.Since there are 5points and only 4squares,at least two points must fall on or inside one of the smaller squares,giving a set of points that are no more than √2/2apart.Which of the proofs are correct:(a),(b),both,or neither (or don’t know)?Solution:(b)onlyProblem9Give an inductive proof of the following statement:For every natural number n>3,we have n!>2n.Solution:Base case:True for n=4.Inductive step:Assume n!>2n.Then,multiplying both sides by(n+1),we get(n+1)n!> (n+1)2n>2?2n=2n+1.Problem10We want to line up6out of10children.Which of the following expresses the number of possible line-ups?(Circle the right answer.)(a)10!/6!(b)10!/4!(c) 106(d) 104 ·6!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(b),(d)are both correctProblem11A deck of52cards is shuf?ed thoroughly.What is the probability that the4aces are all next to each other?(Circle theright answer.)(a)4!49!/52!(b)1/52!(c)4!/52!(d)4!48!/52!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(a)Problem12The weather forecaster says that the probability of rain on Saturday is25%and that the probability of rain on Sunday is25%.Consider the following statement:The probability of rain during the weekend is50%.Which of the following best describes the validity of this statement?(a)If the two events(rain on Sat/rain on Sun)are independent,then we can add up the twoprobabilities,and the statement is true.Without independence,we can’t tell.(b)True,whether the two events are independent or not.(c)If the events are independent,the statement is false,because the the probability of no rainduring the weekend is9/16.If they are not independent,we can’t tell.(d)False,no matter what.(e)None of the above.(f)Don’t know.Solution:(c)Problem13A player throws darts at a target.On each trial,independentlyof the other trials,he hits the bull’s-eye with probability1/4.How many times should he throw so that his probability is75%of hitting the bull’s-eye at least once?(a)3(b)4(c)5(d)75%can’t be achieved.(e)Don’t know.Solution:(c),assuming that we want the probability to be≥0.75,not necessarily exactly0.75.Problem14Let X be an indicator random variable.Which of the following statements are true?(Circle all that apply.)(a)Pr{X=0}=Pr{X=1}=1/2(b)Pr{X=1}=E[X](c)E[X]=E[X2](d)E[X]=(E[X])2Solution:(b)and(c)only。
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算法导论 答案 (2)
算法导论答案算法导论概述《算法导论》是一本经典的计算机科学教材，由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein合著。
这本书详细介绍了算法的设计、分析和实现，并涵盖了算法导论领域的许多重要概念和技术。
本文将为你提供一些关于《算法导论》中一些常见问题的答案。
1. 什么是算法？算法是一系列明确定义的步骤，用于解决特定问题或完成特定任务。
它可以是一个计算过程、一个程序或一个有限的操作序列。
算法通常用于计算和数据处理领域，是计算机科学的核心概念。
2. 为什么学习算法很重要？学习算法的重要性体现在以下几个方面：•提高问题解决能力：算法是解决问题的有效工具。
学习算法可以帮助我们思考和理解问题，并设计出相应的解决方案。
•优化计算性能：算法的设计和分析可以帮助我们提高计算的效率和性能。
合适的算法可以在短时间内处理大规模数据集和复杂计算任务。
•促进技术创新：算法是许多技术和应用的基石，包括人工智能、机器学习、数据挖掘等。
学习算法可以为我们打开更多的研究和创新机会。
3. 《算法导论》提供了哪些内容？《算法导论》这本书详细介绍了算法的基本概念和设计技巧，并提供了许多典型算法的实现和分析。
以下是该书的一些主要内容：•算法分析：对算法进行时间复杂度和空间复杂度的理论分析，帮助我们评估算法的效率和性能。
•排序和查找算法：介绍了各种排序算法（如插入排序、归并排序、快速排序）和查找算法（如二分查找、哈希表）。
•图算法：讨论了图的表示方法和图搜索算法（如深度优先搜索、广度优先搜索）以及最短路径算法（如Dijkstra算法）等。
•动态规划和贪心算法：介绍了动态规划和贪心算法的原理和应用，用于解决具有最优子结构性质的问题。
•分治算法和递归思想：讲解了分治算法的基本原理，并提供了许多使用递归思想解决问题的例子。
•NP完全问题：探讨了NP完全问题的性质和求解方法，引导了读者进入计算复杂性理论的领域。
算法导论习题答案 (5)
Three-hole punch your paper on submissions. You will often be called upon to “give an algorithm” to solve a certain problem. Your write-up should take the form of a short essay. A topic paragraph should summarize the problem you are solving and what your results are. The body of the essay should provide the following:
(a) Argue that this problem exhibits optimal substructure.
Solution: First, notice that linecost(i, j) is defined to be � if the words i through j do not fit on a line to guarantee that no lines in the optimal solution overflow. (This relies on the assumption that the length of each word is not more than M .) Second, notice that linecost(i, j) is defined to be 0 when j = n, where n is the total number of words; only the actual last line has zero cost, not the recursive last lines of subprob lems, which, since they are not the last line overall, have the same cost formula as any other line.
《算法导论(第二版)》(中文版)课后答案
5
《算法导论（第二版） 》参考答案 do z←y 调用之前保存结果 y←INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(y, i) 如果循环是由于y没有左子树，那我们返回y 否则我们返回z，这时意味着没有在z的左子树找到重叠区间 7 if y≠ nil[T] and i overlap int[y] 8 then return y 9 else return z 5 6 15.1-5 由 FASTEST-WAY 算法知：
15
lg n
2 lg n1 1 2cn 2 cn (n 2 ) 2 1
4.3-1 a) n2 b) n2lgn c) n3 4.3-4
2
《算法导论（第二版） 》参考答案 n2lg2n 7.1-2 (1)使用 P146 的 PARTION 函数可以得到 q=r 注意每循环一次 i 加 1，i 的初始值为 p 1 ，循环总共运行 (r 1) p 1次，最 终返回的 i 1 p 1 (r 1) p 1 1 r (2)由题目要求 q=(p+r)/2 可知，PARTITION 函数中的 i，j 变量应该在循环中同 时变化。 Partition(A, p, r) x = A[p]; i = p - 1; j = r + 1; while (TRUE) repeat j--; until A[j] <= x; repeat i++; until A[i] >= x; if (i < j) Swap(A, i, j); else return j; 7.3-2 （1）由 QuickSort 算法最坏情况分析得知：n 个元素每次都划 n-1 和 1 个，因 为是 p<r 的时候才调用，所以为Θ （n） （2）最好情况是每次都在最中间的位置分，所以递推式是： N(n)= 1+ 2*N(n/2) 不难得到：N(n) =Θ （n） 7.4-2 T(n)=2*T(n/2)+ Θ （n） 可以得到 T(n) =Θ （n lgn） 由 P46 Theorem3.1 可得：Ω (n lgn)
中科大算法导论作业标准标准答案
第8次作业答案16.1-116.1-2543316.3-416.2-5参考答案：16.4-1证明中要三点：1.有穷非空集合2.遗传性3.交换性第10次作业参考答案16.5-1题目表格：解法1：使用引理16.12性质（2），按wi单调递减顺序逐次将任务添加至Nt（A），每次添加一个元素后，进行计算，{计算方法：Nt（A）中有i个任务时计算N0 (A),…,Ni(A)，其中如果存在Nj (A)>j,则表示最近添加地元素是需要放弃地，从集合中删除}；最后将未放弃地元素按di递增排序，放弃地任务放在所有未放弃任务后面，放弃任务集合内部排序可随意.解法2：设所有n个时间空位都是空地.然后按罚款地单调递减顺序对各个子任务逐个作贪心选择.在考虑任务j时，如果有一个恰处于或前于dj地时间空位仍空着，则将任务j赋与最近地这样地空位，并填入; 如果不存在这样地空位，表示放弃.答案（a1，a2是放弃地）：<a5, a4, a6, a3, a7,a1, a2>or <a5, a4, a6, a3, a7,a2, a1>划线部分按上表di递增地顺序排即可，答案不唯一16.5-2（直接给个计算例子说地不清不楚地请扣分）题目：本题地意思是在O(|A|)时间内确定性质2（性质2：对t=0，1，2，…，n，有Nt(A)<=t,Nt(A)表示A中期限不超过t地任务个数）是否成立.解答示例：思想：建立数组a[n],a[i]表示截至时间为i地任务个数，对0=<i<n，如果出现a[0]+a[1]+…+a[i]>i,则说明A不独立，否则A独立.伪代码：int temp=0;for(i=0;i<n;i++) a[i]=0; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) a[di]++; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) ******O(n)=O(|A|) {temp+=a[i];//temp就是a[0]+a[1]+…+a[i]if（temp>i）//Ni(A)>iA不独立；}17.1-1（这题有歧义，不扣分）a) 如果Stack Operations包括Push Pop MultiPush,答案是可以保持,解释和书上地Push Pop MultiPop差不多.b) 如果是Stack Operations包括Push Pop MultiPush MultiPop,答案就是不可以保持,因为MultiPush,MultiPop交替地话,平均就是O(K).17.1-2本题目只要证明可能性，只要说明一种情况下结论成立即可17.2-1第11次作业参考答案17.3-1题目：答案：备注：最后一句话展开：采用新地势函数后对i 个操作地平摊代价：)1()())1(())(()()(1''^'-Φ-Φ+=--Φ--Φ+=Φ-Φ+=-Di Di c k Di k Di c D D c c i i i i i i17.3-2题目：答案：第一步：此题关键是定义势能函数Φ,不管定义成什么首先要满足两个条件 对所有操作i ，)(Di Φ>=0且)(Di Φ>=)(0D Φ比如令k j+=2i ，j,k 均为整数且取尽可能大，设势能函数)(Di Φ=2k;第二步：求平摊代价，公式是)1()(^-Φ-Φ+=Di Di c c i i 按上面设置地势函数示例：当k=0，^i c =…=2当k ！=0,^i c =…=3 显然，平摊代价为O(1)17.3-4题目：答案：结合课本p249，p250页对栈操作地分析很容易有下面结果17.4-3题目：答案：αα=(第i次循环之后地表中地entry 假设第i个操作是TABLE_DELETE, 考虑装载因子:inum size数)/(第i次循环后地表地大小)=/i i第12 次参考答案19.1.1题目：答案：如果x不是根，则degree[sibling[x]]=degree[child[x]]=degree[x]-1如果x是根，则sibling为二项堆中下一个二项树地根，因为二项堆中根链是按根地度数递增排序，因此degree[sibling[x]]>degree[x]19.1.2题目：答案：如果x是p[x]地最左子节点，则p[x]为根地子树由两个相同地二项树合并而成，以x为根地子树就是其中一个二项树，另一个以p[x]为根，所以degree[p[x]]=degree[x]+1;如果x不是p[x]地最左子节点，假设x是p[x]地子节点中自左至右地第i个孩子，则去掉p[x]前i-1个孩子，恰好转换成第一种情况，因而degree[p[x]]=degree[x]+1+（i-1）=degree[x]+i;综上,degree[p[x]]>degree[x]19.2.2题目：题目：19.2.519.2.6第13次作业参考答案20.2-1题目：解答：20.2-3 题目：解答：20.3-1 题目：答案：20.3-2 题目：答案：第14次作业参考答案这一次请大家自己看书处理版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.6ewMy。
算法导论参考 答案
第二章算法入门由于时间问题有些问题没有写的很仔细，而且估计这里会存在不少不恰当之处。
另，思考题2-3 关于霍纳规则，有些部分没有完成，故没把解答写上去，我对其 c 问题有疑问，请有解答方法者提供个意见。
给出的代码目前也仅仅为解决问题，没有做优化，请见谅，等有时间了我再好好修改。
插入排序算法伪代码INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]4 i ←j-15 while i > 0 and A[i] > key6 do A[i+1]←A[i]7 i ←i − 18 A[i+1]←keyC#对揑入排序算法的实现:public static void InsertionSort<T>(T[] Input) where T:IComparable<T>{T key;int i;for (int j = 1; j < Input.Length; j++){key = Input[j];i = j - 1;for (; i >= 0 && Input[i].CompareTo(key)>0;i-- )Input[i + 1] = Input[i];Input[i+1]=key;}}揑入算法的设计使用的是增量（incremental）方法：在排好子数组A[1..j-1]后，将元素A[ j]揑入，形成排好序的子数组A[1..j]这里需要注意的是由于大部分编程语言的数组都是从0开始算起，这个不伪代码认为的数组的数是第1个有所丌同，一般要注意有几个关键值要比伪代码的小1.如果按照大部分计算机编程语言的思路，修改为：INSERTION-SORT(A)1 for j ← 1 to length[A]2 do key ←A[j]3 i ←j-14 while i ≥ 0 and A[i] > key5 do A[i+1]←A[i]6 i ←i − 17 A[i+1]←key循环丌变式(Loop Invariant)是证明算法正确性的一个重要工具。
算法导论(第二版)习题答案(英文版)
Last update: December 9, 2002
1.2 − 2 Insertion sort beats merge sort when 8n2 < 64n lg n, ⇒ n < 8 lg n, ⇒ 2n/8 < n. This is true for 2 n 43 (found by using a calculator). Rewrite merge sort to use insertion sort for input of size 43 or less in order to improve the running time. 1−1 We assume that all months are 30 days and all years are 365.
n
Θ
i=1
i
= Θ(n2 )
This holds for both the best- and worst-case running time. 2.2 − 3 Given that each element is equally likely to be the one searched for and the element searched for is present in the array, a linear search will on the average have to search through half the elements. This is because half the time the wanted element will be in the first half and half the time it will be in the second half. Both the worst-case and average-case of L INEAR -S EARCH is Θ(n). 3
算法导论参考答案
第二章算法入门由于时间问题有些问题没有写的很仔细，而且估计这里会存在不少不恰当之处。
另，思考题2-3 关于霍纳规则，有些部分没有完成，故没把解答写上去，我对其 c 问题有疑问，请有解答方法者提供个意见。
给出的代码目前也仅仅为解决问题，没有做优化，请见谅，等有时间了我再好好修改。
插入排序算法伪代码INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]4 i ←j-15 while i > 0 and A[i] > key6 do A[i+1]←A[i]7 i ←i − 18 A[i+1]←keyC#对揑入排序算法的实现:public static void InsertionSort<T>(T[] Input) where T:IComparable<T>{T key;int i;for (int j = 1; j < Input.Length; j++){key = Input[j];i = j - 1;for (; i >= 0 && Input[i].CompareTo(key)>0;i-- )Input[i + 1] = Input[i];Input[i+1]=key;}}揑入算法的设计使用的是增量（incremental）方法：在排好子数组A[1..j-1]后，将元素A[ j]揑入，形成排好序的子数组A[1..j]这里需要注意的是由于大部分编程语言的数组都是从0开始算起，这个不伪代码认为的数组的数是第1个有所丌同，一般要注意有几个关键值要比伪代码的小1.如果按照大部分计算机编程语言的思路，修改为：INSERTION-SORT(A)1 for j ← 1 to length[A]2 do key ←A[j]3 i ←j-14 while i ≥ 0 and A[i] > key5 do A[i+1]←A[i]6 i ←i − 17 A[i+1]←key循环丌变式(Loop Invariant)是证明算法正确性的一个重要工具。
算法导论习题答案 (4)
The father now has to decide how to procure skis for his daughter for every weekly session (until she quits). One can buy skis at a one-time cost of B dollars, or rent skis at a weekly cost of R dollars. (Note that one can buy skis at any time—e.g., rent for two weeks, then buy.)
(a) Suppose that (starting from an empty queue) we do 3 insertions, then 2 removals,
then 3 more insertions, and then 2 more removals. What is the total cost of these 10
Problem Set 4 Solutions
Reading: Chapters 17, 21.1–21.3 Both exercises and problems should be solved, but only the problems should be turned in.
麻省理工学院-算法导论
麻省理工学院-算法导论关于课本的介绍如下：本书自第一版出版以来，已经成为世界范围内广泛使用的大学教材和专业人员的标准参考手册。
本书全面论述了算法的内容，从一定深度上涵盖了算法的诸多方面，同时其讲授和分析方法又兼顾了各个层次读者的接受能力。
各章内容自成体系，可作为独立单元学习。
所有算法都用英文和伪码描述，使具备初步编程经验的人也可读懂。
全书讲解通俗易懂，且不失深度和数学上的严谨性。
第二版增加了新的章节，如算法作用、概率分析与随机算法、线性编程等，几乎对第一版的各个部分都作了大量修订。
学过计算机的都知道，这本书是全世界最权威的算法课程的大学课本了，基本上全世界的名牌大学用的教材都是它。
这本书一共四位作者，Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson和Ronald L. Rivest是来自MIT的教授，Clifford Stein是MIT出来的博士，现在哥伦比亚大学做教授，四人姓氏的首字母联在一起即是此书的英文简称(CLRS 2e)，其中的第三作者Ronald L. Rivest是RSA算法的老大(算法名字里面的R即是指他)，四个超级大牛出的一本书，此书不看人生不能算完整。
再介绍一下课堂录像里面授课的两位MIT的老师，第一位，外表“绝顶聪明”的，是本书的第二作者Charles E. Leiserson，以逻辑严密，风趣幽默享誉MIT。
第二位，留着金黄色的络腮胡子和马尾发的酷哥是Erik Demaine，21岁即取得MIT教授资格的天才，1981出生，今年才25岁，业余爱好是俄罗斯方块、演戏、琉璃、折纸、杂耍、魔术和结绳游戏。
另外，附上该书的中文电子版，pdg转pdf格式，中文版翻译自该书的第一版，中文书名没有使用《算法导论》，而使用的是《现代计算机常用数据结构和算法》，1994年出版时没有得到国外的授权，属于“私自翻译出版”，译者是南京大学计算机系的潘金贵。
课程重点算法导论是麻省理工学院电机工程与计算机科学系“理论计算机科学”集中选修课程的先导科目。
《麻省理工学院-算法导论》(MIT - Introduction to Algorithms)概要
《麻省理工学院-算法导论》(MIT - Introduction to Algorithms)这是麻省理工学院2001年秋季课程《算法导论》的所有课程资料，包括有：课本(含有习题，chm格式)，课堂讲稿(ppt转pdf格式)，作业及其答案(pdf格式)，测验及其答案(pdf格式)，教师参考(含习题答案，很难得，pdf格式)，课堂录像(rmvb格式)。
关于课本的介绍如下：本书自第一版出版以来，已经成为世界范围内广泛使用的大学教材和专业人员的标准参考手册。
本书全面论述了算法的内容，从一定深度上涵盖了算法的诸多方面，同时其讲授和分析方法又兼顾了各个层次读者的接受能力。
各章内容自成体系，可作为独立单元学习。
所有算法都用英文和伪码描述，使具备初步编程经验的人也可读懂。
全书讲解通俗易懂，且不失深度和数学上的严谨性。
第二版增加了新的章节，如算法作用、概率分析与随机算法、线性编程等，几乎对第一版的各个部分都作了大量修订。
学过计算机的都知道，这本书是全世界最权威的算法课程的大学课本了，基本上全世界的名牌大学用的教材都是它。
这本书一共四位作者，Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson和Ronald L. Rivest是来自MIT的教授，Clifford Stein是MIT出来的博士，现在哥伦比亚大学做教授，四人姓氏的首字母联在一起即是此书的英文简称(CLRS 2e)，其中的第三作者Ronald L. Rivest是RSA算法的老大(算法名字里面的R即是指他)，四个超级大牛出的一本书，此书不看人生不能算完整。
再介绍一下课堂录像里面授课的两位MIT的老师，第一位，外表“绝顶聪明”的，是本书的第二作者Charles E. Leiserson，以逻辑严密，风趣幽默享誉MIT。
第二位，留着金黄色的络腮胡子和马尾发的酷哥是Erik Demaine，21岁即取得MIT教授资格的天才，1981出生，今年才25岁，业余爱好是俄罗斯方块、演戏、琉璃、折纸、杂耍、魔术和结绳游戏。
算法导论第三版答案
Procedure BINARY-SEARCH takes a sorted array A, a value , and a range Œlow : : high of the array, in which we search for the value . The procedure compares to the array entry at the midpoint of the range and decides to eliminate half the range from further consideration. We give both iterative and recursive versions, each of which returns either an index i such that AŒi D , or NIL if no utions for Chapter 2: Getting Started
AŒlow : : high contains the value . The initial call to either version should have the parameters A; ; 1; n.
Selected Solutions for Chapter 2: Getting Started
2-3
d. We follow the hint and modify merge sort to count the number of inversions in ‚.n lg n/ time.
To start, let us define a merge-inversion as a situation within the execution of merge sort in which the MERGE procedure, after copying AŒp : : q to L and AŒq C 1 : : r to R, has values x in L and y in R such that x > y. Consider an inversion .i; j /, and let x D AŒi and y D AŒj , so that i < j and x > y. We claim that if we were to run merge sort, there would be exactly one mergeinversion involving x and y. To see why, observe that the only way in which array elements change their positions is within the MERGE procedure. Moreover, since MERGE keeps elements within L in the same relative order to each other, and correspondingly for R, the only way in which two elements can change their ordering relative to each other is for the greater one to appear in L and the lesser one to appear in R. Thus, there is at least one merge-inversion involving x and y. To see that there is exactly one such merge-inversion, observe that after any call of MERGE that involves both x and y, they are in the same sorted subarray and will therefore both appear in L or both appear in R in any given call thereafter. Thus, we have proven the claim.
算法导论(第二版)课后习题解答
Θ
i=1
i
= Θ(n2 )
This holds for both the best- and worst-case running time. 2.2 − 3 Given that each element is equally likely to be the one searched for and the element searched for is present in the array, a linear search will on the average have to search through half the elements. This is because half the time the wanted element will be in the first half and half the time it will be in the second half. Both the worst-case and average-case of L INEAR -S EARCH is Θ(n). 3
Solutions for Introduction to algorithms second edition
Philip Bille
The author of this document takes absolutely no responsibility for the contents. This is merely a vague suggestion to a solution to some of the exercises posed in the book Introduction to algorithms by Cormen, Leiserson and Rivest. It is very likely that there are many errors and that the solutions are wrong. If you have found an error, have a better solution or wish to contribute in some constructive way please send a message to beetle@it.dk. It is important that you try hard to solve the exercises on your own. Use this document only as a last resort or to check if your instructor got it all wrong. Please note that the document is under construction and is updated only sporadically. Have fun with your algorithms. Best regards, Philip Bille
算法导论中文版答案
24.2-3
24.2-4
24.3-1 见图 24-6 24.3-2
24.3-3
24.3-4 24.3-5 24.3-6
24.3-7
24.3-8 这种情况下不会破坏已经更新的点的距离。 24.4**** 24.5****
25.1-1 见图 25-1 25.1-2 为了保证递归定义式 25.2 的正确性 25.1-3
8.3-3 8.3-4
8.3-5(*) 8.4-1 见图 8-4 8.4-2
8.4-3 3/2，1/2 8.4-4(*) 8.4-5(*)
9.1-1
9.1-2 9.2-1 9.3-1
第九章
9.3-2 9.3-3
9.3-4 9.3-5
9.3-6 9.3-7
9.3-8
9.3-9
15.1-1
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
算法导论附录a习题答案
算法导论附录a习题答案算法导论附录A习题答案算法导论是一本经典的计算机科学教材，被广泛应用于计算机科学和工程的教育和研究领域。
附录A是该书中的一个重要部分，提供了一系列习题，用于帮助读者巩固和应用书中所讲述的算法概念和理论。
本文将回答附录A中的一些习题，旨在帮助读者更好地理解和运用算法导论中的知识。
习题1：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的两个元素，使得它们的和等于给定的值x。
解答：可以使用哈希表来解决这个问题。
首先，遍历一遍数组A，将每个元素插入哈希表中。
然后，再次遍历数组A，对于每个元素a，计算目标值x与a的差值diff。
检查哈希表中是否存在diff，如果存在，则找到了满足条件的两个元素。
习题2：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的一个元素，使得它出现的次数超过数组长度的一半。
解答：可以使用摩尔投票算法来解决这个问题。
首先，假设数组中的第一个元素为候选元素，初始化计数器count为1。
然后，遍历数组，对于每个元素a，如果a与候选元素相同，则计数器加1；否则，计数器减1。
如果计数器减到0，则将当前元素设为候选元素，并将计数器重置为1。
最后，返回候选元素即可。
习题3：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的一个元素，使得它出现的次数严格大于n/3。
解答：可以使用摩尔投票算法的变种来解决这个问题。
首先，假设数组中的前两个元素为候选元素1和候选元素2，初始化计数器count1和count2为0。
然后，遍历数组，对于每个元素a，如果a与候选元素1相同，则计数器count1加1；如果a与候选元素2相同，则计数器count2加1；如果count1为0，则将当前元素设为候选元素1，并将计数器count1重置为1；如果count2为0，则将当前元素设为候选元素2，并将计数器count2重置为1。
最后，再次遍历数组，统计候选元素1和候选元素2的出现次数，如果其中一个元素的出现次数严格大于n/3，则返回该元素。
各门课程课后答案
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