1.1二次函数课件(共23张PPT)
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二次函数ppt课件
想一想 自变量的取值范围是 x>6 .
典 例3 如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 例 菜园ABCD,设AB边长为x米,求菜园的面积y(单位:平方米)与x(单位:米) 精 的函数关系式.
析 解:∵AB边长为x米.
D
C
A
B
在根据实际问题列二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
视 频
观察都匀 绿博园音
引 乐喷泉视
入 频有时会
形成一条
条曲
线.这些
曲线能否
用函数关
系式表示?
复 1.什么是函数? 习 一般地,在一个变化的过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x 巩 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是 固 自变量,y是x的函数.
典 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产 例 品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但 精 一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数, 析 且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式.
解:∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一 个档次,每件利润加2元,但一天产量减少5件,
课 堂 小 结
作业设计
必做:课本41页1、2题
选做: 若函数
是二次函数,求:
(1)求a的值. (2)求函数关系式. (3)当x=-2时,y的值是多少?
共勉:
走进名家,乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题,
一切数学问题都可以转化为代数问题,
而一切代数问题又可以转化为函数问题,
因此,一旦解决了函数问题,
典 例3 如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 例 菜园ABCD,设AB边长为x米,求菜园的面积y(单位:平方米)与x(单位:米) 精 的函数关系式.
析 解:∵AB边长为x米.
D
C
A
B
在根据实际问题列二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
视 频
观察都匀 绿博园音
引 乐喷泉视
入 频有时会
形成一条
条曲
线.这些
曲线能否
用函数关
系式表示?
复 1.什么是函数? 习 一般地,在一个变化的过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x 巩 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是 固 自变量,y是x的函数.
典 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产 例 品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但 精 一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数, 析 且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式.
解:∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一 个档次,每件利润加2元,但一天产量减少5件,
课 堂 小 结
作业设计
必做:课本41页1、2题
选做: 若函数
是二次函数,求:
(1)求a的值. (2)求函数关系式. (3)当x=-2时,y的值是多少?
共勉:
走进名家,乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题,
一切数学问题都可以转化为代数问题,
而一切代数问题又可以转化为函数问题,
因此,一旦解决了函数问题,
二次函数的图象和性质课件
最大值出现在顶点处。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用,如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型,我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题,我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点的x坐标为-b/2a,y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线,其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的,对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式, 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点,代入 二次函数表达式中,计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点, 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值(正或负) ,抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a neq 0$。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用,如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型,我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题,我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点的x坐标为-b/2a,y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线,其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的,对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式, 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点,代入 二次函数表达式中,计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点, 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值(正或负) ,抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a neq 0$。
《二次函数》PPT精品课件
在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是( B )
A.m、n为常数,且m≠0
B.m、n为常数,且m≠n
C.m、n为常数,且n≠0
D.m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中,不是二次函数的是( C )
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解:
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得:k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一
年到期后,银行将本金和利息自动按一年定
期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你
写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑
利息税).
y=100(x+1)²
=100x²+200x+100.
典例精析
例1 已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多
1
B. y x 2
6
D. y ( x 1)( x 2)
2
2.函数 y (m n) x mx n 是二次函数的条件是( B )
A.m、n为常数,且m≠0
B.m、n为常数,且m≠n
C.m、n为常数,且n≠0
D.m、n可以为任何常数
自主学习检测
3.如果函数y=
x
k 2 3k 2
2.1 二次函数
九年级下册
- .
学习目标
1
2
3
经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数
表示变量之间关系的体验.
能够表示简单变量之间的二次函数关系.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
自主学习检测
1.下列函数中,不是二次函数的是( C )
A. y 6 x 2 1
C. y x 2 1
解:
y x
k 2 3 k 2
0或3
+kx+1 是二次函数,则k的值是______
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2
解得:k1 0, k 2 3
4.如果函数y=(k-3) x
人教版九年级上册数学课件22.1.1二次函数(共19张PPT)
探究二:利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习:
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可
卖出20件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出
服装的利润为y元,则y与x的函数关系式为( A )。
二次函数
(1)一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常 数,a≠0)。 (2)正比例函数的一般形式是:y=kx(k≠0,k为常数)。 (3)一次函数的一般形式是:y=kx+b(k≠0,k、b为常数)。
探究一:二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳: 1. 二次函数的概念:把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数,其中:ax2为二次项,a为二次项系数;bx 为一次项,b为一次项系数;c为常数项。 2.二次函数的解析式: 二次函数的一般式:y=ax2+bx+c (a,b,(2)y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0); (3)y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0)。
综上所述,a=-1。
探究二:利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例,探究归纳。
例1:某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量(果园最多能种150棵橙子树),但是 如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。 (1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有橙子树_(__1__0_0_+__x_)____ 棵,这时平均每棵树结橙子_(___6_0_0__-5__x_)____个。
《二次函数图象》PPT课件
-2
-3 -4
-5
-6 -7
y=-x2
-8 -9
-10
5
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线. 这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y y=x2
y
o
x
y=-x2的图像叫做抛物线y=-
x2. 实际上,二次函数的图像 o
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
y
a>0
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是
抛物线的最高点;
o
x
|a|越大,抛物线的开口越小;
.
a<0
16
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
(0,0) 最高点 y轴 向下
.
增 减增增 大 小大大
增 增增减 大 大大小
17
8
y=x2
7
6
5
4
3
2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
图像.
.
4
请画函数y=-x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
y 1
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),
再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图 像.
.
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
x
都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树,这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)的 汽车的刹车距离s(m)可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】共27页
拉
60、生活的道路一旦选定,就要勇敢地 走到底 ,决不 回头。 ——左
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】
•
6、黄金时代是在我们的前面,而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法,不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧,便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为,请 记住, 除了在 脑海中 ,恐惧 无处藏 身。-- 戴尔. 卡耐基 。
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定,就要勇敢地 走到底 ,决不 回头。 ——左
《二次函数》PPT课件【优秀课件推荐】
•
6、黄金时代是在我们的前面,而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性找方法,不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧,便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为,请 记住, 除了在 脑海中 ,恐惧 无处藏 身。-- 戴尔. 卡耐基 。
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
二次函数-PPT-课件资料
人民教育出版社 九年级 | 上册
知识点详解
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的 关系: (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月 利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
=-2x2+20x(0<x<10) (2)y=-2×32+20×3=42m
x
人民教育出版社 九年级 | 上册
课堂总结
1.定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数 叫做x的二次函数。 2.定义的实质是:ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次是二次,自变 量x的取值范围是全体实数。 3.二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数,a≠0) a是二次项系数,b是一次项系数, C是常数项
4+2p+q=-5,即:2p+q=-9 (2)
解(1)、(2),得:
p=-12、q=15
则:y=x²-12x+15
人民教育出版社 九年级 | 上册
例题详解
2、如图,一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三
角形 (图中阴影部分 ) ,设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形 EFGH
人民教育出版社 九年级 | 上册
第二十二章 ·二次函数
二次函数
精品模版-助您成长
温故知新
1、一元二次方程的一般形式是什么?
人民教育出版社 九年级 | 上册
2、函数定义是什么? 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 3、一次函数,正比例函数的一般形式是什么? 一次函数:y=kx+b(k,b是常数,k≠0) 正比例函数:y=kx(k是常数,k≠0)
《二次函数》PPT课件
一次函数 y=kx+b(k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图),设正 方体的棱长为x,表面积为y. 显然,对于x的 每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数, 它们的具体关系可以表示为 y=6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时,要把函 数关系式化为一般形式.
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2-练
方法点拨:在实际问题中建立二次函数模型时,关键 要找出两个变量之间的数量关系,用类似建立一元二 次方程模型的方法,借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解:(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同,其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢?这就是本章要学 习的二次函数.
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1-讲
n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,
比赛的场次数m与球队数n有什么关系?
比赛的场次数
m= 1 n(n-1),
即m=
1
2 n2-
感悟新知
总结
知2-讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤: (1)审清题意:找出问题中的已知量(常量)和
未知量(变量),把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
二次函数-课件
为: y 20(1 x)2 .
即:y 20x2 40x 20
思考:
观察下列函数有什么共同点?
(1) y 6x2
(2)dm 1 n2 3 n 22
(3) y 20x2 40x 20
二次函数的定义:一般地,形如
y=ax²+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二
1.已知函数y= (m-3)x ²+3 ,当 m___≠_3___时,此函数是二次函数。
变式1:已知函数y= x m²-7 +3 ,当 m=__±__3___时,此函数是二次函数。
变式2:已知函数y= (m-3)xm²-7 +3,当 m=__-_3____时,此函数是二次函数。
变式3:已知函数y=(m-3)x m²-7
我知道了______ 给我印象比较深刻的是______ 我需要注意的是______
这节课我们通过具体的实例认识了二次函数,二次函 数就是:
一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫 做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项。
次函数。其中, x是自变量,a,b,c分别是函数解析 式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量的整式
(2)自变量的最高次数为 2 。
(3)自变量的取值范围是一切实数,但在实际问 题中自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。
基础扫描
1、下列函数中,哪些是二次函数?若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
温故知新
什么叫函数?
一般的,在某个变化过程中,如果有 两个变量x与y,并且对于x的每一个确 定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
即:y 20x2 40x 20
思考:
观察下列函数有什么共同点?
(1) y 6x2
(2)dm 1 n2 3 n 22
(3) y 20x2 40x 20
二次函数的定义:一般地,形如
y=ax²+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二
1.已知函数y= (m-3)x ²+3 ,当 m___≠_3___时,此函数是二次函数。
变式1:已知函数y= x m²-7 +3 ,当 m=__±__3___时,此函数是二次函数。
变式2:已知函数y= (m-3)xm²-7 +3,当 m=__-_3____时,此函数是二次函数。
变式3:已知函数y=(m-3)x m²-7
我知道了______ 给我印象比较深刻的是______ 我需要注意的是______
这节课我们通过具体的实例认识了二次函数,二次函 数就是:
一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫 做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项。
次函数。其中, x是自变量,a,b,c分别是函数解析 式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量的整式
(2)自变量的最高次数为 2 。
(3)自变量的取值范围是一切实数,但在实际问 题中自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。
基础扫描
1、下列函数中,哪些是二次函数?若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
温故知新
什么叫函数?
一般的,在某个变化过程中,如果有 两个变量x与y,并且对于x的每一个确 定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
22.1.1二次函数概念PPT课件
(2)y=πx2 (3) y=5x2-6
(4) y=x(1+x)
驶向胜利的 彼岸
二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
与一元二次方程 ax2+bx都是ax2+bx+c 且(a≠0)
(2)方程ax2+bx+c =0可以看成是函数 y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
个对应值,即y是x的函数。
2.这三个函数有什么共同点? 函数都是用自变量的二次式表示的。
二次函数的定义:
注意:
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 (2)a,b,c为常数,且a≠0. (3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项。 (4)x的取值范围是任意实数。
区别:(1)前者是函数.后者是方程. (2)等式另一边前者是y,后者是0
2、关于x的函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m, 当m=0时,它是____函数; 当m=-2时,它是______函数。
3、已知函数 y (m 1) xm2 1 ,
当m=_____时,它是二次函数。
3、m取什么值时y=(m+3)Xm2-7 是二次函数?
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
r
2πr ×r
r
2.如图,矩形绿地的长、宽各增加xm,写出 扩充后得绿地的面积y与x的关系式
y (30 x)(20 x)
y 600 30x 20x x 2
y x 2 50x 600 x
20
30
x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
(4) y=x(1+x)
驶向胜利的 彼岸
二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
与一元二次方程 ax2+bx都是ax2+bx+c 且(a≠0)
(2)方程ax2+bx+c =0可以看成是函数 y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
个对应值,即y是x的函数。
2.这三个函数有什么共同点? 函数都是用自变量的二次式表示的。
二次函数的定义:
注意:
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 (2)a,b,c为常数,且a≠0. (3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项。 (4)x的取值范围是任意实数。
区别:(1)前者是函数.后者是方程. (2)等式另一边前者是y,后者是0
2、关于x的函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m, 当m=0时,它是____函数; 当m=-2时,它是______函数。
3、已知函数 y (m 1) xm2 1 ,
当m=_____时,它是二次函数。
3、m取什么值时y=(m+3)Xm2-7 是二次函数?
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
r
2πr ×r
r
2.如图,矩形绿地的长、宽各增加xm,写出 扩充后得绿地的面积y与x的关系式
y (30 x)(20 x)
y 600 30x 20x x 2
y x 2 50x 600 x
20
30
x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
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试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
a
b
c
y x2 58x 112 -1
58 -112
y 2x2 4x 2 2
y 1 x2 13x
1
2
2
y x2
4
2
13
0
0
0
二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
(3 )等式的右边最高次数为 2 ,可以没有
一次项和常数项,但不能没有二次项。
(4)x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式: – 当b=0时, y=ax2+c – 当c=0时, y=ax2+bx – 当b=0,c=0时, y=ax2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
做一做
(1)正方形边长为x(cm),它的面积y(cm2)
是多少?
(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长 增加x厘米,宽增加2x厘米,则面积增加到y平方 厘米,试写出y与x的关系式.
练一练
1.函数y ax2 bx c(其中a,b,c为常数), 当a, b, c满足什么条件时,
(2)当x=3时
y 232 203 42 x
答:当x=3时,矩形的面积为42m2。
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2;
(x(1 x);
(4) y (x 1)2 x2.
先化简后判断
2.下列函数中,哪些是二次函数?
量的取值范围都是任意实数呢?
例如:圆的面积 y( cm)与2 圆的半径 x(cm)
的函数关系是
. y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢?
【注意】当二次函数表示某个实际问题时,还 必须根据题意确定自变量的取值范围.
练一练
1.若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数,求m的值。
2.m取何值时,函数y= (m+1)x 2 +(m-3)x+m是二次函数?
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
例 下列函数中,哪些是二次函数?若是,分别指
出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
二次项系数: -2
一次项系数: 0
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃(如 图),设连墙的一边长为x m,矩形的面积 为y m2。求:(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解:(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
合作学习 探索新知
(3)一个温室的平面图如图,温室外围
是一个矩形,周长为12Om,室内通道的
尺寸如图,设一条边长为x(m), 种植面
积为y(m2).
1
1
1
x
3
合作学习 探索新知
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
练一练
5.已知二次函数y=x²+px+q ,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为 -5 ,求这个 二次函数的关系式.
练一练
6.已知二次函数 y 2(x 1)2 4 ,
(1)你能说出此函数的最小值吗?
(2)你能说出这里自变量能取哪些值?
开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么?
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系: (1)圆的面积y(cm2 )与圆的半径x(cm);
(2)某商店1月的利润是2万元,2、3月利 润逐月增长,这两个月利润的月平均增长 率为x,3月份的利润为y;
思考:上述三个问题中的函数关系式具有哪些 共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式, (a,b,c是常数,且a≠0 ).
定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量 x的 整式;
(2)a,b,c为常数,且 a≠0;
(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x
(3) y (x 2)(x 3)
(4)y x2 2x 3
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2
3.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
求m的值. 【注意】二次函数的二次项系数不能为0.
练一练
4. 写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类 型的函数?
(1)写出正方体的表面积S(cm2 )与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系式;
(2)写出圆的面积y( cm)2 与它的周长x(cm) 之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的 面积S( cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系 式.
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?
练一练
2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函 数的例子.
(1)二次项系数是一次项系数的2倍,常 数项为任意值。
(2)二次项系数为-5,一次项系数为常数 项的3倍。
练一练
3. 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数,
3.要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩 形的花圃,设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试 (1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?