数学学科发展前沿专题答案

1.叙述高等代数或近世代数中以数学家名字命名的5个定理(需写具体内容) 答：1、 罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)= f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使的函数f(x)在该点的导数等于零:f ’(ξ)= 0。

2、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开 区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使的等式f(b)-f(a)= f ’(ξ)(b-a)成立即f ’(ξ)= [f(b)-f(a)]/(b-a)。

3、柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F ’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[ F(b)-F(a)]= f ’(ξ)/ F ’(ξ)成立。

4、费马定理：当整数 时，关于 的方程 没有正整数解。

5、高斯（Gauss ）引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 2.矩阵在中学数学应用的三个例子. 1、二元一次方程组的解法消元法包括代入消元法与加减消元法法就是从方程组中的某一个方程解出一个未知数（用含有其他未知数的代数式表示），再将这个未知数的表达式代入这个方程组的其他方程中，在其他方程中消去这个未知数。

加减消元法就是将方程组的一些方程分别乘适当的数，使得某一个未知数的系数相加减等于0，然后将这些方程相加减，消去这个未知数。

下面我们以一般的方程为例。

（1）代入消元法111222(1)(2)x a b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 当10b ≠时，有方程（1）解出111(3)c a xy b -= 此时方程组与下列方程组同解：111222(3)(2)c a x y b a x b y c -⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 方程（3）要代入（2）消去未知数y112221c a xa xb yc b -+== （4） 有方程（4）解出x ，再将x 的值代入方程（3）求出y 的值，也可以将x 的值代入方程（2）求出y 的值 （2）加减消元法111222(1)(2)a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 将两个方程各乘适当的数，使未知数y 或x 的系数相同或互为相反数，经相加或相减后消去未知数y 或x ，得出一元一次方程33a x c = （3）此时，原方程组与下列方程组中有同解：11133(1)(3)a x b y c a x c +=⎧⎨=⎩ 因此，有方程（3）解出x 的值后，将x 的值代入方程（1）求出y 的值。

2、三元一次方程组的解法及四元一次方程的解法如果利用上面的两种方法来做也是可以完成的，但就是非常的麻烦，我们利用矩阵的知识来完成。

给定的方程组111122223333(1)(2)(3)a xb yc zd a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩系数的行列式1112221232313123212131323330a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---≠方程组有唯一的解x yZ D x D D y D D Z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩其中，111222333x d b c D d b c d b c = 111222333y a d c D ad c a d c =111222333z a d d D a d d a d d = 3,下面以一例题为例具体的说一说用矩阵的解法:2314273211x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩系数的行列式：1232114312D ==-142371141112x D ==-114327183112y D ==-1214217123111z D ==-123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩四元一次方程组我就不举例了跟解三元一次方程组的方法一样，依次方法我们还可以解五元、六元等方程。

三，多项式在中学数学中的应用四， 所谓空间X 内的一条闭路是指一个满足()()10αα=的连续映射X I →:α,并且说闭路α是以()0α为基点的。

若α与β是以X 的同一点为基点的两条闭路，定义乘积βα⋅为由下列公式给出的闭路()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=⋅.121,12,210,2s s s s s βαβα 公式中s 是从21分成了两个区间，但实际上，s 可以从() ,3,21=n n处分，对应的公式为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=⋅.11,11,10,s nn ns n s ns s βαβα 设X 为拓扑空间，选取一点X p ∈作为基点而考虑X 内以p 为基点的闭路全体(相对于{}1,0的同伦是这个集合的一个等价关系)。

我们称这些等价类为同伦类，闭路α的同伦类记作α.闭路的乘积诱导了同伦类的乘积:βαβα⋅=⋅.验证 若α'αrel {}1,0，β'βrel {}1,0，则αα='，ββ=' ，于是有βα'⋅'αβrel {}1,0，从而βαβα⋅='⋅', 这里()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=.121,,12,210,,2,s t s G s t s F t s H故有βα'⋅'βα⋅=，可见这样的定义是有意义的。

定理3.2.1 X 内以p 为基点的闭路同伦类的全体在乘积βαβα⋅=⋅之下构成一个群。

证明 (1)显然此集合对于乘法是封闭的。

(2)定义连续映射FGH()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=.121,2121,2141,41,410,2s s s s s s s f其中f 是从I 到I 的连续映射。

由于是I 凸集，且()00=f ，()11=f ，有直线同伦相对于{}1,0从f 到恒等映射1。

按引理3.1.3有()()()fγβαγβα⋅⋅=⋅⋅()()1 γβα⋅⋅，rel {}1,0=()γβα⋅⋅所以有γβαγβα⋅⋅=⋅⋅，即结合律成立。

(3)单位元素由点p 处常值闭路e 的同伦类担任，e 的定义是()p s e =，10≤≤s .定义映射()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=.121,12,210,0s s s s f I I f →:,因此fe αα=⋅1 α，rel {}1,0α=，所以ααα=⋅=⋅e e .(4)定义同伦类α的逆为1-α，这里()()s s -=-11αα，10≤≤s ，定义映射()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=.121,22,210,2s s s s s f I I f →:. 由于()()010==f f ，于是fg rel {}1,0，其中()0=s g ，10≤≤s .所以fααα=⋅-1g αrel {}1,0e =，故有e =⋅=⋅--11αααα.综合(1)(2)(3)(4),集合构成一个群。

补充：若(2)中的s 是从() ,3,21=n n处分的，由公式有 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=⋅.11,11,10,s nn ns n s ns s βαβα 从而()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⋅=⋅⋅.11,11,10,s nn ns n s ns s γβαγβα()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=.11,11,11,11,10,2222s n n ns n s n n s n n s s n γβα又由公式有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=⋅.11,11,10,s nn ns n s ns s γβγβ 从而()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤≤=⋅⋅.11,11,10,s n n ns n s ns s γβαγβα()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=.112,112,121,11,10,2222s n n n n s n n n s n n ns n ns ns γβα下求()s f .设()b ks s f +=.(1)当210ns ≤≤时，显然有 ()ns s f =.(2)当ns n 112≤≤时，有 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅=+⋅.121,1122n n b nk n b n k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,12n n b k (3)当11≤≤s n时，有⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅.11,1212b k n n b n k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,1n b n n k 综合(1)(2)(3)有()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+≤≤=.11,11,11,1,10,222s n n s nn n s n n n s n s ns s f所以有()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤⋅=⋅⋅.11,1211,11,11,10,22222s nn n s n n n ns n n n n n s n n s ns n s f γβαγβα()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤=.11,11,11,11,10,2222s n n ns n s n n s n n s s n γβα()()s γβα⋅⋅=也就是说，s 并不是一定要从21处分开，只是一般都习惯那样分，而实际上从() ,3,21=n n分也是可以的。

定义 定理3.2.1所构造出的群，叫作基于点p 的基本群。

记作()p X ,1π. 定理3.2.2 若X 为道路连通，则对于任何两点X q p ∈,，()p X ,1π同构于()q X ,1π.补充 假设γ，σ是空间内两条道路，且满足()()01σγ=，则根据乘积公式()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=⋅.121,12,210,2s s s s s σγσγ 可得到一条新道路。

由此可验证下列事实。

(a)若γγ'rel {}1,0，σσ'rel {}1,0，则 σγ⋅σγ'⋅'rel {}1,0.(b)若δσγ,,为任意三条道路，满足()()01σγ=，()()01δσ=，则有()δσγ⋅⋅()δσγ⋅⋅rel {}1,0.(c)若1-γ定义为()()s s -=-11γγ，则1-⋅γγ相对于{}1,0同伦于在()0γ处常值道路。

同理，γγ⋅-1相对于{}1,0同伦于()1γ处常值道路。