圆锥曲线中的探索性问题

例题解析
一、是否存在值
【例 1】已知椭圆 x 2 y 2 =1（a＞b＞0）的离心率 e= 6 ,过点 A（0,-b）和 B
a2 3 . 2
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点 E（-1,0）, 若直线 y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于 C、D 两点,试判断是
是否存在点 Q ,使得 OQM ONQ ？若存在,求点 Q 的坐标；若不存在,说明理
由.
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三、是否存在直线
【例 3】设 F1,F2 分别是椭圆 x2 y2 1的左右焦点. 54
（1）若 P 是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值.
（2）是否存在经过点 A（5,0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D,使得|F2C|＝
|F2D|？若存在,求直线 l 的方程；若不存在,请说明理由.
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四、是否存在圆
【例
4】已知椭圆 C1
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 过点 A(1,
2 ) ,其焦距为 2 ． 2
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
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二、是否存在点
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为
2 ,点 P0,1 和
2
点 Am,nm 0 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M .
（1）求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标（用 m , n 表）；
（2）设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问： y 轴上
（ii）如图（2）,过椭圆 C2
:
x2 8
y2 2
1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM
和
PN ,切点分别为
M , N ．当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切？若存在,求
出圆的方程；
若不存在,请说明理由．
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解题点评
圆锥曲线中的探索性问题
方法提示
圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它 是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或 某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学 中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从 下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ,则椭圆在
其上一点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程为
x0 x a2
y0 y b2
1 ,试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1）,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x
轴和 y 轴的正
例题解析
半轴交于 C, D 两点,求 OCD 面积的最小值；
否存在 k 值,使以 CD 为直径的圆过定点 E？若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由.
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解题点评
【点评】解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正 确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件； (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的 方法．