第六章 质点组角动量定理与守恒定律
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xl dm m dx
x
ml
M阻 dM阻 0l gxdx 1 gl2
2
1 mgl
2
7
描述转动状态的物理量
合是力P点矩 1相在.对质t0于到点固t时定间对点内O点的的冲位的量矢矩角L 。 。动 量r P r m v
一、力矩 角动量
平在行通转 过轴O点的大的力任不小一产轴：生线转LO动D＝效上果的rm，投该影v力s称i对n为转质轴点的对力轴矩OD为的零角。动量。
两方边向同 ：时右乘手以螺旋dt，定得则a：判) 定必（须沿转指轴的明正是或负对方向谁）的角动量；
单位：kg•m2/s
量纲：ML2T-1
注意： b)作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
c)角动量是描述转动状态的物理量；
d)质点的角动量又称为动量矩。
8Байду номын сангаас
L
p
o
rm
θ P
LP or
y
2.质点对轴的角动量
二、角动量定理 角动量守恒定律
可以把力平分行解为转平行轴于的转轴力的分不量和产垂生直于转转轴动的效分量果。，该力对转轴
z F 的力矩为零。 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
例2：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与∥远日点的速度谁大？
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
Lrp 合第力矩 3 在章方t0到向t时：间内右的冲手量螺矩。旋定则判定
动量守恒定律和
能a)质量点守对恒轴定单的律位角（动1：）量的k方g向•m沿转2/轴s 的正或负方量向纲； ：ML2T-1
单位：N•m（不能写成功的单位J） 量纲：ML2T–2
质点角动量和角动量守恒定律
二、质点角动量： 质点角动量：
r L v
o
r r r r r L = r × P = r × mυ
角动量的大小
P
m r rϕ r
L
L = rP sin ϕ = mυr sin ϕ
角动量的方向 : 右手螺旋
2
当质点作圆周运动时,则有: 当质点作圆周运动时,则有:
L = rmv = mr ω
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时， 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的
a/2 o
由角动量守恒定律， 由角动量守恒定律，得：
V
a/2
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv （ ）
ω =2v0/3a
r r r ×F
M = Fr sinα = Fr⊥
(方向用右手螺旋法规定 方向用右手螺旋法规定) 方向用右手螺旋法规定
v M
r M
r r
r┴
r F
α
o
2. 必须指明对那一固定点 必须指明对那一固定点. r r 3. F ≠ 0, M 可能为零
有心力： 有心力： r r 当力F 的作用线与矢径 r 共线时的力
L0 L0+L
α
v
v0
m
如何求角度α 如何求角度α？ 由于质点在有心力 作用下运动， 作用下运动，故角 动量守恒。 动量守恒。有：
Q mv 0 L0 = mv sin(π − α ) ⋅ ( L0 + L) ∴sinα = v0 L0 / v( L0 + L)
例5-2、 、
l0
o
l
质点角动量和角动量定理质点系角动量定理.ppt
mv0 (m M )v1
①
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)
v
2 2
1 2
k(l
l0 )2
②
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力，故木块
对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M)v1 l(m M)v2 sin
dt
此称质点的角动量定理
r r Z
1
M
F1
1m1
F12M
d M10 F21
Y
2X
2 M 20 m2
M1
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
如图设有质点m1。m2
F2
分别受外力 F1
外力矩 M1.M2
F2
M内2内力力dd矩t F(L1M121F0.LM221)20 4
例3：用角动量守恒定律导出开普勒第二定律
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
矢定径义：质r 点与对其选动L量取的m参rv之考 矢点m量的v 积角。动用量等L 于表其示。
L
o
r
mv
L
m
L
mv
r
注意：1)为表示是对 哪个参考点的角动量， 通常将角动量L画在 参考点上。
L
o
r
mv
m L
r
mv
注意：1)为表示是对 哪个参考点的角动量， 通常将角动量L画在 参考点上。
第一节
问题： 一均匀圆盘绕过质心的轴转动，怎样描述其上某一质点 的运动？
质点角动量定理附角动量守恒定律
第六章角动量内容：§6－1 力矩（4课时）§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时）要求：１.熟练掌握力对点的力矩。
２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。
重点与难点：角动量守恒定律。
作业：P219 1，2，3，4，P220 5，6，，第六章 角动量§6－1 力矩一、力对点的力矩：如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θs i nFr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F 对转轴的力矩，用M 表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θs i n Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝四、单位： m N ⋅注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。
（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
质点的角动量定理和角动量守恒定律
（2）矢量的轴矩 表示, 表示, 称为 el轴.
r er
r eθ
r eϕ
r 定义轴为有方向的直线, 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 el r
r r v r r Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A)
§3-4 质点的角r r r Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) r r 矢量 A 对 el轴的轴矩与轴上 O点选取无关 r 矢量 A 对过同一 O点、方向不同的轴的轴
dLl = Ml dt
Ml ≡ 0
r F =0
r r F 与 el 轴共面
常量
r r r r r Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) =
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7 例题7
r r r &e + mRϕ sin θe & mv = mRθ θ ϕ
& Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ
& sin 2 θ Lz = mR ϕ
2
& = mR ϕ 0 sin θ 0
2 2
sin θ 0 & & ϕ0 ϕ= 2 sin θ
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 例题6
r r r r （1） LO = r × mv = C r r r r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在 垂直, r 垂直的平面内运动. 过 O 点且与 LO垂直的平面内运动.
（ 2）
r LO = r
r eρ
r eθ 0
r r & 0 = mr θk = C
r r r r r × dr dA LO = r × mv = m = 2m dt dt
r er
r eθ
r eϕ
r 定义轴为有方向的直线, 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 el r
r r v r r Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A)
§3-4 质点的角r r r Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) r r 矢量 A 对 el轴的轴矩与轴上 O点选取无关 r 矢量 A 对过同一 O点、方向不同的轴的轴
dLl = Ml dt
Ml ≡ 0
r F =0
r r F 与 el 轴共面
常量
r r r r r Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) =
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7 例题7
r r r &e + mRϕ sin θe & mv = mRθ θ ϕ
& Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ
& sin 2 θ Lz = mR ϕ
2
& = mR ϕ 0 sin θ 0
2 2
sin θ 0 & & ϕ0 ϕ= 2 sin θ
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 例题6
r r r r （1） LO = r × mv = C r r r r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在 垂直, r 垂直的平面内运动. 过 O 点且与 LO垂直的平面内运动.
（ 2）
r LO = r
r eρ
r eθ 0
r r & 0 = mr θk = C
r r r r r × dr dA LO = r × mv = m = 2m dt dt
角动量守恒定律
tt12M dtL L 12d L L 2L 1 t2M dt为 质t内 点O 对 在 点 的 冲 量 矩
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：pmv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
1rrs 2m2
t in2mS
t
t
——开普勒第二定律
小结：
质点角动量 质点角动量定理：
L rpm r v
dL M rF dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒.
重点！
3 由分量式：
M ix0; L x 常量
即：虽然 Mi 0,但对某轴外力矩为零,则总角动
解:对象: 滑轮+绳+A+B,
z轴正向: O点向外 .
受外力:mAg=mBg=mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率 v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:
rm vA rm vB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
物理-角动量定理与角动量守恒定律
dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
质点系的角动量定理
fi
j i
fij
ri
fi
i
ji
r
i
dLi
dt
fij
ddti
L
i
fi
mi fij
ri ri rj
fji
mj
fj
i
ji
ri
合fi内j 力12矩i,j为(i j零) ri
fij
rj
O f ji
即证。
1 2i, j(i j)
r i
rj
f 0
ij
rj
4
内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但 合内力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变—质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它Βιβλιοθήκη 具 有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。
5
盘状星系
6
L
球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向， 引力使气云收缩 角动量守恒 粒子的旋转速度 惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一 定的半径。 但在与L平行的方向无此限制，所 以形成了旋转盘状结构。
7
例题
讨论行星运动
F与
r在一直线上
M rF 0
rF
L 常矢量
S
v
1面、LL方向不r 变m v 轨道面是平 v远
r远
2、 L = 常量= r m v sin r v sin = 常量
量矢径单位时间行扫过的面积是常量
v近
o
r近
S= 常
在近日点与远日点 sin =1
6-4质点系的角动量定理和角动量守恒定律
二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的 角动量定理 1. 质点系对固定点的角动量定理. 质点系对固定点 O 的角动量定理表述为: 在惯 性系中, 质点系对固定点 O 的角动量的时间变化率 等于质点系所受对 O 点的外力矩的矢量和, 与内力 矩无关, 即
n n (e) (e) Lo = M o = ∑ M io = ∑ ri × Fi ( e )
e (2) 若在某过程中, 质点系所受对固定 l 轴的
外力矩 之 和恒为 零 , 即 M l(e ) ≡ 0 , 则在 该 过 程 中质 e 点系对固定 l 轴的角动量守恒,
Ll = ∑ Lil = 常量
i =1 n
三、质点系在质心系中对质心的角动量定理 1. 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
(i ) (i ) 由于 M i = ∑ ri × Fi = 0 ,
则
n (e) (e) Lo = ∑ ri × Fi = M o i =1
2. 质点系对固定轴的角动量定理.
(e) e e 在固定 l 轴上取固定点 O , 用 l 点乘 Lo = M o ,
(e) 式中 Fi 为第 i 个质点所受合外力.
i =1
i =1
证明:
( e) (i ) Lio = ri × Fi + ri × Fi
n n ( e ) n (i ) Lo = ∑ Lio = ∑ ri × Fi + ∑ ri × Fi i =1 i =1 i =1
在质心系中对质心的角动量守恒定律可知 Lc′ = 常矢
量,
可 见 运 动中角速度 ω 保持
不变. 四、有关质心与内力的讨论 1. 利用质心系分解质点系的运动. 根据 质心 运 动定理 易 于 确 定质心的 运 动 ; 在 质心系中 以 质心为参考点 可以使问题得以简 化 ; 因此把 质点系的 运 动 分解 为 以 质心为 代 表的 “ 平 动”和相对质心系的运动给研究问题带来方便. 2.内力的作用. 质点系总动量 p 和总角动量 L0 的时间变化率与 内力无关决非表明内力对质点系的运动没有贡献, 也不表明内力对 p 和 L0 的演化过程没有影响. 质点间有内力相互作用是构成质点系的条件. 质点系内的质点是在外力与内力的 共同作 用 下运 动的 , 对质点系内 各 质点的 运 动 来说 , 内力 与外力有等同的作用. 质点系内一对对的内力 造 成 了各 质点间动量 与角动量的等量 转移 , 内力对质点系的 运 动 至 关 重要. 质点的动量 pi 和角动量 Li 0 分别从线运 动和角
高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L v
四、角动量守恒定律
dL M dt
·
F
m
r // F
r
（中心力）
O
角动量守恒定律是物 本定律之一，
理学的基
宏观、微观，高速、低速范围 均适用。
质点只受有心力作用， 角动量守恒！
五、角动量守恒定律的应用
例
r // F M r F 0 rmv sin const
i
d d Li （ L） （M i 外 M i内 ） i dt i i dt i L Li dL i M外 M内 质点系的角动量 dt
i j i
dLi Mi dt
于是有：
M外
dL dt
— 质点系角动量定理
的右手螺旋方向。 p （ p L垂直于 和 r确定的平面）
A
（d —“距”）
单位: Kg· m2/s, J· s
在圆周运动中
r v
O
L v m r
Lr p
·
L rmv
方向：垂直于圆周平面。
二、同样的方式定义力矩
M
od
M r F
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为 (A) mV (B) 2m V (C) 3m V (D) 2mV B C A
4.(本题5分)5259
t 未能推动木 一人用力 推地上的木箱,经历时间 箱,此推力的冲量等于多少?木箱既然受了力 的冲 F 量,为什么它的动量没有改变?
Fdt ΔP t1 F 0 P 0
四、角动量守恒定律
dL M dt
·
F
m
r // F
r
（中心力）
O
角动量守恒定律是物 本定律之一，
理学的基
宏观、微观，高速、低速范围 均适用。
质点只受有心力作用， 角动量守恒！
五、角动量守恒定律的应用
例
r // F M r F 0 rmv sin const
i
d d Li （ L） （M i 外 M i内 ） i dt i i dt i L Li dL i M外 M内 质点系的角动量 dt
i j i
dLi Mi dt
于是有：
M外
dL dt
— 质点系角动量定理
的右手螺旋方向。 p （ p L垂直于 和 r确定的平面）
A
（d —“距”）
单位: Kg· m2/s, J· s
在圆周运动中
r v
O
L v m r
Lr p
·
L rmv
方向：垂直于圆周平面。
二、同样的方式定义力矩
M
od
M r F
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为 (A) mV (B) 2m V (C) 3m V (D) 2mV B C A
4.(本题5分)5259
t 未能推动木 一人用力 推地上的木箱,经历时间 箱,此推力的冲量等于多少?木箱既然受了力 的冲 F 量,为什么它的动量没有改变?
Fdt ΔP t1 F 0 P 0
质点角动量定理及角动量守恒定律
1．质点的角动量定理
角动量的定义为
L=r×mv
将角动量对时间求导，可得
因此上式可变为
所以
上式右方为质点所受合力对参考点的力矩，τ于是就得到
（3.6）
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个结论叫做质点的角动量定理．
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程：
解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv
L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．
设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
L=mr2ω
（3.3）
如果写作矢量式，则有
L=mr2ω
质点角动量定理及角动量守恒定律
3.1.1质点的角动量
设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为
L=r×mv
（3.1）
上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即
例2质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．
解根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为
L=r×mv=rmvsinφ（k）
即L指向z轴负方向．由图3-3代入上式得
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．
角动量的定义为
L=r×mv
将角动量对时间求导，可得
因此上式可变为
所以
上式右方为质点所受合力对参考点的力矩，τ于是就得到
（3.6）
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个结论叫做质点的角动量定理．
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程：
解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv
L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．
设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
L=mr2ω
（3.3）
如果写作矢量式，则有
L=mr2ω
质点角动量定理及角动量守恒定律
3.1.1质点的角动量
设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为
L=r×mv
（3.1）
上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即
例2质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．
解根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为
L=r×mv=rmvsinφ（k）
即L指向z轴负方向．由图3-3代入上式得
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．
质点的角动量角动量守恒定律
物理学
第五版
角动量概念的提出与自然界普遍存在的物体的转动 有关，大到星系，小到电子、中微子都具有转动的特征。 角动量概念在18世纪才在物理学中被定义和使用，19世 纪人们才把它看成是力学中最基本的概念之一，到20世 纪，它成为和动量、能量同样重要的物理量。角动量守 恒与空间旋转对称性相对应。因此它是自然界最基本最
普遍的规律之一。
角动量
角动量 变化率
角动量 角动量守
力矩
定理
恒定律
物理学
第五版
一、质点的角动量 质量为 的质点以
速度 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 ，质 点对O的角动量
大小 的方向符合右手法则 角动量单位：kg·m2·s-1
物理学
第五版
质点以 作半径为 的圆运动，相对圆心
质点在一条直线上运动, 质点对 o点的角动量?
o•
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向
用右手螺旋法则确定。
2 、 力矩的单位、 牛·米(N·m)
3 、力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
物理学
第五版
力对固定点的力矩为零的情况：
A）
B）力的方向沿矢径的方向（
）
有心力的力矩为零.
※在直角坐标系中，其表示式为
物理学
第五版
三、质点的角动量定理 质点角动量定理的推导
物理学
第五版
作用于质点的合力对参考点 O
的力矩，等于质点对该点 O 的角动量
随时间的变化率.
冲量矩
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
与质点的动量定理比较:
物理学
第五版
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
第五版
角动量概念的提出与自然界普遍存在的物体的转动 有关，大到星系，小到电子、中微子都具有转动的特征。 角动量概念在18世纪才在物理学中被定义和使用，19世 纪人们才把它看成是力学中最基本的概念之一，到20世 纪，它成为和动量、能量同样重要的物理量。角动量守 恒与空间旋转对称性相对应。因此它是自然界最基本最
普遍的规律之一。
角动量
角动量 变化率
角动量 角动量守
力矩
定理
恒定律
物理学
第五版
一、质点的角动量 质量为 的质点以
速度 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 ，质 点对O的角动量
大小 的方向符合右手法则 角动量单位：kg·m2·s-1
物理学
第五版
质点以 作半径为 的圆运动，相对圆心
质点在一条直线上运动, 质点对 o点的角动量?
o•
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向
用右手螺旋法则确定。
2 、 力矩的单位、 牛·米(N·m)
3 、力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
物理学
第五版
力对固定点的力矩为零的情况：
A）
B）力的方向沿矢径的方向（
）
有心力的力矩为零.
※在直角坐标系中，其表示式为
物理学
第五版
三、质点的角动量定理 质点角动量定理的推导
物理学
第五版
作用于质点的合力对参考点 O
的力矩，等于质点对该点 O 的角动量
随时间的变化率.
冲量矩
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
与质点的动量定理比较:
物理学
第五版
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
质点的角动量定理和角动量守恒定律
3-4
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力
质点的角动量定理及角动量守恒定律
第六章角动量内容：§6－1 力矩（4课时）§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时）要求：１.熟练掌握力对点的力矩。
２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。
重点与难点：角动量守恒定律。
作业：P219 1，2，3，4，P220 5，6，，第六章 角动量§6－1 力矩一、力对点的力矩：如图所示，定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为： θs i nFr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M；2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩，用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θs i nFr M ＝ 其中θ是F 与r的夹角。
3）若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F，只有分力2F才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、单位： m N ⋅注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。
（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； （2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
大学物理课件复习资料质点的角动量
二、力矩
定义：M r F
为作用在质点上的 力F 对参考点O的力矩
M
O
r
p
F
θ
大小： M r F r sin θF r F
力臂:
r
r
是作用点P相对于固定点O的位矢。
r r sinθ
力与力臂的乘积。
方向：右手螺旋定则判定
M r F
当质点作一般平面运动时，角动量为：
i Lr p x px
j y py
k 0 0
( xpy ypx )k
对轴的角动量 质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr2ω，ω是质 点绕z轴的角速度，mr2 称为质点绕z轴转动时的 转动惯量．可见，质点绕轴转动时，它（对于 该轴线）的角动量等于质点的转动惯量与角速 度的乘积．
M RT sin 90 θ RT cos θ Rmg 顺时针
0
对O点的合力矩为零，角动 量守恒。
2
以C为 参 考 点
重力矩：
M l mg
M lmg sinθ
张力矩
M l T 0
夹角: π
对C点的合外力矩不为零， 角动量不守恒。
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。 解： 角动量守恒
r1 v1 v2
且 近地点 v1 r1
则
mv2r2 mv1r1 r1 6370 181 v2 v1 8.0 7.83km/s r2 6370 327
r
证明： 设在 t 时刻，行星位于A 点，
A
A υ θ
大学物理-6 角动量
dL m g R cos dt
其 L mvR mR2 中
m g R cos d d L
R
LdL m gR cos d
2 3
O
θ
A
L
0
LdL m gR
2
3 2
3
0
cos d
2g sin R
N
v
mg
B
L mR
பைடு நூலகம்
2 g sin
质点匀速直线运动 时角动量守恒，位矢
mv
r
mv
的掠面速度为常数。
o.
4. 质点对轴的角动量定理和角动量守恒
Mx
dL M dt
dL x dt
M x 0 , Lx C
My
Mz
dLy dt
dL z dt
M y 0 , Ly C
M z 0 , Lz C
2m S 常数 t
r
m
r sin
v
有心力力矩为零角动量守恒
1 S r r sin 2
例：半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m 的小球,从静止开 始下滑,若不计摩擦力,求小球到达B点时的角动量和角速度。 解：选O为参照，小球只受重力矩作用。由角动量定理：
力对轴的力矩，等于力对该轴上任 一点的力矩在该轴方向的投影。
d
Mo
r
O
6.2 质点的角动量定理和角动量守恒 1. 质点的角动量 2. 质点角动量定理
L r mv
P mv
冲量矩
3. 质点的角动量守恒
dp L dr F d dL d d M (r mv ) m v r (m v ) dt dt dt dt dt dt t2 t2 t1 M dt L2 L1 t1 Fdt P2 P1 M 0, L C F 0, P C
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
M r F M r F i j k
x Fx
y Fy
z Fz
L r p r mv Lrp i j k x y z p x p y pz
15
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
dp dL F, ? Lrp dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt 表述： 作用在质点上的合力对某参 dL M 考点 的力矩 ，等于质点对同一参考 dt 点的角动量随时间的变化率。
(质点角动量定理的微分形式)
16
三、质点的角动量定理
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
在实际过程中，要研究的是力矩对时间的积累效应。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩：
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：质点所受合力矩的冲量矩 等于质点角动量的增量。 注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。 说明:
解： 摆球受力如图。
1）以O为参考点。
c l
T 重力矩： M R mg 逆时针方向。 m R o M Rmg υ 张力矩：M R T 顺时针方向。 mg
M RT sin( 900 ) RT cos θ Rmg
对Ｏ点的合力矩为零，角动量守恒。
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
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令， Lx ymv z zmv y ， Ly zmv x xmv z ， Lz xmv y ymv x
上式为质点角动量的分量，也称对轴的角动量。对轴角动量的特点：与 轴上的参考点选取无关，因此，计算对轴的角动量时，由作用点指向轴的垂 直距离作为 r，以垂足为参考点求解最为方便。
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同力矩的情况相同，角动量的方向一定垂直于位置矢量与质点的动量所
构成的平面，大小为 L mvr sin 。角动量在直角坐标系中的分解式为：
v L=
rv?
mvv
vv v
v
(xi + yj + zk )? (mvxi
v
v
mvy j + mvzk )
v
v
v
= ( ymvz - zmvy )i + (zmvx - xmvz ) j + (xmvy - ymvx )k
v dL
dt
v t t
vv
t Mdt L L0
上式称为质点角动量定理，其在坐标下的分量表示为：
Mx
dLx dt
，My
dLy dt
，Mz
dLz dt
tt t
M xdt
Lx
L ，tt x0 t
M
y dt
Ly
Ly0 ,
t t
t M zdt Lz Lz0
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《力学》电子教案
从上述推导过程可以看出质点角动量定理成立的条件:
1. 在惯性系下成立，对于非惯性系，要加入惯性力的力矩。
2. 就力矩和角动量的定义而言，力和角动量对任何参考点都有相 应的力矩和角动量，但要应用角动量定理时，力矩和角动量必须对 同一固定参考点而言。
3.
v M
=
rv?
v F 是作用在质点上的合外力的力矩。
小为
rmv
。虽然，L 与
L 是不同的，但它们在转轴上
的分量是相同的。
Lvⅱcos a
=
v L
cos骣ççç桫p2 -
q÷÷÷=
Lv?sin q =
r¢mv sin q =
rmv
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《力学》电子教案
例 6.1.3-2 如例 6.1.3-2 图所示，初始位于 x 轴 a 点处的一质点由静止 释放，沿 y 轴方向做自由落体运动，求任意时刻 t ，作用于质点上的力对 原点 o 的力矩、质点的角动量、力矩与角动量变化率的关系。
dt
dt
dt
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《力学》电子教案
如果在质点运动过程中参考点始终不变（称为固定参考点），
则，
dr dt
mv
v
rv ´
mv
v F=
0
d(
rv´
mvv )
dt
令
：
v M
=
rv?
v F，
v L=
rv? mvv
rv ?
v P
，分别称为力对给定参考点
的力矩和质点对同一参考点的角动量。
v M=
解： t 时刻作用在质点上的重力对 o 的力矩为：
M
r
mgj
(xi
yj )
mgj
mgxk
mgbk
大小为 mgb ，方向垂直于纸面向里。
t 时刻质点对 o 的角动量为：
L
r
mv
(xi
yj )
mvy
j
xmvyk
xmgtk
mgbtk
方向垂直于纸面向里。
角动量的变化率
M x yFz zFy ， M y zFx xFz ， M z xFy yFx
上式为力矩的分量，也称对轴的力矩。对轴力矩的特点：与轴上的参考点 选取无关，因此，计算对轴力矩时，以力的作用点到轴的垂线的垂足为参考点 最为方便。
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《力学》电子教案
质点的角动量
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《力学》电子教案
力的力矩
建立如图 6.1.2-2 所示的坐标系，以坐标原点 O 为参考点，力矩在直角坐 标系中的分解式为：
v M
=
rv?
v F
vv v v (xi + yj + zk )? (Fxi
vv Fy j + Fzk )
v
v
v
= ( yFz - zFy )i + (zFx - xFz ) j + (xFy - yFx )k
dL dt
mgbk
M。
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《力学》电子教案
质点角动量守恒 力矩如 为零 果，M则 0，，即由，Mv在=质ddLtv点=运0r 动得过程中，合外力对某固定点的
L L0 C
上式称为角动量守恒，意味着质点对该固定点的角动量为 常矢量，称为质点角动量守恒定律。如果质点在某个方向上所 受的力矩为零，则在该方向上质点角动量守恒。
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《力学》电子教案
一、质点角动量定理
质点角动量定理
质点角动量定理 力的力矩
质点角动量 质点角动量守恒
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《力学》电子教案
质点角动量定理
古希腊的阿基米德在对杠杆问题的研究中就发现，相同的力引起物体的转动
效果与力的作用点到支点的距离成线性关系，并且转动效果与力的作用方向有关。
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《力学》电子教案
例 6.1.3-1 如例 6.1.3-1 图所示，一质点做圆周运动，分别求质点对于
轴上 o 点和 o ' 以及对轴的角动量。
解：对
o
点：
L
r
P
r
mv，大小为
rmv
，方向与轴向相同。
对
o
点：
L
r
P
r
mv，大小为
rmv
，方
向垂直于 r 与 v构成的平面。其转轴方向的角动量大
这样一种关系可用现代数学中的两个矢量叉乘来定量描述。依据牛顿第二定律有：
F
ma
d (mv)
建立如图
6.1.1-1
dt
所示的坐标系。用参考点到力作用点的位置矢量
rv
叉乘上式方程r两侧F得：r d (mv)
Q
d
(rv
mvv)
rv
dt
m
dvv
drv
mvv
dt
dt dt
rv m dvv d(rv mvv) drv mvv
《力学》电子教案
第六章 质点组角动量定理与守恒定律
本章历史性简介和内容提要 一、质点角动量定理 二、质点组角动量定理与守恒定律 三、有心力场问题 四、守恒律与对称性
本章知识单元与知史性简介和内容提要
本章目标：力引起的转动效果规律 力矩：起源于古希腊阿基米德对杠杆的研究，在静力学中体现的是力引起物 体转体效果的一个物理量 角动量、力矩与角动量的关系以及角动量守恒： 以牛顿第二定理为基础讨论力矩引起物体加速转动效果时引入和导出 角动量及其守恒的物理思想广泛应用于物理学的各个领域中。 本章以牛顿第二定律为基础，总结力与物体转动效果的规律，并给出力矩、 角动量等概念的现代定义。 主要包括：质点的角动量定理，质点组角动量定理与守恒定律，有心力场问 题，守恒律与对称性的关系等内容。