第六章 质点组角动量定理与守恒定律

dt
dt
dt
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《力学》电子教案
如果在质点运动过程中参考点始终不变（称为固定参考点），
则，
dr dt
mv
v
rv ´
mv
v F=
0
d(
rv´
mvv )
dt
令
：
v M
=
rv?
v F，
v L=
rv? mvv
rv ?
v P
，分别称为力对给定参考点
的力矩和质点对同一参考点的角动量。
v M=
小为
rmv
。虽然，L 与
L 是不同的，但它们在转轴上
的分量是相同的。
Lvⅱcos a
=
v L
cos骣ççç桫p2 -
q÷÷÷=
Lv?sin q =
r¢mv sin q =
rmv
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例 6.1.3-2 如例 6.1.3-2 图所示，初始位于 x 轴 a 点处的一质点由静止 释放，沿 y 轴方向做自由落体运动，求任意时刻 t ，作用于质点上的力对 原点 o 的力矩、质点的角动量、力矩与角动量变化率的关系。
解： t 时刻作用在质点上的重力对 o 的力矩为：
M
源自文库
r
mgj
(xi
yj )
mgj
mgxk
mgbk
大小为 mgb ，方向垂直于纸面向里。
t 时刻质点对 o 的角动量为：
L
r
mv
(xi
yj )
mvy
j
xmvyk
xmgtk
mgbtk
方向垂直于纸面向里。
角动量的变化率
令， Lx ymv z zmv y ， Ly zmv x xmv z ， Lz xmv y ymv x
上式为质点角动量的分量，也称对轴的角动量。对轴角动量的特点：与 轴上的参考点选取无关，因此，计算对轴的角动量时，由作用点指向轴的垂 直距离作为 r，以垂足为参考点求解最为方便。
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从上述推导过程可以看出质点角动量定理成立的条件:
1. 在惯性系下成立，对于非惯性系，要加入惯性力的力矩。
2. 就力矩和角动量的定义而言，力和角动量对任何参考点都有相 应的力矩和角动量，但要应用角动量定理时，力矩和角动量必须对 同一固定参考点而言。
3.
v M
=
rv?
v F 是作用在质点上的合外力的力矩。
dL dt
mgbk
M。
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质点角动量守恒 力矩如 为零 果，M则 0，，即由，Mv在=质ddLtv点=运0r 动得过程中，合外力对某固定点的
L L0 C
上式称为角动量守恒，意味着质点对该固定点的角动量为 常矢量，称为质点角动量守恒定律。如果质点在某个方向上所 受的力矩为零，则在该方向上质点角动量守恒。
M x yFz zFy ， M y zFx xFz ， M z xFy yFx
上式为力矩的分量，也称对轴的力矩。对轴力矩的特点：与轴上的参考点 选取无关，因此，计算对轴力矩时，以力的作用点到轴的垂线的垂足为参考点 最为方便。
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质点的角动量
v dL
dt
v t t
vv
t Mdt L L0
上式称为质点角动量定理，其在坐标下的分量表示为：
Mx
dLx dt
，My
dLy dt
，Mz
dLz dt
tt t
M xdt
Lx
L ，tt x0 t
M
y dt
Ly
Ly0 ,
t t
t M zdt Lz Lz0
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同力矩的情况相同，角动量的方向一定垂直于位置矢量与质点的动量所
构成的平面，大小为 L mvr sin 。角动量在直角坐标系中的分解式为：
v L=
rv?
mvv
vv v
v
(xi + yj + zk )? (mvxi
v
v
mvy j + mvzk )
v
v
v
= ( ymvz - zmvy )i + (zmvx - xmvz ) j + (xmvy - ymvx )k
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力的力矩
建立如图 6.1.2-2 所示的坐标系，以坐标原点 O 为参考点，力矩在直角坐 标系中的分解式为：
v M
=
rv?
v F
vv v v (xi + yj + zk )? (Fxi
vv Fy j + Fzk )
v
v
v
= ( yFz - zFy )i + (zFx - xFz ) j + (xFy - yFx )k
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例 6.1.3-1 如例 6.1.3-1 图所示，一质点做圆周运动，分别求质点对于
轴上 o 点和 o ' 以及对轴的角动量。
解：对
o
点：
L
r
P
r
mv，大小为
rmv
，方向与轴向相同。
对
o
点：
L
r
P
r
mv，大小为
rmv
，方
向垂直于 r 与 v构成的平面。其转轴方向的角动量大
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第六章 质点组角动量定理与守恒定律
本章历史性简介和内容提要 一、质点角动量定理 二、质点组角动量定理与守恒定律 三、有心力场问题 四、守恒律与对称性
本章知识单元与知识点小结
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本章历史性简介和内容提要
本章目标：力引起的转动效果规律 力矩：起源于古希腊阿基米德对杠杆的研究，在静力学中体现的是力引起物 体转体效果的一个物理量 角动量、力矩与角动量的关系以及角动量守恒： 以牛顿第二定理为基础讨论力矩引起物体加速转动效果时引入和导出 角动量及其守恒的物理思想广泛应用于物理学的各个领域中。 本章以牛顿第二定律为基础，总结力与物体转动效果的规律，并给出力矩、 角动量等概念的现代定义。 主要包括：质点的角动量定理，质点组角动量定理与守恒定律，有心力场问 题，守恒律与对称性的关系等内容。
这样一种关系可用现代数学中的两个矢量叉乘来定量描述。依据牛顿第二定律有：
F
ma
d (mv)
建立如图
6.1.1-1
dt
所示的坐标系。用参考点到力作用点的位置矢量
rv
叉乘上式方程r两侧F得：r d (mv)
Q
d
(rv
mvv)
rv
dt
m
dvv
drv
mvv
dt
dt dt
rv m dvv d(rv mvv) drv mvv
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一、质点角动量定理
质点角动量定理
质点角动量定理 力的力矩
质点角动量 质点角动量守恒
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质点角动量定理
古希腊的阿基米德在对杠杆问题的研究中就发现，相同的力引起物体的转动
效果与力的作用点到支点的距离成线性关系，并且转动效果与力的作用方向有关。