中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题
作业(微分中值定理与洛必达法则)(答案)
一、填空题1．罗尔定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）在区间端点处函数值相等，即)()(b f a f =；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba<<ξ），使得0)(='ξf ．2．若4)(x x f =在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件，则定理中的=ξ0．【分析：由罗尔定理，有：0)(='ξf ，故043=ξ，得：=ξ0】3．拉格朗日中值定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba <<ξ），使得ab a f b f f --=')()()(ξ．4．函数34)(x x f =在区间]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的=ξ31．【分析：由拉格朗日中值定理，有：ab a f b f f --=')()()(ξ，40104122=--=ξ，解得：=ξ31】5．当函数)(x f 在区间I 上的导数=')(x f 0时，)(x f 在区间I 上的常数．二、选择题若在区间I 上)()(x g x f '='，则一定有（ B ）．A ．)()(x g x f =B ．C x g x f +=)()(（C 为任意常数） C ．5)()(+=x g x fD ．0)()(C x g x f +=（0C 为常数）三、利用洛必达法则，求下列极限 解:1．是0""0不定式,，应用洛必达法则 ax ax ax --→sin sin limcos limcos 1x ax a →==．2．是0""0不定式， xeexxx sin lim-→-0lim2cos xxx e ex-→+==．3．是0""0不定式， xxx x --+→11limlim11x →==．4．是0""0不定式，)1ln(1sin limx x exx +-+→0cos lim211xx e xx→+==+．5．是0""0不定式，123lim2331+--+-→x x x x x x 22133lim321x x x x →-=--163lim 622x x x →==-．6．是"0"⋅∞xx xx ex ex 3232limlim +∞→-+∞→=32lim3xx x e→+∞=32lim09xx e→+∞==．7．是"0"⋅∞ x x x ln lim 0+→0ln lim1x x x+→=0021lim lim ()01x x x x x++→→==-=-．8．2120lim xx ex →2120lim1x x e x→⋅∞2211221()limlim 1()x x x x e xe x→→'∞==+∞∞'．9．)ln 11(lim 1xx x x --→xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-∞-∞→xx x x x 1ln 11ln lim01-+-+→1ln ln lim1-+=→x x x x x x 2111ln 1ln lim1=+++→x x x ．10．)111(lim 0--→xx ex)1(1lim---∞-∞→xxx ex x exxxx xe ee +--→11lim21lim00=++→xxxxx xeeee ．。
中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用
所以，由推论 1，
推论 2:若对于
，则
.
四．洛必达法则
我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 型，要么是
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则— —洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 或 的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
定义：设函数
在区间 内有定义，如果对
，都有：
则称函数
在区间 内为下凸的.
函数凹、凸性的判定
定理：设函数
在区间 内存在二阶导数且
（或
则函数
在区间 内为下凸（或上凸）的.
例 13．确定
的上（下）凸性.
例 14．确定
的上（下）凸性.
拐点的定义：称曲线
上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.
拐点的必要条件：如果在 附近 具有连续的二阶导数且
的极值.
解一：（一）
.
（二）
.
（三）令 （四）列表判断：
。无不可导点.
（
解二：（一） （二）
1 0 极大 2 .
3
—
0
极小-2
.
（三）令
.无不可导点.
（四）
.因为，
，所以
为极大值；
又因为 七．最值
第一种情况：设
，所以 在闭区间
为极小值. 上连续，则 在
上必可取到最大
值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1） 或 即为最值；
例 15．求曲线
上（下）凸区间及拐点.
解：（一）
；
（二）
，
；
（三）令 （四）列表判断： （
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
中值定理洛必达法则函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题
xa
xa
邻域中（点 a 可除外）， f ( x)及F ( x)都存在，
且F ( x) 0,则lim f ( x) 存在是lim f ' ( x)
xa F( x)
xa F ' ( x)
存在的（ ）.
（A）充分条件； （B）必要条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 .
二、若 x 0,试证 x ln(1 x) x . 1 x
（A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b)，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b)，不一定能使 f ( ) 0 .
2、已知 f ( x)在[a, b]可导，且方程 f(x)=0 在(a, b)有
两个不同的根 与 ，那么在(a, b)（ ） f ( x) 0.
（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.
3、如果 f ( x)在[a, b]连续，在(a, b)可导， c 为介于 a, b之间的任一点，那么在(a, b)（ ）找到两点 x2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立.
最小值； （D）极大值必大于极小值 .
7、若在(a, b)内，函数 f ( x)的一阶导数 f ( x) 0， 二阶导数 f ( x) 0,则函数 f ( x)在此区间内( ).
（A）单调减少，曲线是凹的；（B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的；（D）单调增加，曲线是凸的.
8、设lim f ( x) lim F( x) 0，且在点 a 的某
用洛必达法则求下列极限：
1、
合工大高等数学A(上)习题册.
(0,0a b >>
2
0(6lim(2x x x
x a b →+(0,0a b >>.
2.若,(00f =(f x ′在点0x =的某邻域内连续,且(00f ′≠,试求(0lim f x x x +→.
习题Taylor中值定理
43−1.写出2(ln f x x =x在处的四阶泰勒展开式.
21.1x dx x +∫.
22
2.25x dx x x −−+∫.
1
3.1sin dx x +∫.
41
4.cos dx x ∫.
习题广义积分
57−计算下列广义积分:21ln 1.x
dx x +∞∫.
02.x
xe dx +∞−∫.
213.(1dx
x x +∞+∫.
1
4..
习题定积分的应用
61−1.假设曲线21y x =−(01x ≤≤,x轴,y轴所围区域被曲线2
习题洛必达(L′Hospital法则
42−1.求下列极限:30sin (1lim x x x
x →−;
2ln (2lim ln x x x
x x →+∞
+;
2011
(3lim(tan x x x x →−;
0ln(tan
(4lim ln(tan x ax bx +→ ;
(0,0a b >>
11
(5lim (x x
n
n n n ++→∞−+−+1;
221
11(2lim(1(1(123n n →∞−−⋅⋅⋅−2;
2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析
洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。
高等数学习题课(07)中值定理及洛必达
1, et ,
t 0, 0t .
f (t)
t C1, et C2,
t 0, 0t .
由 f (0)0C1 0 ，
再由 f (t ) 在 t 0 处的连续性及 f (0)0 ，得
0 f (0) f (00)1C2C2 1 。
t , t0,
f
(t
)
et
1,
0 t .
从而
x,
f
ln
0
e x x1
lim
x0
1 x 1 2 1 x
e x 1
lim x0 4
1 1
x
lim
x0
ln(1 x) e x 1
1 4
lim
x0
x x
1 4
。
∴应选（B）。
10．方程
x
x
0
1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（A
）
（A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根；
（C）有无穷个根； （D）无实根。
1
x1
ln(1
t
)dt
，
g(
x)e
x
x1，
0
则当 x0 时， f ( x) 是 g( x) 的（ ）
（A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小；
（C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。
10．方程 x x 1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（ ） 0 （A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根； （C）有无穷个根； （D）无实根。
令 f ( x)0 ，得 x0 ， x1 ，
∵ f (0)a0 ，∴ f (0)2 为极小值；
∵ f (1)a0 ，∴ f (1)6 为极大值。
单调性凹凸性与极值最值相关练习
y
1 ln x2
x
y
1 ln x2
x
y
2 ln x 3 x3
3
令 y 0 即得 x e 2
y ln x
的凸区间为
(0,
3
e 2 ],
凹区间为
3
[e 2 ,
)
x
找拐点与确定函数凹凸区间相关练习
8 y 2 x3 x2 4 x 3 主要思路 f ( x) 在定义域 (, ) 可导且连续
3
2017/10/25
y e2 x ( x 1) 当 (, 1) 时, y 0, 曲线 y f ( x) 是凸的； 当 (1, ) 时, y 0, 曲线 y f ( x) 是凹的. 当 x 1 左右两边 y 都变号, 故都是拐点 即 f ( x) 的凹区间是 [1, ),
令 y 0 在 [1, 4] 内得驻点 x 3 极小值 ymin 27, 极大值 ymax 32
函数极值最值相关练习与答案 11 求 y x2 ln ( x2 ) 的极值和单调区间
y 2 x 2 2 ( x 1)( x 1) xx
令 y 0 x1 1, x2 1 且在 x3 0 不可导 单调递减区间 (, 1], (0, 1]
2 x3 f ( x) x sin x f (0) 0, x 0 6 x3 x sin x, x 0 6
借助函数单调性证明不等式相关练习
2 当 x 0 时, 1 1 x 1 x 2
构造辅助函数 f ( x) (1 1 x)2 (1 x) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性-习题
1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。
【解法一】由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。
【解法二】因为'()1cos 0f x x =->在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。
2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1' x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+g g Z ]Z可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。
【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-；【解】函数y x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++--+−−−−−−−−−→+-+g gy Z ]Z可知，函数y x =分别在(,0)-∞和(1,)+∞内单调增加，在(0,1)内单调减少。
【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1' x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+g g Z ]Z可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。
高等数学(同济版)第三章-习题课
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由罗f分(c尔析) 定: 所想理f f(给到3知(c)条找),必1件一,存f且可点(0在)写fc(f,为x3(使1))在(cff[(,f(c032(,)))c3)]f上3(11()0连f,(3f0续())2,),使f在3(11)(f,c(,ff3((2))3)内)0可1. 导,
一、主要内容
Cauchy 中值定理
F(x) x
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange 中值定理
f (a) f (b)
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
常用的 泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
( x)
1 ln(1
x)
1
1 x
2
0
(x 0)
故 x 0时, (x)单调增加 , 从而 (x) (0) 0
即
ln(1 x) arctan x (x 0)
1 x
思考: 证明 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 1 x arcsin x
函数更好 ?
提示: (x) (1 x) ln(1 x) 1 x2 arcsin x
y
2 x( x2 (x2
3) 1)2
(
x
1 1)3
(x
1 1)3
第3章中值定理与洛必达法则习题集及答案
第三章 习题一 中值定理与洛必达法则一．选择题1．下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） （A ）123)(2+=x x f ，]1,1[-； （B ）x xe x f -=)(，]1,0[；（C ）⎩⎨⎧≥<+=1112)(x x x x f ，，，]1,1[-； （D ）||)(x x f =，]1,1[-．2．x y sin ln =在闭区间]65,6[ππ上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结果成立的=ξ（ A ） （A ）2π； （B ）32π； （C ）65π； （D ）6π．3．函数)1ln()(x x f +=在]1,0[-e 上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ C ） （A ）e ； （B ）1-e ； （C ）2-e ； （D ）1．4．若函数)(x f 在区间),(b a 内可导，1x 和2x 是区间),(b a 内的任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ C ）（A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，其中b a <<ξ； （B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ，其中b x <<ξ1； （C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中21x x <<ξ； （D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ，其中2x a <<ξ． 5．能用洛必达法则求下列极限的是（ B ） （A ）4314lim21-+-→x x x x ； （B ）x x xx x ln ln lim ++∞→； （C ）xx x x sin 1sinlim 20→； （D ）x x x x x e e e e --+∞→+-lim ．二．填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 恰有 2 个实根．2．=++∞→)3ln()31ln(lim 42x x x 0.5 ． 3．=+→xxx cot ln lim 0 0 ． 4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11ln 1lim 1x x x 21． 5．=-→212)2(tan lim ππx x x e ． 6．=++→1ln 100)(sin limx x x e ． 7．=+→x x x sin 00)(cot lim 1 ．三．计算题1．求)sin 4cos 4csc (lim 30xx x x x x -→． 解：原式x x x x sin 4cos 1lim 30-=→2304cos 1lim x x x -=→xxx x 8sin cos 3lim 20→= x x 20cos lim 83→=x x x sin lim 0→⋅83=． 2．求20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→． 解：原式201sin lim x x e x x --=→x x e x x 2cos lim 0-=→2sin lim 0x e x x +=→21=． 3．求3arctan sin limx x xx →-解：原式330330033003300arctan sin limarctan sin lim lim tan sin lim lim tan tan sin lim lim 113616x x x y x y x x x x xx x x x x x x x y y x x y x y y x x y x →→→→→→→--=+--=+--=+--=+=-+=-4．求222cos 40lim x xx e e x -→- 解：原式222cos 22cos 41limxxxx e e x -+-→-=222cos 22cos 4240301lim lim22cos 1lim22sin lim 42146112xxxx x x x e ex x xx x x x -+-→→→→-=⋅-+=⋅-==⋅=5．若0)(6sin lim30=+→xx xf x x ，求20)(6lim x x f x +→． 解：2)(6xx f +Θ3)(6x x xf x +=3)(6sin xx xf x +=36sin 6xxx -+ 而0)(6sin lim 30=+→xx xf x x ， 306sin 6lim x x x x -→2036cos 66lim x x x -=→206cos 1lim 2x x x -=→220)6(21lim 2xx x →=36= 20)(6limx x f x +∴→++=→30)(6sin lim x x xf x x 306sin 6lim x x x x -→36=．6．设)(a f ''存在，求)]()()([1lim 0a f xa f x a f x x '--+→．解：原式)(212)()(lim )()()(lim 020a f x a f x a f xa f x a f x a f x x ''='-+'='--+=→→． 四．证明题1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==。
3微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
函数的单调性与极值练习及检测题及答案
函数的单调性与极值练习及检测题练习一（导数与函数的单调性）一、选择题1．函数3y x x =-的单调增区间是（ ）。
Ａ．（－∞，－3） Ｂ．（－3，3） Ｃ．（3，＋∞） Ｄ．（0，＋∞）。
2．若三次函数3y a x x =-在区间（－∞，＋∞）内是减函数，则（ ）。
Ａ．0a < Ｂ．1a = Ｃ．2a = Ｄ．13a = 3．函数ln y x x =在区间（0，1）上是（ ）。
Ａ．单调增函数 Ｂ．在（0，1e ）上是减函数，在（1e ，1）上是增函数 Ｃ．单调减函数 Ｄ．在（0，1e ）上是增函数，在（1e，1）上是减函数二、填空题4．若函数32()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[－1，2]，则b =＿＿，c =＿＿。
5．若函数3() f x a x x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是＿＿＿。
6．设2()f x x x=+（0x <），则()f x 的单调增区间为＿＿＿。
三、解答题7．求函数22ln y x x =-的单调区间。
练习二（函数的极值）一、选择题 1．函数1()()2x xf x e e -=+的极小值点是 （ ）。
Ａ．1 Ｂ．－1 Ｃ．0 Ｄ．不存在 2．函数sin()2y x ππ=++在区间[－π，π]上的极大值点为（ ）。
Ａ．2πＢ．0 Ｃ．－π Ｄ．π 3．函数313y x x =+-有 （ ）。
Ａ．极小值－2，极大值2 Ｂ．极小值－2，极大值3 Ｃ．极小值－1，极大值1 Ｄ．极小值－1，极大值3 二、填空题4．函数321y x x x =+-+在区间[－2，1]上的最小值为＿＿＿。
5．若函数3() f x x a x =+在Ｒ上有两个极值点，则实数a 的取值范围是＿＿＿。
6．函数()sin cos f x x x =+在[－2π，2π]上的最大值为＿＿＿，最小值为＿＿＿。
三、解答题7．已知函数32() 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值，讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。
函数单调性极值最值与凹凸性拐点
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; 导数不存在的点
(3)这些点将定义域分成若 干区间并判断 f ' ( x)符号
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x ) x 3 x 9 x 5 的极值.
3 2
解
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
2.9函数的单调性与曲线的凹凸性 答案详解
2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性一、证明函数)1ln(2x x y +-=在(,)-∞+∞上是单调增加的．证明：22222212(1)10111x x x x y x x x+--'=-==≥+++，故函数在(,)-∞+∞上单调增加．二、求下列函数的单调区间：1. xx y +=12解：定义域：(,1)(1,)-∞--+∞222222(1)2(2)(1)(1)(1)x x x x x x x y x x x +-++'===+++ 令00,2y x x '=⇒==-；令1y x '=∞⇒=-，有所以单调增区间为：(,2)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为：(2,1)--，(1,0)-2.y =解：定义域：[1,1]-2y '==令0y x '=⇒=，有所以单调增区间为：(；单调减区间为：(1,-，三、证明下列不等式：1.当0x >时，2ln(1)2x x x -<+． 证明：令2()ln(1)2x f x x x =--+ 21()10(0)11x f x x x x x-'=--=<>++所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，有()(0)f x f <即2ln(1)2x x x -<+ 2. 当0>x 时， 1e 1xx--<．证明：原不等式等价于1(0)xex x --<>令()1xf x ex -=--，()10(0)x f x e x -'=-<>所以()f x 在[0,)+∞上单调递减故1()(0)1(0)xe f x f x x--<⇒<>3. 当10<<<b a 时，abab a b 2arctan arctan -<-. 证明：原式等价于11arctan arctan 22b a b a+<+令1()arctan 2f x x x =+，22222111()0(01)122(1)x f x x x x x x -'=-=<<<++所以()f x 在(0,1)上单调递减 故当01a b <<<时，()()f a f b > 即11arctan arctan 22arctan arctan 2b a b a b ab a ab+<+⇒--<四、求下列曲线的拐点与凹凸区间： 1.432y x x =-解：32246,121212(1)y x x y x x x x '''=-=-=-令0y ''=⇒120,1x x ==故拐点：(0,0),(1,1)-凹区间：(,0),(1,)-∞+∞；凸区间：(0,1)2.e xy x =解：e e xxy x '=+，e e e e (2)xxxxy x x ''=++=+2,()0x f x ''<-<；2,()0x f x ''>->故该曲线的拐点是2(2,2e )---，凸区间是(),2-∞-，凹区间是()2,-+∞.五、常数a , b 为何值时，点（1, 3）是曲线23bx ax y +=的拐点？ 解：232y ax bx '=+，62y ax b ''=+要使(1,3)为拐点，有113062023392x x a y a b y a b b ==⎧=-⎪''⎧=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=+=⎪⎩⎩⎪=⎪⎩ 六、设某地的气温是随时间连续变化的，温度随时间变化的函数为()T f t =，且在1t 到2t 时间段内，有()0f t '<，()0f t ''>，则在该时间段内（ D ）.A ．气温持续升高，且升高得越来越快B ．气温持续升高，且升高得越来越慢C ．气温持续降低，且降低得越来越快D ．气温持续降低，且降低得越来越慢 分析：一阶导的符号描述了因变量随自变量的变化是增加还是减少，而二阶导的符号则描述了增加或减少的快慢程度；由于一阶导小于零，说明气温随时间递减，而二阶导大于零（变化曲线是凹的），说明减少得越来越慢七、证明方程510x x +-=有且只有一个正根．证明：令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续，(0)1f =-，(1)1f =，由零点定理 至少(0,1)ξ∃∈，使得()0f ξ=，故方程510x x +-=至少有一个小于1的正根 又4()510f x x '=+>，可知()f x 在R 内单调增加，故ξ是方程唯一的正根即方程有且只有一个正根考研真题：1.设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b<<时，有（ A ）．A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a >解：由()()()()0f x g x f x g x ''-<可知()0()f x g x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()f x g x 单调递减， 有()()()()()()f b f x f ag b g x g a <<，故选A 2.2e e a b <<<，证明2244ln ln ()e b a b a ->-． 证明：令244()ln e x f x x =-，42ln 4()e x f x x '=-，22(1ln )()0x f x x-''=<，2(e,e )x ∈ 得()f x '在2[e,e ]上单调递减，有222444()(e )0(e e )e ef x f x ''>=-><<从而()f x 在2[e,e ]上单调递增，有()()f a f b < 故得222244ln ln e e b a b a ->-，即2244ln ln ()e b a b a ->-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
洛必达法则练习题
用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； 2 x ( 2 x )
2
1 ln( 1 ) x ； 2、 lim x arctan x
2 1 )； 4、 lim ( 2 x 1 x 1 x 1
1 tan x 6、 lim ( ) ； x 0 x
x a x a
邻域中（点 a 可除外） ， f ( x )及 F ( x )都存在， f ' ( x) f ( x) 且 F ( x ) 0,则 lim 存在是 lim ' x a F ( x ) x a F ( x ) 存在的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件 .
5、 f ( x 0 ) 0 是可导函数 f ( x )在 x 0 点 处有极值的（ ）. （A） 充分条件； （B） 必要条件 （C） 充要条件； （D） 既非必要又非充 分 条件. 6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）. （ A） 极大值一定是最大值， 且极小值一定是最小值； （ B） 极大值一定是最大值， 或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （D）极大值必大于极小值 .
二、求曲线 y e arctan x 的拐点及凹凸区间 .
三 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3) 为 曲 线 3 2 y ax bx 的拐点？
中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性 测验题
一、选择题
1、若 f ( x )在 (a , b)可导且 f (a ) f (b) ,则（ ） （A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b) ，不一定能使 f ( ) 0 . 2、已知 f ( x )在[a , b]可导，且方程 f(x)=0 在 (a , b)有 两个不同的根 与 ，那么在 (a , b)（ ） f ( x ) 0 .
函数的极值、最大值和最小值练习题 一、求下列函数的极值： 1、
1 x
y e cos x
x
2
2、
yx
54 二、求函数 y x ( x 0)的最值 . x
曲线的凹凸性和拐点练习题
一、填空题： 1、 若函数 y f ( x )在（ a , b ）可导，则曲线 f ( x )在 ( a , b )内取凹的充要条件是____________. 2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 2 y ln( 1 x ) 的拐点为__________. 3、 曲线 4、 曲线 y ln( 1 x )拐点为_______.
x ln( 1 x ) x . 二、若( x ) ax 3 bx 2 cx d 有拐点（1，2） ， 并在该点有水平切线， f ( x )交 x 轴于点（3，0） ， 求 f ( x ).
（A）必有； （B）可能有； （C）没有； （D）无法确定.
3、如果 f ( x )在[a , b]连续，在 (a , b)可导， c 为介于 a , b 之间的任一点，那么在 (a , b)（ ）找到两点 x 2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立. （A）必能； （B）可能； （C）不能； （D）无法确定能 . 4、若 f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导，且 x (a, b)时， f ( x ) 0 ，又 f (a ) 0 ,则（ ）. （A） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （B） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （C） f ( x )在[a , b]上单调减少，且 f (b) 0； （D） f ( x )在[a , b]上单调增加，但 f (b)的 正负号无法确定.
中值定理练习题
一、证明等式 arcsin 1 x arctan 1 x2 2 ( x (0,1) ) . 二、设 a b 0 ， n 1，证明
2
x
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
三、证明
arctan a arctan b a b ；
3、 lim x cot 2 x ；
x 0
5、 lim x
x 0
sin x
；
2 7、 lim ( arctan x ) x . x
函数的单调性练习题
证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； x 2 2、当 x 4时， 2 x ； 1 3 3、若 x 0，则 sin x x x . 6
7、若在 (a , b)内，函数 f ( x )的一阶导数 f ( x ) 0 ， 二阶导数 f ( x ) 0,则函数 f ( x )在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的； （B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的； （D）单调增加，曲线是凸的. 8、设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点 a 的某