中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题
作业(微分中值定理与洛必达法则)(答案)
一、填空题1．罗尔定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）在区间端点处函数值相等，即)()(b f a f =；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba<<ξ），使得0)(='ξf ．2．若4)(x x f =在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件，则定理中的=ξ0．【分析：由罗尔定理，有：0)(='ξf ，故043=ξ，得：=ξ0】3．拉格朗日中值定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba <<ξ），使得ab a f b f f --=')()()(ξ．4．函数34)(x x f =在区间]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的=ξ31．【分析：由拉格朗日中值定理，有：ab a f b f f --=')()()(ξ，40104122=--=ξ，解得：=ξ31】5．当函数)(x f 在区间I 上的导数=')(x f 0时，)(x f 在区间I 上的常数．二、选择题若在区间I 上)()(x g x f '='，则一定有（ B ）．A ．)()(x g x f =B ．C x g x f +=)()(（C 为任意常数） C ．5)()(+=x g x fD ．0)()(C x g x f +=（0C 为常数）三、利用洛必达法则，求下列极限 解:1．是0""0不定式,，应用洛必达法则 ax ax ax --→sin sin limcos limcos 1x ax a →==．2．是0""0不定式， xeexxx sin lim-→-0lim2cos xxx e ex-→+==．3．是0""0不定式， xxx x --+→11limlim11x →==．4．是0""0不定式，)1ln(1sin limx x exx +-+→0cos lim211xx e xx→+==+．5．是0""0不定式，123lim2331+--+-→x x x x x x 22133lim321x x x x →-=--163lim 622x x x →==-．6．是"0"⋅∞xx xx ex ex 3232limlim +∞→-+∞→=32lim3xx x e→+∞=32lim09xx e→+∞==．7．是"0"⋅∞ x x x ln lim 0+→0ln lim1x x x+→=0021lim lim ()01x x x x x++→→==-=-．8．2120lim xx ex →2120lim1x x e x→⋅∞2211221()limlim 1()x x x x e xe x→→'∞==+∞∞'．9．)ln 11(lim 1xx x x --→xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-∞-∞→xx x x x 1ln 11ln lim01-+-+→1ln ln lim1-+=→x x x x x x 2111ln 1ln lim1=+++→x x x ．10．)111(lim 0--→xx ex)1(1lim---∞-∞→xxx ex x exxxx xe ee +--→11lim21lim00=++→xxxxx xeeee ．。
中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用
所以，由推论 1，
推论 2:若对于
，则
.
四．洛必达法则
我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 型，要么是
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则— —洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 或 的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
定义：设函数
在区间 内有定义，如果对
，都有：
则称函数
在区间 内为下凸的.
函数凹、凸性的判定
定理：设函数
在区间 内存在二阶导数且
（或
则函数
在区间 内为下凸（或上凸）的.
例 13．确定
的上（下）凸性.
例 14．确定
的上（下）凸性.
拐点的定义：称曲线
上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.
拐点的必要条件：如果在 附近 具有连续的二阶导数且
的极值.
解一：（一）
.
（二）
.
（三）令 （四）列表判断：
。无不可导点.
（
解二：（一） （二）
1 0 极大 2 .
3
—
0
极小-2
.
（三）令
.无不可导点.
（四）
.因为，
，所以
为极大值；
又因为 七．最值
第一种情况：设
，所以 在闭区间
为极小值. 上连续，则 在
上必可取到最大
值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1） 或 即为最值；
例 15．求曲线
上（下）凸区间及拐点.
解：（一）
；
（二）
，
；
（三）令 （四）列表判断： （
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
中值定理洛必达法则函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题
xa
xa
邻域中（点 a 可除外）， f ( x)及F ( x)都存在，
且F ( x) 0,则lim f ( x) 存在是lim f ' ( x)
xa F( x)
xa F ' ( x)
存在的（ ）.
（A）充分条件； （B）必要条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 .
二、若 x 0,试证 x ln(1 x) x . 1 x
（A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b)，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b)，不一定能使 f ( ) 0 .
2、已知 f ( x)在[a, b]可导，且方程 f(x)=0 在(a, b)有
两个不同的根 与 ，那么在(a, b)（ ） f ( x) 0.
（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.
3、如果 f ( x)在[a, b]连续，在(a, b)可导， c 为介于 a, b之间的任一点，那么在(a, b)（ ）找到两点 x2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立.
最小值； （D）极大值必大于极小值 .
7、若在(a, b)内，函数 f ( x)的一阶导数 f ( x) 0， 二阶导数 f ( x) 0,则函数 f ( x)在此区间内( ).
（A）单调减少，曲线是凹的；（B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的；（D）单调增加，曲线是凸的.
8、设lim f ( x) lim F( x) 0，且在点 a 的某
用洛必达法则求下列极限：
1、
合工大高等数学A(上)习题册.
(0,0a b >>
2
0(6lim(2x x x
x a b →+(0,0a b >>.
2.若,(00f =(f x ′在点0x =的某邻域内连续,且(00f ′≠,试求(0lim f x x x +→.
习题Taylor中值定理
43−1.写出2(ln f x x =x在处的四阶泰勒展开式.
21.1x dx x +∫.
22
2.25x dx x x −−+∫.
1
3.1sin dx x +∫.
41
4.cos dx x ∫.
习题广义积分
57−计算下列广义积分:21ln 1.x
dx x +∞∫.
02.x
xe dx +∞−∫.
213.(1dx
x x +∞+∫.
1
4..
习题定积分的应用
61−1.假设曲线21y x =−(01x ≤≤,x轴,y轴所围区域被曲线2
习题洛必达(L′Hospital法则
42−1.求下列极限:30sin (1lim x x x
x →−;
2ln (2lim ln x x x
x x →+∞
+;
2011
(3lim(tan x x x x →−;
0ln(tan
(4lim ln(tan x ax bx +→ ;
(0,0a b >>
11
(5lim (x x
n
n n n ++→∞−+−+1;
221
11(2lim(1(1(123n n →∞−−⋅⋅⋅−2;
2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析
洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。
高等数学习题课(07)中值定理及洛必达
1, et ,
t 0, 0t .
f (t)
t C1, et C2,
t 0, 0t .
由 f (0)0C1 0 ，
再由 f (t ) 在 t 0 处的连续性及 f (0)0 ，得
0 f (0) f (00)1C2C2 1 。
t , t0,
f
(t
)
et
1,
0 t .
从而
x,
f
ln
0
e x x1
lim
x0
1 x 1 2 1 x
e x 1
lim x0 4
1 1
x
lim
x0
ln(1 x) e x 1
1 4
lim
x0
x x
1 4
。
∴应选（B）。
10．方程
x
x
0
1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（A
）
（A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根；
（C）有无穷个根； （D）无实根。
1
x1
ln(1
t
)dt
，
g(
x)e
x
x1，
0
则当 x0 时， f ( x) 是 g( x) 的（ ）
（A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小；
（C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。
10．方程 x x 1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（ ） 0 （A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根； （C）有无穷个根； （D）无实根。
令 f ( x)0 ，得 x0 ， x1 ，
∵ f (0)a0 ，∴ f (0)2 为极小值；
∵ f (1)a0 ，∴ f (1)6 为极大值。
单调性凹凸性与极值最值相关练习
y
1 ln x2
x
y
1 ln x2
x
y
2 ln x 3 x3
3
令 y 0 即得 x e 2
y ln x
的凸区间为
(0,
3
e 2 ],
凹区间为
3
[e 2 ,
)
x
找拐点与确定函数凹凸区间相关练习
8 y 2 x3 x2 4 x 3 主要思路 f ( x) 在定义域 (, ) 可导且连续
3
2017/10/25
y e2 x ( x 1) 当 (, 1) 时, y 0, 曲线 y f ( x) 是凸的； 当 (1, ) 时, y 0, 曲线 y f ( x) 是凹的. 当 x 1 左右两边 y 都变号, 故都是拐点 即 f ( x) 的凹区间是 [1, ),
令 y 0 在 [1, 4] 内得驻点 x 3 极小值 ymin 27, 极大值 ymax 32
函数极值最值相关练习与答案 11 求 y x2 ln ( x2 ) 的极值和单调区间
y 2 x 2 2 ( x 1)( x 1) xx
令 y 0 x1 1, x2 1 且在 x3 0 不可导 单调递减区间 (, 1], (0, 1]
2 x3 f ( x) x sin x f (0) 0, x 0 6 x3 x sin x, x 0 6
借助函数单调性证明不等式相关练习
2 当 x 0 时, 1 1 x 1 x 2
构造辅助函数 f ( x) (1 1 x)2 (1 x) 2
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洛必达法则练习题
用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； 2 x ( 2 x )
2
1 ln( 1 ) x ； 2、 lim x arctan x
2 1 )； 4、 lim ( 2 x 1 x 1 x 1
1 tan x 6、 lim ( ) ； x 0 x
x a x a
邻域中（点 a 可除外） ， f ( x )及 F ( x )都存在， f ' ( x) f ( x) 且 F ( x ) 0,则 lim 存在是 lim ' x a F ( x ) x a F ( x ) 存在的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件 .
5、 f ( x 0 ) 0 是可导函数 f ( x )在 x 0 点 处有极值的（ ）. （A） 充分条件； （B） 必要条件 （C） 充要条件； （D） 既非必要又非充 分 条件. 6、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）. （ A） 极大值一定是最大值， 且极小值一定是最小值； （ B） 极大值一定是最大值， 或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （D）极大值必大于极小值 .
二、求曲线 y e arctan x 的拐点及凹凸区间 .
三 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3) 为 曲 线 3 2 y ax bx 的拐点？
中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性 测验题
一、选择题
1、若 f ( x )在 (a , b)可导且 f (a ) f (b) ,则（ ） （A） 至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) 0； （B） 一定不存在点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （C） 恰存在一点 (a, b) ，使 f ( ) 0； （D） 对任意的 (a, b) ，不一定能使 f ( ) 0 . 2、已知 f ( x )在[a , b]可导，且方程 f(x)=0 在 (a , b)有 两个不同的根 与 ，那么在 (a , b)（ ） f ( x ) 0 .
函数的极值、最大值和最小值练习题 一、求下列函数的极值： 1、
1 x
y e cos x
x
2
2、
yx
54 二、求函数 y x ( x 0)的最值 . x
曲线的凹凸性和拐点练习题
一、填空题： 1、 若函数 y f ( x )在（ a , b ）可导，则曲线 f ( x )在 ( a , b )内取凹的充要条件是____________. 2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 2 y ln( 1 x ) 的拐点为__________. 3、 曲线 4、 曲线 y ln( 1 x )拐点为_______.
x ln( 1 x ) x . 二、若( x ) ax 3 bx 2 cx d 有拐点（1，2） ， 并在该点有水平切线， f ( x )交 x 轴于点（3，0） ， 求 f ( x ).
（A）必有； （B）可能有； （C）没有； （D）无法确定.
3、如果 f ( x )在[a , b]连续，在 (a , b)可导， c 为介于 a , b 之间的任一点，那么在 (a , b)（ ）找到两点 x 2 , x1，使 f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f (c)成立. （A）必能； （B）可能； （C）不能； （D）无法确定能 . 4、若 f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b)内可导，且 x (a, b)时， f ( x ) 0 ，又 f (a ) 0 ,则（ ）. （A） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （B） f ( x )在[a , b]上单调增加，且 f (b) 0； （C） f ( x )在[a , b]上单调减少，且 f (b) 0； （D） f ( x )在[a , b]上单调增加，但 f (b)的 正负号无法确定.
中值定理练习题
一、证明等式 arcsin 1 x arctan 1 x2 2 ( x (0,1) ) . 二、设 a b 0 ， n 1，证明
2
x
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
三、证明
arctan a arctan b a b ；
3、 lim x cot 2 x ；
x 0
5、 lim x
x 0
sin x
；
2 7、 lim ( arctan x ) x . x
函数的单调性练习题
证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； x 2 2、当 x 4时， 2 x ； 1 3 3、若 x 0，则 sin x x x . 6
7、若在 (a , b)内，函数 f ( x )的一阶导数 f ( x ) 0 ， 二阶导数 f ( x ) 0,则函数 f ( x )在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的； （B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的； （D）单调增加，曲线是凸的. 8、设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ，且在点 a 的某