二次根式知识点总结大全(我)
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。
以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。
•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。
•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。
2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。
下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。
•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。
•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。
•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。
3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。
以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。
•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。
•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。
•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。
4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。
以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。
•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。
5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。
以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。
二次根式知识点总结大全(一)2024
二次根式知识点总结大全（一）引言概述：二次根式是数学中重要的一类运算表达式，它包括平方根、立方根和高次根等。
掌握二次根式的知识对于解决数学问题尤为重要。
本文将全面总结二次根式的基本概念及相关性质，帮助读者深入理解和灵活运用二次根式。
正文内容：一、平方根的基本运算1. 平方根的定义及表示方法2. 平方根的性质与计算方法3. 平方根的化简与合并4. 平方根的乘法与除法运算5. 平方根的应用与实例分析二、二次根式的化简与合并1. 二次根式的基本形式与转化2. 二次根式的合并与化简方法3. 二次根式的有理化与分解4. 二次根式的乘法与除法运算5. 二次根式的应用与实例分析三、二次根式的运算性质1. 二次根式的加减法运算规则2. 二次根式的乘法运算规则3. 二次根式的除法运算规则4. 二次根式的乘方运算规则5. 二次根式的应用与实例分析四、二次根式的简化与展开1. 二次根式的简化方法与步骤2. 二次根式的展开方法与步骤3. 二次根式与方程的关系4. 二次根式的性质与证明5. 二次根式的应用与实例分析五、二次根式的实际问题解析1. 二次根式在几何问题中的应用2. 二次根式在物理问题中的应用3. 二次根式在经济问题中的应用4. 二次根式在工程问题中的应用5. 二次根式在科学计算中的应用总结：通过本文的学习，读者对二次根式的基本概念、运算规则以及应用等方面有了更深入的了解。
同时，掌握了二次根式在数学领域和其他实际问题中的应用，有助于提升解决问题的能力和思维灵活性。
在实际学习和应用中，读者应继续加强练习和思考，进一步巩固和运用所学知识。
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二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式总结归纳
二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。
2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。
- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。
- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。
- 乘法：(√a)(√b)=√ab。
-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。
二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。
- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。
例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。
- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。
二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。
例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。
2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。
- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。
例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。
- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。
例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。
三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。
例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。
2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。
二次根式的知识点的总结
二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。
在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。
下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。
简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。
2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。
（3）非负实数a的平方根的平方等于a。
即$(\sqrt{a})^2=a$。
（4）非负实数的平方根存在且非负。
即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。
即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。
（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。
2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。
如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。
三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结
一、二次根式的定义
二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ 的无理数或代数式，其中 $a$ 是一个
非完全平方数，即 $a$ 不能表示为某个正整数的平方。
二、简化二次根式
1. 将二次根式 $\sqrt{a}$ 化简为 $\sqrt{b}$ 的形式，其中
$b$ 是 $a$ 的正因子；
2. 对于 $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$，可通过有理化分母的方法化为
$\frac{\sqrt{c}\pm\sqrt{d}}{e}$ 的形式，其中 $c$、$d$、$e$ 均
为整数。
三、二次根式的运算
1. 二次根式加减法：将同类项合并，并对结果进行简化；
2. 二次根式乘法：利用分配律，将每一项分别与另一个二次根式相乘，并化简结果；
3. 二次根式除法：将除数、被除数都乘以分母的共轭复数，化为分母
为整数的形式后进行约分。
四、二次根式的应用
1. 应用勾股定理求直角三角形的一条边；
2. 当面积或体积为二次根式时，可通过二次根式的运算得到结果。
五、注意事项
1. 化简二次根式时，应将完全平方因子提出；
2. 二次根式运算时，不同二次根式之间不能进行加减法；
3. 对于 $\sqrt{a}$，$a$ 不能为负数。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
二次根式知识点
二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。
a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。
2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。
② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。
③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。
④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。
⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。
3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。
例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。
根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。
5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。
例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。
初二数学二次根式知识点大全
初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
其中，$\sqrt{}$ 称为二次根号，$a$（$a\geq0$）是一个非负数。
2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。
二次根式中被开方数是非负数，且具有非负性，即 $a\geq0$。
3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性，即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。
4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$a+5$，$-3y(y\geq0)$，$m^2-1$ 和 $ab$（$a<0,b<0$）中，是二次根式的有()A。
3个B。
4个C。
5个D。
5个解答】解：式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$-3y(y\geq0)$，$ab$（$a<0,b<0$）是二次根式，共 4 个，故选 B。
点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数。
题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式，则下列说法正确的是()A。
$x<y$B。
$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。
$x$、$y$ 同号D。
$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解：依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$，即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，是二次根式。
则 $\frac{2x}{y}>0$，即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。
二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。
2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。
而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。
比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。
即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。
比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。
（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。
对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。
比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。
（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。
对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。
比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。
4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。
这就需要用到支配数的概念。
支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。
比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。
二次根式概念知识点总结
二次根式概念知识点总结一、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是一种形如√a的代数式，其中a为一个实数，且a≥0。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
被开方数a的平方根就是等于a的正实数。
2. 二次根式的特点- 被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
- 二次根式可以是整数、小数、分数或无理数。
- 二次根式可以化简为最简形式，即根号下的被开方数不含有平方因子。
3. 二次根式的分类根据被开方数的性质，二次根式可以分为完全平方数根式和非完全平方数根式两种情况。
完全平方数根式是指被开方数是一个完全平方数的二次根式，非完全平方数根式则是指被开方数是一个非完全平方数的二次根式。
二、二次根式的化简1. 化简方法对于二次根式的化简，主要有以下几种方法：- 求被开方数的因式分解，将根号下的一些平方因子化简出来。
- 利用完全平方公式，将二次根式化为一个完全平方根式。
- 使用等价变形的方法，将二次根式化为最简形式。
2. 化简步骤（1）对于完全平方数根式，只需将根号下的被开方数进行因式分解，并将平方因子提出来，即可将二次根式化为最简形式。
例如：√100=√(2²×5²)=2×5=10（2）对于非完全平方数根式，可以利用完全平方公式将二次根式化为最简形式。
例如：√50=√(25×2)=√25×√2=5√2（3）对于一般的二次根式，可以利用等价变形的方法进行化简。
例如：√72=√(36×2)=√36×√2=6√2三、二次根式的运算1. 二次根式的加减对于二次根式的加减运算，主要是要求二次根式的根号下的被开方数相同，然后分别将二次根式的系数进行加减运算。
例如：√18+2√18=3√182. 二次根式的乘除对于二次根式的乘除运算，可以利用分配律和乘法公式进行运算。
例如：(3√5)×(4√5)=123. 二次根式的混合运算对于二次根式的混合运算，可以根据运算法则依次进行加、减、乘、除等运算，最终得到最简形式的结果。
二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy xx y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. －； C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
二次根式的知识点
二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a 没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a ＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（√a）的性质 (√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2知识点五：二次根式的性质√a2=|a| 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.（4）作商法：两个二次根式相除的商与1比较，大于1，则第一个大于第二个6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (ba b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.。
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二次根式
1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（a）2=a（a≥0）；
（2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1-，
其中是二次根式的是_________（填序号）．
a（a＞0）
=
=a
a2
a
-（a＜0）
0 （a=0）；
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）x
x
-
-
+
3
1
5
；（2）
2
2)
-
(x
例3、在根式1) 222
;2);3);4)27
5
x
a b x xy abc
+-，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
例4、已知：
的值。
求代数式2
2
,
2
1
1
8
8
1-
+
-
+
+
+
-
+
-
=
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
y
例5、（2009龙岩）已知数a，b，若2
()
a b
-=b－a，则( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a移到根号内，得( )
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2.把（a－b）－
1
a－b化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
11
()
b
a b b a a b
++
++
，其中a=
51
2
+
，b=
51
2
-
．
例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222
()
a b a b
---
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。
（1）；（2）
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<。
例1、比较与
解：=532⨯=45 =352⨯=75
（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
例2、比较
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3
解：
132-=()()()1313132+-+=()13132-+=13+ （4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、。
（5）、倒数法
例5
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例63+3的大小。
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415
的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知
，则a _________
发展：已知，则a ______。
例3、化简下列各式：
（1）423+ （2）526-
例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b a b
-+的值为（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．12 例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形： 甲：==； 乙：=。
其中，（ ）。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
【基础训练】
1．化简：（1）72=__ __； （2）222524-=___ __； （3）61218⨯⨯=___ （4）3275(0,0)x y x y ≥≥=__；（5）_______420=-2.(08，安徽)化简()24-=____。
3.（08，武汉）计算4的结果是 Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4
4. 化简：（1）（08，泰安）9的结果是 ； （2）123-的结果是 ；（3）(08，宁夏)825-= ； （4）（08，黄冈）5x -2x =_____ （5）（08，宜昌）3＋（5－3）=___（6） ；
（7）(08，荆门)＝________；（8） ．
5．（08，重庆）计算28-的结果是A 、6 B 、6 C 、2 D 、2
6．（08，广州）3的倒数是 。
7. (08，聊城)下列计算正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3
294= 9．（08，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；
10. 比较大小：３ 10。
11．（08，嘉兴）使2x -有意义的x 的取值范围是 ．
12.(08，常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．
14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是
A 、2－x
B 、x+2
C 、x －2
D 、
1x －2
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是 A.21a + B.12
C.8
D.27 16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A ．10
B ．8
C ．6
D ．2
17．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是
A ．2
B ．
C ．
D ． 18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D ．5445与 19.(08，乐山)已知二次根式
与是同类二次根式，则的α值可以是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
20．（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
21.（08，遵义）若230a b -+-=，则2a b -= ．
22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
23.计算： （1） （2）
（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．
（5）27124148÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+ 24.先将2x -÷32
2x x x -化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。
25.( 08，济宁)若
，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ．
26.(08，济宁)如图，数轴上
两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点
，则点所表示的数是 A ． B ．
C ．
D ．。