【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1
2020版数学人教A版必修3学案：第一章 算法初步 章末复习 Word版含解析.pdf
章末复习学习目标 1.加深对算法思想的理解.2.加强用程序框图清晰条理地表达算法的能力.3.进一步体会由自然语言到程序框图再到程序的逐渐精确的过程． 1．算法、程序框图、程序语言(1)算法的概念：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2)程序框图：程序框图由程序框组成，按照算法进行的顺序用流程线将程序框连接起来．结构可分为顺序结构、条件结构和循环结构．(3)算法语句：基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，条件语句应注意IF与THEN、END_IF配套使用，缺一不可，而ELSE可选；循环语句应注意循环条件的准确表达以及循环变量的步长设置．2．算法案例本章涉及的辗转相除法、更相减损术是用来求两个正整数的最大公约数的，秦九韶算法是用来计算多项式的值的，二进制在计算机上的应用受到我国周易八卦的影响和启发，都是我国古代灿烂的数学文明的体现．对这些案例，应该知其然，还要知其所以然，体会其中蕴含的算法思想.题型一 算法设计例1 求两底面直径分别为2和4，且高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的算法．解 算法如下：第一步，取r 1＝1，r 2＝2，h ＝4.第二步，计算l ＝.(r 2－r 1)2＋h 2第三步，计算S ＝πr ＋πr ＋π(r 1＋r 2)l 与V ＝π(r ＋r ＋r 1r 2)h .21213212第四步，输出计算结果．反思感悟 设计解决具体问题的算法的一般步骤(1)认真分析所给的问题，找出解决该类问题的一般方法．(2)借助于一般变量或参数对算法进行描述．(3)将解决问题的过程分解为若干个步骤．(4)用简洁的语言将各个步骤表述出来．跟踪训练1 已知函数y ＝2x 4＋8x 2－24x ＋30，写出连续输入自变量的11个取值，分别输出相应的函数值的算法．解 算法如下：第一步，输入自变量x 的值．第二步，计算y ＝2x 4＋8x 2－24x ＋30.第三步，输出y .第四步，记录输入次数．第五步，判断输入的次数是否大于11.若是，则结束算法；否则，返回第一步．题型二 程序框图的识图与画法例2 (1)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n 等于( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析 执行第一次循环的情况是：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；执行第二次循环的情况是：a ＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2，执行第三次循环的情况是：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3，执行第四次循环的情况是：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.根据跳出循环体的判断条件可知执行完第四次跳出循环体，输出n的值，n的值为4.(2)已知函数f(x)＝Error!试画出求f(f(x))的值的程序框图．解 算法的程序框图如图所示．反思感悟 程序框图的画法规则(1)使用标准的图形符号．(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画．(3)除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．(4)判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果．(5)在图形符号内描述的语言要简练、清楚．跟踪训练2 (1)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．8 B．9 C．27 D．36答案 B解析 ①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；②S＝0＋13＝1，k＝1＋1＝2，满足k≤2；③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3，不满足k≤2，输出S＝9.(2)画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．解 程序框图如图所示．题型三 算法语言例3 (1)执行下列语句．分别输入8,4和2,4，则两次执行该语句的输出结果分别为( )INPUT A ，B IF A ＞B THEN C ＝A 2ELSE C ＝B 2END IF PRINTC ENDA ．8,2B ．8,4C ．4,2D ．4,4(2)阅读下面的程序：INPUT ni ＝1S ＝1WHILE i ＜＝nS ＝S *i i ＝i ＋1WEND PRINT S END在执行上面的程序时如果输入6，那么输出的结果为( )A ．6 B ．720 C ．120 D ．1答案 (1)C (2)B解析 (1)输入8,4时，满足A ＞B ，则C ＝＝＝4；输入2,4时，满足A ≤B ，则C ＝＝＝2.A 282B 242(2)经过第一次循环得到S ＝1，i ＝2；经过第二次循环得到S ＝2，i ＝3；经过第三次循环得到S ＝6，i ＝4；经过第四次循环得到S ＝24，i ＝5；经过第五次循环得到S ＝120，i ＝6；经过第六次循环得到S ＝720，i ＝7，此时不满足循环的条件，输出S .故选B.反思感悟 (1)在用WHILE 语句和UNTIL 语句编写程序解决问题时，一定要注意它们的格式及条件的表述方法．WHILE 语句中是当条件满足时执行循环体，而UNTIL 语句中是当条件不满足时执行循环体．(2)循环语句主要用来实现算法中的循环结构，处理一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积等．跟踪训练3 (1)下列算法语句为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填入的语句为( )INPUT xS＝0i＝1DO S＝S＋x i＝i＋1LOOP UNTIL a＝S/50PRINT aENDA．i＞50 B．i＜50 C．i＞＝50 D．i＜＝50(2)根据下列算法语句，当输入a，b的值分别为2,3时，最后输出的m的值是________．INPUT a，bIF a＞b THEN m＝aELSE m＝bEND IFPRINT mEND答案 (1)A (2)3解析 (1)由已知的程序语句可得这是一个直到型循环，当满足条件时退出循环．由于第一次判断条件时i的值等于2，故第五十次判断条件时i的值等于51，即i≤50时继续循环，故横线上应填入的语句为“i＞50”．(2)因为该算法的设计目的是输出a，b中较大的数，且a＝2，b＝3，较大的数是3，所以输出的m的值为3.多项式求值典例 用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x当x＝2时的值．解 因为f(x)＝((((4x＋3)x＋5)x＋1)x＋1)x，所以v0＝4，v1＝4×2＋3＝11，v2＝11×2＋5＝27，v3＝27×2＋1＝55，v4＝55×2＋1＝111，v5＝111×2＝222.所以当x＝2时，多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x的值为222.[素养评析] (1)利用秦九韶算法可以求多项式的值．秦九韶算法的意义在于将多项式求值规范化、程序化、这是算法案例的一个重要内容．(2)在求多项式的值时，依据秦九韶运算法则，设计运算程序，求得运算结果，充分体现了数学运算的核心素养.1．如图所示，程序框图的输出结果是( )A．3 B．4 C．5 D．8答案 B解析 当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；当x ＝4，y ＝3时，满足x ≤4，则x ＝2×4＝8，y ＝3＋1＝4；当x ＝8，y ＝4时，不满足x ≤4，则输出y ＝4.2．如图，程序框图所进行的求和运算是( )A ．1＋＋＋…＋B ．1＋＋＋…＋12131101315119C.＋＋＋…＋ D.＋＋＋…＋121416120121221231210答案 C解析 因为i 是计数变量，n 是计算变量．当i ＝1时，s ＝；12当i ＝2时，s ＝＋；1214…；当i ＝11时，跳出循环．故选C.3．若输入t ＝8，则下列程序执行后输出的结果是________．INPUT tIF t＜＝8 THEN, c＝0.2ELSE c＝0.2＋0.1*(t－3)END IFPRINT cEND答案 0.2解析 t＝8满足条件“t＜＝8”，执行“c＝0.2”．4．程序如下：INPUT “a，b，c＝”；a，b，ca＝bb＝cc＝aPRINT a，b，cEND若输入10,20,30，则输出结果为________．答案 20,30,20解析 给a，b，c赋初值分别为10,20,30，执行“a＝b”后a的值为20，执行“b＝c”后b 的值为30，执行“c＝a”后c的值为20.故答案为20,30,20.5.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．答案 10解析 程序运行后，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2；s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3；s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4；s＝5＋(－1)4＋4＝10＞9，故输出的结果是10.1．算法往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有些步骤甚至重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．对程序框图的考查之一是程序的运行结果；考查之二是补全程序框图中的条件或循环体等．3．算法设计和程序框图是程序设计的基础，编写程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”．。
人教版高中数学必修三教案(全套)
第一章算法初步1．1．1算法的概念一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
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第七章三角函数之阳早格格创做7．1任性角的观念与弧度造7．1.1角的推广1.相识角的观念的推广历程，明白任性角的观念.2.认识终边相共的角并会简朴表示.3.通过教习，普及教死数教抽象、逻辑推理、曲瞅设念的核心修养.知识面一角的观念的推广(一)课本梳理挖空1．角的观念一条射线绕其端面转化到另一条射线所产死的图形称为角，那二条射线分别称为角的初边战终边．2．角的分类称呼定义图形正角一条射线绕其端面依照顺时针目标转化而成的角背角一条射线绕其端面依照顺时针目标转化而成的角整角一条射线不做所有转化产死的角(二)基础知能小试1．推断正误(1)小于90°的角皆是钝角. ()(2)终边与初边沉合的角为整角．()(3)大于90°的角皆是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()问案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列道法透彻的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不不妨是背的 D．角不妨是任性大小剖析：选D由任性角的观念，知D透彻．3．正在图中从OA转化到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.剖析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个背角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.问案：390°－150°60°知识面二象限角(一)课本梳理挖空象限角及终边相共的角[微指示]角的终边正在坐标轴上，便认为那个角不属于所有象限，可称为轴线角．(二)基础知能小试1．推断正误(1)终边相共的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()问案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相共的角可表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°剖析：选B∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相共，故选B.3．与－1 560°角终边相共的角的集中中，最小正角是________，最大背角是________．剖析：与－1 560°角终边相共的角的集中为{α|α＝k·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大背角为－120°.问案：240°－120°题型一与任性角有闭的观念辨析[教透用活]解读任性角的观念三个果素：顶面、初边、终边．(1)用转化的瞅面去定义角，便不妨把角的观念推广到任性角，包罗任性大小的正角、背角战整角．(2)对付角的观念的认识，闭键是抓住“转化”二字．[典例1](1)下列道法透彻的是()A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是钝角便是钝角C．钝角小于90°D．第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期终考查，数教科从上午8时30分启初，考了2小时．从考查启初到考查中断分针转过了()A．360°B．720°C．－360° D．－720°[剖析](1)－355°是第一象限的角，但是不是正角，所以A过失；三角形的内角大概是90°，所以B过失；钝角小于90°，C透彻；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但是45°>－200°，所以D过失．故选C.(2)果为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考查启初到考查中断分针转过了－720°.故选D.[问案](1)C(2)D[要领本领]推断角的观念问题的闭键与本领[对付面练浑]1．设集中A＝{θ|θ为钝角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中创造的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D剖析：选D集中A中钝角θ谦脚0°＜θ＜90°；集中B中θ＜90°，不妨为背角；集中C中θ谦脚k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集中D中θ谦脚0°＜θ＜90°.故A＝D.2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解：题搞图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题搞图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二象限角及终边相共的角[教透用活][典例2]正在0°到360°的范畴内，供出与下列各角终边相共的角，并推断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.[解](1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相共的角，且－736°为第四象限角．(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相共的角，且405°为第一象限角．[要领本领](1)把任性角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，闭键是决定k.不妨用瞅察法(α的千万于值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按常常的除法举止；背角除以360°，商是背数，其千万于值比被除数为其好同数时的商大1，使余数为正值．(2)央供符合某种条件且与已知角终边相共的角，其要领是先供出与已知角终边相共的角的普遍形式，再依条件构修不等式供出k的值．[对付面练浑]1．已知α＝－1 845°，正在与α终边相共的角中，供谦脚下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的背角；(3)－360°～720°之间的角．解：果为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相共，所以与角α终边相共的角的集中是{β|β＝－45°＋k·360°，k ∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的背角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.2．正在曲角坐标系中写出下列角的集中：(1)终边正在x轴的非背半轴上；(2)终边正在y＝x(x≥0)上．解：(1)正在0°～360°范畴内，终边正在x轴的非背半轴上的角有一个：0°.故终边降正在x轴的非背半轴上的角的集中为{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)正在0°～360°范畴内，终边正在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边正在y＝x(x≥0)上的角的集中为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．题型三区间角的表示[教透用活][典例3]已知，如图所示．(1)分别写出终边降正在OA，OB位子上的角的集中；(2)写出终边降正在阳影部分(包罗鸿沟)的角的集中．[解](1)终边降正在OA位子上的角的集中为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边降正在OB位子上的角的集中为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题搞图可知，阳影部分(包罗鸿沟)的角的集中是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相共的角组成的集中，故该天区可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[要领本领]表示区间角的三个步调第一步：先按顺时针目标找到天区的起初战终止鸿沟．第二步：按由小到大分别标出起初战终止鸿沟对付应的－360°～360°范畴内的角α战β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.第三步：起初、终止鸿沟对付应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集中．[对付面练浑]1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阳影部分(包罗鸿沟)表示的终边相共的角的集中怎么样表示？解：正在0°～360°范畴内，阳影部分(包罗鸿沟)表示的范畴可表示为：150°≤β≤225°，则所有谦脚条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边降正在阳影部分(包罗鸿沟)的角的集中怎么样表示？解：由题搞图可知谦脚题意的角的集中为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所供的集中为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.[课堂一刻钟坚韧锻炼]一、前提典范题1．下列各角中，与60°角终边相共的角是()A．－300°B．－60°C．600° D．1 380°剖析：选A与60°角终边相共的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k ＝－1，则α＝－300°.2．集中M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边皆正在()A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上C．x轴或者y轴上 D．x轴正半轴或者y轴正半轴上剖析：选C令k＝1,2,3,4，终边分别降正在y轴正半轴上，x轴背半轴上，y轴背半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.3．已知集中M＝{钝角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列道法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中透彻的是________(挖序号)．剖析：果为钝角的范畴为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包罗背角，第一象限角为k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z，所以P N，①过失；N∩M＝M，②透彻；M⊆P，③透彻；(M∪N)P，④过失．问案：②③4．射线OA绕端面O顺时针转化120°到达OB位子，由OB位子顺时针转化270°到达OC位子，则∠AOC＝________.剖析：果为各角战的转化量等于各角转化量的战，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.问案：－150°二、革新应用题5．正在与角1 030°终边相共的角中，供谦脚下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的背角．解：果为1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相共的角的集中为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所供的最小正角为310°.(2)与k＝－1，得所供的最大背角为－50°.三、易错防范题6．如图所示，阳影部分内的角的集中S＝______________.剖析：果为阳影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边正在阳影部分内的角的集中为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．问案：{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}[易错矫正]用不等式表示区间角的范畴时，要注意瞅察角的集中产死是可不妨合并，能合并的一定要合并．其余对付于区间角的书籍写，一定要瞅其区间是可超过x轴的正目标．[课下单层级演练过闭]A级——教考火仄达标练1．(多选题)以下道法，其中透彻的有()A．－75°是第四象限角B．265°是第三象限角C．475°是第二象限角 D．－315°是第一象限角剖析：选ABCD由终边相共角的观念知：A、B、C、D皆透彻．2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°剖析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.3．正在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相共的角为()A．150° B．210°C．30° D．330°剖析：选B与－510°角终边相共的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.4．若角α的终边正在y轴的背半轴上，则角α－150°的终边正在()A．第一象限 B．第二象限C．y轴的正半轴上 D．x轴的背半轴上剖析：选B果为角α的终边正在y轴的背半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边正在第二象限．故选B.5．下列道法透彻的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角纷歧定是第二象限角C．终边相共的角之间出进180°的整数倍D．钟表的时针转化而成的角是背角剖析：选D A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角正在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相共的角之间出进360°的整数倍；D透彻，钟表的时针是顺时针转化，故是背角．6．12面过14小时的时间，时钟分针与时针的夹角是________．剖析：时钟上每个大刻度为30°，12面过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.问案：82.5°7．已知钝角α，它的10倍与它自己的终边相共，则角α＝________.剖析：与角α终边相共的角连共角α正在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，果为钝角α的10倍角的终边与其终边相共，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.又α为钝角，所以α＝40°或者80°.问案：40°或者80°8．集中A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.剖析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．问案：{－126°，－36°，54°，144°}9．已知角的顶面与坐标本面沉合，初边降正在x轴的非背半轴上，请做出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.解：做出各角，其对付应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．10．写出图中阳影部分(不含鸿沟)表示的角的集中．解：正在－180°～180°内降正在阳影部分的角的集中为大于－45°且小于45°，所以终边降正在阳影部分(不含鸿沟)的角的集中为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．B级——下考火仄下分练1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α正在()A．第一或者第三象限 B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限 D．第三或者第四象限剖析：选A当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．2．若α与β终边相共，则α－β的终边降正在()A．x轴的非背半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非背半轴上 D．y轴的非正半轴上剖析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边正在x轴的非背半轴上．3．若角α战β的终边谦脚下列位子闭系，试写出α战β的闭系式：(1)沉合：________________；(2)闭于x轴对付称：________________.剖析：根据终边相共的角的观念，数形分离可得：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．问案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)(2)α＝k·360°－β(k∈Z)4.如图所示，写出终边降正在曲线y＝3x上的角的集中(用0°到360°间的角表示)．解：终边降正在y＝3x(x≥0)上的角的集中是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边降正在y＝3x(x≤0)上的角的集中是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边降正在y＝3x上的角的集中是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}．5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标本面，面P 从面A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22出收，依顺时针目标等速沿单位圆周转化．已知P 正在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，通过2秒钟到达第三象限，通过14秒钟后又恰佳回到出收面A .供θ，并推断θ天圆象限．解：根据题意知，14秒钟后，面P 正在角14θ＋45°的终边上， ∴45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z ，即θ＝k ·180°7，k ∈Z. 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，∴67.5°＜k ·180°7＜112.5°，k ∈Z ， ∴k ＝3或者k ＝4，∴所供θ的值为540°7或者720°7. ∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°， ∴θ正在第一象限或者第二象限．7．1.2 弧度造及其与角度造的换算错误!知识面一 弧度造1．度量角的二种造度(1)角度造：用度做单位去度量角的造度称为角度造．确定1度等于60分，1分等于60秒．(2)弧度造：以弧度为单位去度量角的造度称为弧度造．称弧少与半径比值的那个常数为圆心角的弧度数，少度等于半径少的圆弧所对付的圆心角为1弧度的角，记做1 rad.[微指示]以后正在用弧度造表示角时，“弧度”二字或者rad不妨略去不写，而只写那个角的弧度数．2．弧少公式正在半径为r的圆中，若弧少为l的弧所对付的圆心角为αrad，则α＝lr.由此可得到l＝αr，即弧少等于其所对付应的圆心角的弧度数与半径的积．[微指示]设扇形的半径为R，弧少为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧少公式：l＝α·R.(2)扇形里积公式：S＝12lR＝12αR2.(二)基础知能小试推断正误(1)1弧度是1度的圆心角所对付的弧．()(2)1弧度是少度为半径的弧．()(3)1弧度是1度的弧与1度的角之战．()问案： (1)×(2)×(3)×知识面二弧度造与角度造的换算(二)基础知能小试1．推断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的二种分歧的度量单位. ( )(2)用角度造战弧度造度量角，皆与圆的半径有闭．( )(3)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π. ( ) (4)1 rad 的角比1°的角要大．( )问案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．将下列角度与弧度举止互化．(1)20°＝______；(2)－15°＝______；(3)7π12＝________；(4)－115π＝________.剖析：(1)20°＝20×π180＝π9； (2)－15°＝－15×π180＝－π12； (3)7π12＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝105°； (4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝－396°.问案：(1)π9 (2)－π12(3)105° (4)－396° 题型一 角度造与弧度造的互化[教透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，时常把弧度数写成几π的形式，如无特天央供，不必把π写成小数．(2)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[典例1] (1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad 化为度为________． (2)将下列各角化成0到2π的角加上2k π(k ∈Z)的形式． ①193π；②－315°. [剖析] (1)①果为1°＝π180rad ， 所以112°30′＝π180×112.5 rad ＝5π8. ②果为1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°， 所以－5π12 rad ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π12×180π°＝－75°. 问案：①5π8②－75° (2)①193π＝6π＋π3；②－315°＝－7π4＝－2π＋π4. [要领本领]举止角度造与弧度造互化的准则战要领(1)准则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 战 1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°举止换算． (2)要领：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180.[对付面练浑]将下列角度与弧度举止互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.题型二 用弧度造表示终边相共的角[教透用活][典例2] 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.[解] (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相共，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π， ∴－4与2π－4终边相共，是第二象限角．[要领本领]用弧度造表示终边相共的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的奇数倍，而不是整数倍，还要注意角度造与弧度造不克不迭混用．[对付面练浑]1．把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z)的形式，其中0≤α<2π.解：∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9， 而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α<2π，∴α＝16π9. ∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π. 2．正在[0°，720°]内找出与2π5角终边相共的角． 解：∵2π5＝2π5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝72°， ∴终边与2π5角相共的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)， 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴正在[0°，720°]内与2π5角终边相共的角为72°，432°.题型三 扇形的里积与弧少的估计[教透用活][典例3] (1)已知扇形的周少是6 cm ，里积是2 cm 2，供扇形的圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，供扇形的里积．[解] (1)设扇形的半径为r cm, 弧少为l cm ，圆心角为θ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝6，12lr ＝2.解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝4或者⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.∴θ＝l r ＝1或者4. (2)设扇形的弧少为l ，半径为R ，圆心角为α，∵72°＝72×π180＝2π5， ∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)， ∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． [要领本领]弧度造下办理扇形相闭问题的步调(1)透彻弧少公式战扇形的里积公式：l ＝αr ，S ＝12αr 2战S ＝12lr .(那里α必须是弧度造下的角)(2)分解题手段已知量战待供量，机动采用公式．(3)根据条件列圆程(组)或者修坐目标函数供解．[对付面练浑]1．[圆心角的弧度数]已知扇形的周少为10 cm ，里积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．剖析：设扇形的半径为r cm ，圆心角α所对付的弧少为l ⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4.解得⎩⎨⎧ l ＝8，r ＝1或者⎩⎨⎧l ＝2，r ＝4，∴α＝8或者12.又∵0＜α＜2π，∴α＝12.问案：122．[供扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧少为30π，则扇形半径为________．剖析：设半径为r ，∵216°＝216×π180＝6π5，∴l ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25.问案：253．[与最值有闭的问题]已知扇形的周少为40 cm ，则当它的半径战圆心角各与何值时，能使扇形的里积最大？最大里积是几？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧少为l ，里积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r＝(20－r )r ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的里积最大， 最大里积为100 cm 2，那时θ＝l r ＝40－2×1010＝2.[课堂一刻钟坚韧锻炼]一、前提典范题1．已知α＝6π7，则角α的终边正在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限剖析：选B 果为π2<6π7<π，所以角α的终边正在第二象限．2．下列各对付角中，终边相共的是( ) A.3π2战2k π－3π2(k ∈Z) B ．－π5战22π5C ．－7π9战11π9 D.20π3战122π9剖析：选C 正在弧度造下，终边相共的角出进2π的整数倍．故选C.3．某扇形的半径为1 cm ，它的周少为4 cm ，那么该扇形的圆心角为________．剖析：由题意可得扇形的弧少为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为21＝2.问案：24．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．剖析：－135°＝－135×π180＝－3π4；11π3＝113×180°＝660°.问案：－3π4 660°二、革新应用题5．已知集中A ＝{α|2k π<α<(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－5≤α≤5}，供A ∩B .解：由题意知，A ＝…∪{α|－2π<α<－π}∪{α|0<α<π}∪{α|2π<α<3π}∪…，又B ＝{α|－5≤α≤5}，二集中正在数轴上的表示如图所示．∴A ∩B ＝{α|－5≤α<－π或者0<α<π}． 三、易错防范题6．写出终边正在如图所示阳影部分(不包罗鸿沟)内的角的集中S ＝_____________.问案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋π3，k ∈Z (也可写成{α|k ·360°－30°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z})[易错矫正](1)本题易错处有二面：一是间接写成{α|k ·360°＋330°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z}，引导集中中不等式左边的角反而小于左边的角．二是共一不等式中混用了角度造与弧度造．(2)共一个问题(或者题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度造单位，要么用弧度造单位，不克不迭将二者混用．[课下单层级演练过闭] A 级——教考火仄达标练1．1 920°转移为弧度数为( ) A.163B.323C.16π3D.32π3剖析：选D 1 920°＝1 920×π180＝32π3.2．正在半径为10的圆中，240°的圆心角所对付弧少为( ) A.403π B.203πC.2003πD.4003π剖析：选A ∵240°＝240×π180＝43π，∴弧少l ＝α·r ＝43π×10＝403π，故选A.3．2弧度的角天圆的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限剖析：选B 果为π2<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．4．(多选题)下列转移截止透彻的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 剖析：选ABD 对付于A,60°＝60×π180＝π3；对付于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对付于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对付于D ，π12＝112×180°＝15°.故A 、B 、D 透彻．5．自止车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮顺时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )A.5π11B.44π5C.5π22D ．22π5剖析：选B 由题意，当大链轮顺时针转过一周时，小链轮顺时针转过8820周，小链轮转过的弧度是8820×2π＝44π5.6．正在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．剖析：果为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.问案：π5，π3，7π157．天球赤讲的半径约是6 370 km ，赤讲上1′所对付的弧少为1海里，则1海里约莫是________km(透彻到0.01 km)．剖析：果为1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°＝160×π180，所以l ＝α·R ＝160×π180×6370≈1.85(km)．问案：8．若角α的终边与8π5角的终边相共，则正在[0,2π]上，终边与α4角的终边相共的角是____________．剖析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.问案：2π5，9π10，7π5，19π109．一个半径为r 的扇形，如果它的周少等于弧天圆圆的周少的一半，那么那个扇形的圆心角是几弧度？是几度？扇形的里积是几？解：设扇形的圆心角为θ，则弧少l ＝rθ，∴2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)·(180π)°＝(180－360π)°，扇形的里积S ＝12lr ＝12r 2(π－2)．10．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)供θ，使θ与α终边相共，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相共，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z)．解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.B 级——下考火仄下分练1.已知某板滞采与齿轮传动，由主动轮M 戴着从动轮N 转化(如图所示)，设主动轮M 的曲径为150mm ，从动轮N 的曲径为300 mm ，若主动轮M 顺时针转化π2，则从动轮N 顺时针转化( )A.π8B.π4C.π2D ．π剖析：选B 设从动轮N 顺时针转化θ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转化的弧少相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，故选B.2．若角α与角x ＋π4有相共的终边，角β与角x －π4有相共的终边，那么α与β间的闭系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)剖析：选D ∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z)，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．3.如图，扇形AOB 的里积是1，它的弧少是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB 的少为________．剖析：由扇形里积公式S ＝12lr ，又α＝l r ，可得S ＝l22α，所以α＝2，易得r ＝1，分离图像知AB ＝2r sin α2＝2sin 1.问案：2 2sin 14．已知角α，β的终边闭于x ＋y ＝0对付称，且α＝－π3，则β＝________.剖析：如图所示，－π3角的终边闭于y ＝－x 对付称的射线对付应角为－π4＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝－π6，所以β＝－π6＋2k π，k ∈Z.问案：2k π－π6，k ∈Z5．已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)正在区间[－4π，π]上找出与α终边相共的角． 解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3，又π2<2π3<π，∴角α与2π3的终边相共，∴角α是第二象限的角．(2)∵与角α终边相共的角(含角α正在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ，∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16.∵k ∈Z ，∴k ＝－2或者k ＝－1或者k ＝0. 故正在区间[－4π，π]上与角α终边相共的角是 －10π3，－4π3，2π3.6．《九章算术》是华夏古代第一部数教博著，成于公元一世纪安排，系统归纳了战国、秦、汉时期的数教成便．其中《圆田》一章中纪录了估计弧田(弧田便是由圆弧战其所对付弦所围成的弓形)的里积所用的体味公式：弧田里积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对付弦少，“矢”等于半径少与圆心到弦的距离之好．依照上述体味公式估计所得弧田里积与其本质里积之间存留缺面．现有圆心角为2π3，弦少为40 3 m 的弧田，其本质里积与依照上述体味公式估计出弧田的里积之间的缺面为________．(其中π≈3，3≈1.73)剖析：果为圆心角为2π3，弦少为40 3 m ，所以圆心到弦的距离为20 m ，半径为40 m ，果此根据体味公式估计出弧田的里积为12(403×20＋20×20)＝(4003＋200)m 2，本质里积等于扇形里积减去三角形里积，为12×2π3×402－12×20×403＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 600π3－4003m 2，果此二者之好为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m2.问案：16 m27.2任性角的三角函数1.类比钝角三角函数定义，借帮曲角三角形定义任性角的三角函数(正弦、余弦、正切)．2.通过教习，普及教死曲瞅设念、数教抽象与数教修模的核心修养．知识面一任性角的正弦、余弦与正切的定义(一)课本梳理挖空前提如图，设α是一个任性角，P(x，y)是α终边上同于本面的任性一面，r＝x2＋y2定义正弦yr称为α的正弦，记做sin α，即sin α＝yr余弦xr称为α的余弦，记做cos α，即cos α＝xr正切yx称为α的正切，记做tan α，即tan α＝yx三角函数对付于每一个角α，皆有唯一决定的正弦、余弦与之对付应；当α≠π2＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对付应．角α的正弦、余弦与正切，皆称为α的三角函数(二)基础知能小试1．推断正误(1)共一个三角函数值只可有唯一的一个角与之对付应．()(2)sin α，cos α，tan α的值与面P(x，y)正在角α终边上的位子无闭．()问案：(1)×(2)√2．若α的终边与x轴背半轴沉合，则sin α＝__________，cos α＝________，tan α＝________.剖析：当α的终边与x轴背半轴沉适时，设角α的终边上一面P 的坐标为(－1,0)，则sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.问案：0－10知识面二正弦、余弦与正切正在各象限的标记(一)课本梳理挖空sin α、cos α、tan α正在各个象限的标记如下：[微思索]何如赶快影象三角函数值正在各象限的标记？提示：根据三角函数的定义可赶快推断三角函数值正在各象限的标记，也可用如下心诀影象：“一齐正，二正弦，三正切，四余弦”．(二)基础知能小试1．推断正误(1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.()(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的接面，则cos α＝－x.()(3)若sin α＞0，则α是第一或者第二象限角．()问案：(1)√(2)×(3)×2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角剖析：选B由正弦、余弦函数值正在各象限内的标记知，角α是第二象限角．题型一 三角函数的定义及应用[教透用活][典例1] (1)如果角θ的终边通过面P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角θ的终边上有一面P (x,2x －3)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，供sin θ＋cos θ的值．[剖析] (1)由题意知r ＝|OP |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，所以sin α＝y r ＝121＝12，cos α＝x r ＝－321＝－32，tan α＝y x ＝12－32＝－33.问案：12 －32 －33(2)由tan θ＝2x －3x ＝－x ，解得x ＝－3或者x ＝1.当x ＝－3时，P (－3，－9)，r ＝310，。
人教版高级中学数学必修三教案集.doc
人教版高中数学必修三教案集【教案】人教版高中数学必修三几何概型及均匀随机数的产生教案人教版高中数学必修３古典概型及随机数的产生教案人教版高中数学必修3概率的基本性质教案人教新课标高一数学随机事件的概率及概率的意义教案数学必修3 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案数学必修３用样本的频率分布估计总体分布教案新课标人教版高中数学必修 3 分层抽样教案高中数学必修３系统抽样教案（新课标人教版) 人教版高中数学必修３简单随机抽样教案人教版高中数学必修3 算法案例教案人教版高中数学必修３条件语句和循环语句教案人教版高中数学必修3 输入、输出语句和赋值语句教案.dｏc 人教版高中数学必修 3 程序框图教案人教版高中数学必修 3 算法的概念教案人教版高中数学必修一知识点规纳数学公式一、集合有关概念1．集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(１)元素的确定性,（2)元素的互异性,(3) 元素的无序性,３.集合的表示：{ }如:{我校的篮球队员}，｛太平洋,大西洋,印度洋，北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合:Ａ＝｛我校的篮球队员}，B={1,2，3,４,5｝(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
?注意:常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集)记作：Ｎ正整数集N*或N+ 整数集Ｚ有理数集Q实数集Ｒ1）列举法：{a,ｂ,ｃ}2）描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|x-3 2},{x| x-3 ２}3）语言描述法:例:｛不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类:(１) 有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5}二、集合间的基本关系1. 包含关系子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(２)A 与B是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,记作A Ｂ或B A２．相等关系：A=B (5 5，且5 5，则5=5）实例：设A＝{x|x2－1=0} B＝｛-1,1} 元素相同则两集合相等即:①任何一个集合是它本身的子集。
2020-2021学年人教版数学必修3配套学案：1.1.2 第2课时 条件结构
第2课时条件结构内容标准学科素养1.了解条件结构的概念，并明确其执行过程.2.理解条件结构在程序框图中的作用.3.会用条件结构设计程序框图解决有关问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第6页[基础认识]知识点条件结构预习教材P10－12，思考并完成以下问题在激烈市场竞争中'通常会遇到商品打折的情况，如某唱片在淘宝上的售价为25元，如果团购5个以上(含5个)，那么按九折收费．(1)对于这种算法，能用上节学的顺序结构画出它的程序框图吗？提示：显然需要判断顾客购买唱片的张数，直接用顺序结构无法画出其程序框图．(2)解关于x的方程ax＋b＝0的算法进行设计时，容易忽视的问题是什么？提示：判断a是否为0.知识梳理 1.条件结构的概念在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构．2．条件结构程序框图的形式名称双条件结构单条件结构结构形式特征两个步骤A、B根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A1．下列算法中，含有条件结构的是()A．求两个数的积B．求点到直线的距离C．解一元二次方程D．已知梯形两底和高求面积解析：解一元二次方程时，当判别式Δ<0时，方程无解，当Δ≥0时，方程有解，由于分情况，故用到条件结构．答案：C2．判断给出的整数n是否是偶数，设计程序框图时所含有的基本逻辑结构是() A．顺序结构B．条件结构C．顺序结构、条件结构D．以上都不正确解析：任何程序框图中都有顺序结构．当n能被2整除时，n是偶数；否则，n不是偶数，所以必须用条件结构来解决．故选C.答案：C3．如图所示，若输入x ＝－1，则输出y ＝__________．解析：∵－1<3， ∴y ＝4－(－1)＝5. 答案：5授课提示：对应学生用书第7页 探究一 条件结构的理解[例1] (1)下列关于条件结构的描述，不正确的是( )A ．条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的B ．条件结构的判断条件要写在判断框内C ．双选择条件结构有两个出口，单选择条件结构只有一个出口D ．条件结构根据条件是否成立，选择不同的分支执行 (2)给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值； ②求面积为6的正方形的周长； ③求a ，b ，c 三个数中的最大值；④求函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析] (1)条件结构含有判断框，条件写在判断框内，有一个入口，两个出口，根据条件成立与否，选择不同的出口，故A 、B 、D 正确，C 错误． (2)①③④都要对条件作出判断，用条件结构，②用顺序结构即可． [答案] (1)C (2)C方法技巧 条件结构不同于顺序结构的地方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口．跟踪探究 1.如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对 解析：是双选择条件结构形式． 答案：B探究二 条件结构的设计[阅读教材P 10例4及解答]任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图．[例2] 画出求分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ＋1（x ≥0），3x －2（x ＜0）的函数值的程序框图．[解析] 算法如下： 第一步，输入x 的值． 第二步，判断x 的大小． 若x ≥0，则y ＝2x ＋1； 若x ＜0，则y ＝3x －2. 第三步，输出y 的值． 程序框图如下：方法技巧 含有条件结构的程序框图的设计 设计程序框图时，首先设计算法步骤(自然语言)，再将算法步骤转化为程序框图(图形语言)．如果已经非常熟练地掌握了画程序框图的方法，那么可以省略设计算法步骤而直接画出程序框图．对于算法中含有分类讨论的步骤，在设计程序框图时，通常用条件结构来解决．延伸探究 1.将本例改为：已知函数y ＝⎩⎨⎧x （x ≥0）e x （x <0），画出输入一个数x ，求函数值的程序框图．解析：程序框图如图所示．2．仿照例2的解决方法，你能画出解关于x 的方程ax ＋b ＝0的算法的程序框图吗？ 解析：程序框图如图所示：探究三 条件结构的实际应用[例3] 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出一人加收1.2元．设计一个算法，根据住户的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．[解析] 设住户的人数为x ，收取的卫生费为y 元，依题意得y ＝⎩⎨⎧5 （x ≤3，x ∈N *），5＋1.2（x －3） （x ＞3，x ∈N *）. 这是一个分段函数求值问题，可用条件结构实现算法． 算法如下： 第一步：输入x .第二步：若x ≤3，则y ＝5；否则，y ＝5＋1.2(x －3)． 第三步：输出y .程序框图如图所示．方法技巧 与现实生活有关的题目经常需用到条件结构．解答时，首先根据题意写出函数表达式，然后设计成程序框图，解答此题的关键是写出函数解析式． 跟踪探究 2.设火车托运质量为w (kg)的行李时，每千米的费用(单位：元)标准为f ＝⎩⎨⎧0.4w ，w ≤30，0.4×30＋0.5（w －30），w ＞30，试画出路程为s 千米时行李托运费用M 的程序框图．解析：算法如下：第一步：输入物品质量w 、路程s ；第二步：若w ＞30.那么f ＝0.4×30＋0.5(w －30)；否则，f ＝0.4w ； 第三步：计算M ＝s ×f ； 第四步：输出M . 程序框图如图所示．授课提示：对应学生用书第8页[课后小结]1．条件结构是程序框图的重要组成部分，其特点是：先判断后执行．2．在利用条件结构画程序框图时要注意两点：一是需要判断的条件是什么；二是条件判断后分别对应着什么样的结果．3．对于算法中分类讨论的步骤，通常设计成条件结构来解决．[素养培优]条件结构中的讨论问题用程序框图表示解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法．易错分析两边同除以x的系数时，未保证系数不为0.自我纠正第一步，输入a，b的值．第二步，判断a＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x＝－b a，输出x，结束算法．第三步，判断b＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．程序框图为：。
高中数学(33几何概型)学案(1) 新人教A版必修3 学案
广东省佛山市顺德区高中数学《3.3几何概型》学案（1）新人教A版必修3【学习目标】1.正确理解几何概型的概念及其特点.2.掌握几何概型的概率公式.3.会根据几何概型与古典概型的区别和联系来判别某种题型是古典概型还是几何概型.会进行简单的几何概型的计算.【重点、难点】1.重点：体会随机模拟中的统计思想；用样本估计总体。
2.难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题。
自主学习案【知识梳理】(1)古典概型是古典概型的两个基本特征是(2)有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下，甲获胜的概率分别是请思考问题：这个试验中基本事件是什么？基本事件有多少个？每次基本事件发生的概率是否相同？甲获胜的概率与字母B所在区域的位置是否有关？与什么有关？(3)几何概型：定义：则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 特点:在几何概型中，事件A的概率计算公式是：几何概型与古典概型有何异同？【预习自测】1.关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( )A. 几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个.B. 几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个.C. 几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等.D. 几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等.2. 教室分前、中、后三个面积相等的区域，则某学生被随机安排到中间区域的概率是__________.3. 如右图，在面积为4的正方形中有一个面积为1.5的圆,随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率为_______. 此问题是古典概型还是几何概型？________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1. 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？3()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）变式1.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？例2. 一张方桌平分为9个区域,如左图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：(1)豆子落在A区域；(2)豆子落在B区域；(3)豆子落在C区域；(4)豆子落在B或C区域；(5)豆子落在A或C区域.A B CB C BA B A变式2. 如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.(1) (2)例3.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.【当堂检测】1. 在区间[1,3]上任取一个数，则这个数大于1.5的概率为（）A. 0.25B.0.5C. 0.6D. 0.752. 向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是_________ .3. 在400ml 自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽取2ml的水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为___________.【小结】一．用几何概型解简单试验问题的方法1) 适当选择观察角度，把问题转化为几何概型；2) 把全部基本事件转化为与之对应的区域D；3) 把随机事件A转化为与之对应的区域E；4) 利用几何概型概率公式计算。
2020新课标人教A版高中数学必修3_高效课堂导学案(58页)
【文库独家】第一章算法初步1．1．1算法的概念二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：1、例题分析：例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数1做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：第一步：令f(x)=x2–2。
因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性典例剖析：1、基本概念题x-2y=-1,①例3 写出解二元一次方程组的算法2x+y=1②解：第一步，②-①×2得5y=3；③第二步，解③得y=3/5；第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5基础知识应用题例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
人教版高中数学必修3教材全套教案
第一章 算法初步1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）解二元一次方程组有几种方法？（2）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.（3）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①+②×2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=51. 第三步，②-①×2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=53. 第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(3)用代入消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得x=2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)+y=1.④ 第三步，解④得y=53.⑤ 第四步，把⑤代入③，得x=2×53－1=51. 第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(4)对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(,)1(,222111c y b x a c y b x a其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤： 第一步，①×b 2-②×b 1，得 （a 1b 2－a 2b 1）x=b 2c 1－b 1c 2.③ 第二步，解③，得x=12212112b a b a c b c b --.第三步，②×a 1-①×a 2，得（a 1b 2－a 2b 1）y=a 1c 2－a 2c 1.④ 第四步，解④，得y=12211221b a b a c a c a --.第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,1221122112212112b a b a c a c a y b a b a c b c b x(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例思路1例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数. （2）设计一个算法，判断35是否为质数. 算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数. 算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数. 变式训练请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i 表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n,得到余数r.判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到i 的值等于(n-1)为止. 算法如下：第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i=2.第三步，用i 除n,得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示. 第五步，判断“i ＞（n-1）”是否成立.若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程x 2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x 2-2,则方程x 2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点. “二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b ］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m ］和［m,b ］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m ］或［m,b ］，仍记为［a,b ］.对所得的区间［a,b ］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.第三步，取区间中点m=2ba.第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表..实际上，上述步骤也是求2的近似值的一个算法.例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回.第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.第二步，计算Δ=b2－4ac的值.第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.强调：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t （分钟），通话费用y （元），如何设计一个程序，计算通话的费用. 解：算法分析：数学模型实际上为：y 关于t 的分段函数. 关系式如下：y=⎪⎩⎪⎨⎧∉>+-+∈>-+≤<).,3(),1]3([1.022.0),,3(),3(1.022.0),30(,22.0Z t T T Z t t t t 其中［t －3］表示取不大于t －3的整数部分. 算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y=0.2+0.1×(t －3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t －3］+1）. 第三步，输出通话费用c. 课堂小结（1）正确理解算法这一概念.(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法. 作业课本本节练习1、2.1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构整体设计授课时间：第周年月日（星期）三维目标1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.重点难点数学重点：程序框图的画法.数学难点：程序框图的画法.教学过程第1课时程序框图及顺序结构导入新课思路1（情境导入）我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.思路2（直接导入）用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图.推进新课新知探究提出问题（1）什么是程序框图？（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.（5）说出判断框的图形符号与功能.（6）说出流程线的图形符号与功能.（7）说出连接点的图形符号与功能.（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.（9）什么是顺序结构？讨论结果：（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口．（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口．（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．（6）流程线：表示程序的流向．（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起． （8）总结如下表. 图形符号名称 功能终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构. 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：顺序结构 条件结构 循环结构 应用示例例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.解：程序框图如下:强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.变式训练观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值.例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c ，则三角形的面积为S=))()((c p b p a p p ---），其中p=2cb a ++.这个公式被称为海伦—秦九韶公式） 算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c. 第二步，计算p=2cb a ++. 第三步，计算S=))()((c p b p a p p ---.第四步，输出S. 程序框图如下：强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知a 1=3，输出的b=7, 求a 2的值. 解：根据题意221a a +=7, ∵a 1=3,∴a 2=11.即a 2的值为11. 知能训练有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格. 解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤： 2005年P=10 000×（1+3%）=10 300； 2006年P=10 300×（1+3%）=10 609； 2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27； 2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09； 年份 2004 2005 2006 2007 2008 钢琴的价格10 00010 30010 60910 927.2711 255.09程序框图如下： 强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升如上给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______________.答案：i>10.课堂小结（1）掌握程序框的画法和功能.（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法. 作业习题1.1A 1.第2课时条件结构导入新课思路1（情境导入）我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.提出问题（1）举例说明什么是分类讨论思想？（2）什么是条件结构？（3）试用程序框图表示条件结构.（4）指出条件结构的两种形式的区别.讨论结果：（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.（3）用程序框图表示条件结构如下．条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．图1 图2注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.应用示例例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a，b，c.第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.程序框图如右图：强调：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.例2 设计一个求解一元二次方程ax 2+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示. 算法分析：我们知道，若判别式Δ=b 2-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根 x 1=ab 2∆+-,x 2=a b 2∆--；若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x 1=x 2=ab2-； 若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x 1和x 2之前，先计算p=ab2-，q=a 2∆.解决这一问题的算法步骤如下： 第一步，输入3个系数a ，b ，c. 第二步，计算Δ=b 2-4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=ab2-，q=a 2∆；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x 1=x 2=p ；否则，计算x 1=p+q ，x 2=p-q ，并输出x 1，x 2.程序框图如下：例3 设计算法判断一元二次方程ax 2+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图. 解：算法步骤如下：第一步，输入3个系数：a ，b ，c. 第二步，计算Δ=b 2－4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法. 相应的程序框图如右：强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b 2－4ac 的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次方程有实数根；（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构.例4 （1）设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图. 解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下： （1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是ab -； （2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解； （3）当a=0，b≠0时，方程无解.联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤： 第一步，判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为ab -”. 第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R ”.第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法. 程序框图如右：强调：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练设计算法，找出输入的三个不相等实数a 、b 、c 中的最大值，并画出流程图. 解：算法步骤：第一步，输入a ，b ，c 的值.第二步，判断a>b 是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.第三步，判断a>c 是否成立，若成立，则输出a ，并结束；否则输出c ，并结束. 第四步，判断b>c 是否成立，若成立，则输出b ，并结束；否则输出c ，并结束. 程序框图如右：例 5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算： f=⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤).50(,85.0)50(53.050),50(,53.0ωωωω其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）. 试画出计算费用f 的程序框图.分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f 的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分支条件结构.其中，物品的重量通过输入的方式给出.解：算法程序框图如右图： 拓展提升有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km 的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价．分析：由该点坐标(x ，y)，求其与市中心的距离r=22y x +，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p ．由题意知，p=⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤<.25,20,2515,60,150,100r r r解：程序框图如下： 课堂小结（1）理解两种条件结构的特点和区别.（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题. 作业习题1.1A 组3.3课时循环结构授课时间：第周年月日（星期）导入新课思路1（情境导入）我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作，今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习了条件结构，条件结构像有分支的河流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结构——循环结构.提出问题（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.（2）什么是循环结构、循环体？（3）试用程序框图表示循环结构.（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.讨论结果：（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.（3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.1°当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.2°直到型循环结构，如图（2）所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P 时成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.见示意图：当型循环结构直到型循环结构(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环.当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环.两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体.应用示例思路1例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.。
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第一章算法初步1.1算法与程序框图 1.1.1算法的概念授课时间：第_周 _____________ 年_月—日（星期_）教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述： 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤• ”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程 组的算法•教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固 三维目标1•正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点• 2•通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路3•通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣 重点难点教学重点：算法的含义及应用 • 教学难点：写出解决一类问题的算法•教学过程导入新课思路1 （情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数 量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊 •该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容 一一算法•思路2 （情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念思路3 （直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础•在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具 •听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要 想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始 推进新课 新知探究 提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？x 2y 1,（1）总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤2x y 1, （2） x 2v 1 （1）总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤2x y 1, （2）（4 ）请写出解一般二元一次方程组的步骤 （5） 根据上述实例谈谈你对算法的理解 （6） 请同学们总结算法的特征 .（7） 请思考我们学习算法的意义 • 讨论结果：（2）结合教材实例（3）结合教材实例(1) 代入消元法和加减消元法 (2) 回顾二元一次方程组x 2v 1 (1)的求解过程，我们可以归纳出以下步骤:2x v 1, (2)第一步，①+②疋，得5x=1.③ 1 第二步，解③，得x=-.5 第三步，②-①X2,得5y=3.④ 3 第四步，解④，得 y=.5第五步，得到方程组的解为(3) 用代入消元法解二元一次方程组x 2v 1 (1) 我们可以归纳出以下步骤:2x y 1, (2)第一步，由①得x=2y — 1.③ 第二步，把③代入②，得 2(2y — 1)+y=1.④3第三步，解④得y=.⑤53 1 第四步，把⑤代入③，得x=2X 3 —仁丄.55第五步，得到方程组的解为1 x53 y(4)对于一般的二元一次方程组a 1x C 1,⑴a ?xb 2yC 2, (2)其中a 1b 2 — 32b 1M 可以写出类似的求解步骤: 第一步，①©2-②心，得(a 1b 2 — a 2b 1) x=b 2C 1 — be.③第三步，② Xa 1-① 吃，得(a 1b 2— a 2b 1)y=a 1C 2 — a 2C 1.④a 1 C 2 a 2C 1第四步，解④，得 y=4a 〔b 2 a ?b 1第二步，解③，得b 2C ] b 1c 2x=玄1匕 2 玄x b2& be (5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的 算法，菜谱是做菜的算法等等 •在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏 •不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务 •②逻辑性：算法从开始的第一步”直到最后一步”之间做到环环相扣, 分工明确， 前一步”是 后一步”的前提，后一步”是 前一步”的继续•③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到 达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法 •也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法 •算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是 一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果 •因此算法是计算科学的重要基础 •应用示例思路1例1( 1)设计一个算法，判断 7是否为质数.(2) 设计一个算法，判断 35是否为质数•算法分析：(1 )根据质数的定义，可以这样判断：依次用 2 — 6除7,如果它们中有一个能整除 7,则7不是质数，否则7是质数.算法如下： (1)第一步，用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7. 第二步，用3除7,得到余数1•因为余数不为 第三步，用4除7,得到余数3•因为余数不为 第四步，用5除7,得到余数2•因为余数不为 第五步，用6除7,得到余数1•因为余数不为 (2)类似地，可写出 判断35是否为质数”的算法：第一步，用 2除35,得到余数1•因为余数不为0，所以2不能 整除35. 第二步，用3除35,得到余数2•因为余数不为0,所以3不能整除35. 第三步，用4除35,得到余数3•因为余数不为0,所以4不能整除35.第四步，用5除35,得到余数0•因为余数为0,所以5能整除35.因此，35不是质数. 变式训练请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2),若用i 表示2— (n-1)中的任意整数，则判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n,得到余数r.判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将 i 的值增加1,再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i 的值等于(n-1)为止.算法如下：第一步，给定大于 2的整数n.第二步，令i=2.第三步，用i 除n,得到余数r.第四步，判断“r=0是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增加1,仍用i 表示. 第五步，判断“A (n-1)”是否成立.若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步 . 例2写出用 二分法”求方程x 2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析：令f(x)=x 2-2,则方程x 2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.第五步，得到方程组的解为ai b 2 a 2 b i a 〔C 2 a ?C i a 〔b 2 a ?b i0，所以3不能整除7. 0，所以4不能整除7.0，所以5不能整除7. 0，所以6不能整除7•因此,7是质数.二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a) f(b)<0 ) 一分为二”，得到［a,m］和］m,b:. 根据“ f(a)x- f(m)是否成立，取出零点所在的区间］a,m］或［m,b］,仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间］a,b］足够小”则］a,b］内的数可以作为方程的近似解•解：第一步，令f(x)=x2_2,给定精确度d.第二步，确定区间］a,b］,满足f(a) f(b)<0.第三步，取区间中点m=a b.2第四步，若f(a) f(m)<0 ,则含零点的区间为］a,m］；否则，含零点的区间为］m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m )是否等于0•若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步•当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.于是，开区间(1.414 062 5,1.417 968 75 )中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解•实际上，上述步骤也是求,2的近似值的一个算法.例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊•该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回.第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的•这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步，输入一元二次方程的系数：a, b, c.第二步，计算△=呂—4ac的值.第三步，判断是否成立•若成立，输出方程有实根”；否则输出方程无实根”结束算法.强调：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性•让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t (分钟)，通话费用y (元)，如何设计一个程序，计算通话的费用.解：算法分析：数学模型实际上为：y关于t的分段函数. 关系式如下：0.22,(0 t 3),y= 0.22 0.1(t 3),(t 3,t Z),0.22 0.1([T 3] 1),仃3,t Z).其中]t- 3]表示取不大于t- 3的整数部分.算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t 那么y=0.22 ;否则判断t€ Z是否成立，若成立执行y=0.2+0.1 (t—3);否则执行y=0.2+0.1 >(:t —3] +1). 第三步，输出通话费用c.课堂小结(1 )正确理解算法这一概念.⑵结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法作业课本本节练习1、2.1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构整体设计授课时间：第 _周____________ 年_月_日(星期_)三维目标1 •熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2 •通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程•在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构3•通过比较体会程序框图的直观性、准确性.重点难点数学重点：程序框图的画法• 数学难点：程序框图的画法•教学过程第1课时程序框图及顺序结构导入新课思路1 (情境导入)我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图•旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法•今天我们开始学习程序框图•思路2 (直接导入)用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确•因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法•今天开始学习程序框图•推进新课新知探究提出问题(1)什么是程序框图？(2)说出终端框(起止框)的图形符号与功能•(3 )说出输入、输出框的图形符号与功能•(4)说出处理框(执行框)的图形符号与功能•(5 )说出判断框的图形符号与功能•(6 )说出流程线的图形符号与功能•(7 )说出连接点的图形符号与功能•(8 )总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能(9)什么是顺序结构？讨论结果：(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序•(2)椭圆形框：f二】表示程序的开始和结束，称为终端框(起止框) •表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口.(3)平行四边形框：.—「表示一个算法输入和输出的信息，又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口.(4 )矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框(执行框) ，它有一个入口和一个出口.(5 )菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口.(6 )流程线：—•.表示程序的流向. (7)圆圈： 连接点.表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起.(8) 总结如下表.图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束 /」F输入、输出框 表示 个算法输入和输出的信息处理框(执行框)赋值、计算<>判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明 是”或“ Y ；不成立时标明否”或“ N”1 H 1流程线 连接程序框O连接点 连接程序框图的两部分(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：例2已知一个三角形三条边的边长分别为 a , b , c ,利用海伦一秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画a,b,c ,则三角形的面积为 S=yl—a)(p ―b)(p —C)),其中,出卞不是欣輕/出检&质 畛"顺序结构 应用示例 例1请用程序框图表示前面讲过的判断整数n(n>2)是否为质数的算法•解：程序框图如下：强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确 程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法•这里只是让同学们初步了解变式训练观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求1 99 100的值.出程序框图表示•(已知三角形三边边长分别为条件结构循环结构a b cp=•这个公式被称为海伦一秦九韶公式)2算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出 p 的值，再将它代入分式，最后输出结果•因此只用顺序结构应能表达出算法• 算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长 a,b,c.第三步，计算 s= p(p a)(p b)( p c). 第四步，输出s.程序框图如下: 强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开 的基本结构. 变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知 a i =3，输出的b=7,求a 2的值• 解：根据题意亚=7,2T a i =3, /. a 2=11.即卩 a 2 的值为 11.知能训练有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在 3 %左右，这将对我国经济的稳定有利无害 .所谓通货 膨胀率为3%,指的是每年消费品的价格增长率为 3% .在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元, 请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：2005 年 P=10 000 ( 1+3%) =10 300 ;2006 年 P=10 300 ( 1+3%) =10 609 ; 2007 年 P=10 609 ( 1+3% ) =10 927.27; 2008 年 P=10 927.27 (1+3%) =11 255.09 ;因此，价格的变化情况表为：111 1如上给岀的是计算 一 一 一一的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是程序框图如下：强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路, 指的是写出算法步骤、画出程序框图 .拓展提升第二步，计算a b p=2将问题解决掉.最后将解题步骤细化”就可以.细化2 4 6 20答案：i>10.课堂小结（1）掌握程序框的画法和功能•（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法作业习题1.1A 1.导入新课思路1 （情境导入）我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟 们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意 •过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我 们开始学习新的逻辑结构 ——条件结构•思路2 （直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的, 今天我们开始学习有分支的逻辑结构 ——条件结构•提出问题（1） 举例说明什么是分类讨论思想？ （2） 什么是条件结构？（3） 试用程序框图表示条件结构 •（4） 指出条件结构的两种形式的区别 • 讨论结果：（1） 例如解不等式 ax>8（a 工0不等式两边需要同除 a,需要明确知道a 的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类 讨论，这就是分类讨论思想 •（2） 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断， 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向•条件结构就是处理这种过程的结构•（3）用程序框图表示条件结构如下.条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构） 程如下：条件成立，则执行 A 框；不成立，则执行 B 框.行任何操作，如图 2. （4）一种是在两个 分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行 步骤A ” ,否则执行步骤B”;另一种是在一个 分支”中均包含算法的步骤 A ，而在另一个 分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行步骤A ”，否则执行这个 条件结构后的步骤 应用示例例1任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在， 并画出这个算法的程序框图•算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这 3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构• 算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a, b , c ・第二步，判断a+b>c , b+c>a , c+a>b 是否同时成立•若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形 程序框图如右图：第2课时条件结构，如图1 所示•执行过即不执注：无论条件是强调：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满 足则不存在这样的三角形•这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用 到条件结构• 例2 设计一个求解一元二次方程ax 2+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示 算法分析：我们知道，若判别式 △ =&-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根b i b 、 X 1= ------------ ,X 2=—2a2a若△ =Q 则原方程有两个相等的实数根X i =X 2=—；2a若△ <Q 则原方程没有实数根•也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的 步骤，这个过程可以用条件结构实现•解决这一问题的算法步骤如下: 第一步，输入3个系数a , b , c. 第二步，计算 △ =&-4ac.第四步，判断 △ =0是否成立.若是，则输出X I =X 2=p ;否则，计算 X i =p+q , X 2=p-q ，并输出X i , X 2. 程序框图如下：例3设计算法判断一元二次方程 ax 2+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图 .解：算法步骤如下：第一步，输入3个系数：a, b , c. 第二步，计算 △ =8— 4ac. 第三步，判断是否成立.若是，则输出 方程有实根”；否则，输出 方程无实根”结束算法.相应的程序框图如右：强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式 △ =b — 4ac 的值.再分成两种情况处理：(1)当4^0寸，一元二次方程有实数根；(2)当△<0时，一元二次方程无实数根 .该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况， 最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方 程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构例4 (1 )设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解 我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下:(1 )当时，方程有唯一的实数解是 b；a(2) 当a=0, b=0时，全体实数都是方程的解； (3)当a=0, 时，方程无解.又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算X 1和X 2之前，先计算p=b2a，q =~2a 第三步，判断是否成立•若是，则计算p= — , q= ;否则，输出2a 2a方程没有实数根”，结束算法联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤: 第一步，判断a^O是否成立•若成立，输出结果解为b”.a第二步，判断a=0, b=0是否同时成立•若成立，输出结果解集为R”.第三步，判断a=0, 是否同时成立•若成立，输出结果方程无解”，结束算法• 程序框图如右：强调：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对条件1”条件2”条件3” ••…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作•知能训练设计算法，找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值，并画出流程图•解：算法步骤：第一步，输入a, b, c的值•第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出c,并结束•第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出c,并结束•程序框图如右：例5 特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式•某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：0.53 ,( 50),f=50 0.53 ( 50) 0.85,( 50).其中f (单位：元)为托运费，3为托运物品的重量(单位：千克) •试画出计算费用f的程序框图•分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f的计算公式随物品重量3的变化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分支条件结构•其中，物品的重量通过输入的方式给出• 解：算法程序框图如右图：拓展提升有一城市，市区为半径为15 km的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示•市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价.II 2 2分析：由该点坐标(x, y),求其与市中心的距离r=、x2y2,确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p.由100,0 r 15,题意知，p= 60,15 r 25,20, r 25.解：程序框图如下: 课堂小结(1)理解两种条件结构的特点和区别•(2)能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题作业习题1.1A组3.3课时循环结构授课时间：第 _周 ____________ 年_月_日（星期 _）导入新课思路1 （情境导入）我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准•污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势•我们数学中有很多问题需要反复操作，今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构•思路2 （直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习了条件结构，条件结构像有分支的河流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结构一一循环结构•提出问题（1 ）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子（2 ）什么是循环结构、循环体？（3）试用程序框图表示循环结构•（4 ）指出两种循环结构的相同点和不同点讨论结果：（1 ）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构•反复执行的步骤称为循环体.（3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构•即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程•重复执行的处理步骤称为循环体•循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构1°当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构•继续执行下面的框图•2。
2020-2021学年人教版数学必修3配套学案：1.3 算法案例
1．3算法案例内容标准学科素养1.会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数.2.会用秦九韶算法求多项式的值.3.会在不同进位制间进行相互转化.提升数学运算发展逻辑推理培养数据分析授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一辗转相除法与更相减损术预习教材P34－37，思考并完成以下问题韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2 333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的．(1)如何求18与54的最大公约数？提示：短除法．(2)要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？提示：数值太大，短除法不方便用．知识梳理 1.辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n．第二步，计算m除以n所得的余数r．第三步，m＝n，n＝r．第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第二步．2．更相减损术(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．(2)其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二秦九韶算法预习教材P37－39，思考并完成以下问题已知多项式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.(1)求f(1)．提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.(2)若求f(39)，再代入运算出现什么情况？提示：运算量太大，不易运算．知识梳理秦九韶算法的算法原理把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0.这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点三进位制预习教材P40，思考并完成以下问题－45(1)今天是星期二，那么20天后是星期几？提示：20天后是星期一．(2)每周七天，逢七便又是一循环，这与我们所学过的十进制，逢十进一是否有相似之处？提示：其实一周七天，与十进制一样，相当于逢七进一，是七进制法．知识梳理 1.进位制(1)概念：进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制．(2)基数：几进制的基数就是几．2．不同进位制之间的互化(1)k进制化为十进制的方法：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k＋a0(a n，a n－1，…，a1，a0∈N，0＜a n＜k，0≤a n－1，…，a1，a0＜k)．(2)十进制化为k进制的方法——除k取余数．[自我检测]1．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是()A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都有解析：根据秦九韶算法的含义知选D.答案：D2．以下各数有可能是五进制数的是()A．15 B．106C．731 D．21 340解析：五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.答案：D3．228与1 995的最大公约数是__________．解析：1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，∴57是228与1 995的最大公约数．答案：57授课提示：对应学生用书第21页探究一求两个正整数的最大公约数[阅读教材P36例1]用更相减损术求98与63的最大公约数．方法步骤：第一步，任意给定两个正整数m，n(m>n)．第二步，计算m－n所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．[例1]分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．[解析]法一：(辗转相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319与261的最大公约数为29.法二：(更相减损术)319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.方法技巧 1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．2．利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．跟踪探究 1.用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．解析：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40，36÷2＝18.40÷2＝20，18÷2＝9. 20－9＝11，11－9＝2. 9－2＝7，7－2＝5. 5－2＝3，3－2＝1. 2－1＝1，1×2×2＝4.所以80与36的最大公约数为4.探究二 秦九韶算法[阅读教材P 38例2]已知一个5次多项式为f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝5时的值． 方法步骤：第一步，改写多项式；第二步，由内到外依次计算； 第三步，结论．[例2] 用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．[解析] f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x 所以有 v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＝21 324.故当x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324. 方法技巧 秦九韶算法原理及注意事项 (1)秦九韶算法的原理是 ⎩⎨⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，(k ＝1，2，…，n )． (2)在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，那么下一步，一直到最后一步就会全部算错，同学们在计算这种题时应格外小心．跟踪探究 2.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时的值时，v 3的值为( )A ．－144B ．－136C ．－57D ．34解析：根据秦九韶算法多项式可化为f (x )＝(((((3x ＋5)x ＋6)x ＋0)x －8)x ＋35)x ＋12. 由内向外计算v 0＝3； v 1＝3×(－4)＋5＝－7； v 2＝－7×(－4)＋6＝34； v 3＝34×(－4)＋0＝－136. 答案：B3．用秦九韶算法计算f (x )＝6x 5－4x 4＋x 3－2x 2－9x ，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5，4 B．5，5C．4，4 D．4，5解析：n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.答案：D探究三进位制[阅读教材P41例3]把二进制数110 011(2)化为十进制数．方法步骤：第一步，写成不同位上数字与2的幂的乘积之和；第二步，按照十进制数的运算规则进行计算．[例3]把“五进制”数1 234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数．[解析]∵1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，而∴1 234(5)＝194＝302(8)．方法技巧 1.把k进制数化为十进制数的方法是：先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算法则计算出结果．2．将十进制数化为k进制数的方法是除k取余法，即用k连续地去除十进制数所得的商，直到商为0为止，然后将余数倒排写出，即得到所求的k进制数．3．把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，再把这个数转化为另一个非十进制数．延伸探究 1.将例题改为：把210(6)化成十进制数为__________．85化成七进制数为__________．解析：210(6)＝2×62＋1×6＝78，所以85＝151(7)．答案：78151(7)2．将例题改为：把1234(5)化成七进制数为__________．解析：∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而∴1 234(5)＝194＝365(7)．答案：365(7)授课提示：对应学生用书第23页[课后小结]1．求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．2．秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．3．把一个非十进制转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数．[素养培优]对秦九韶算法中的运算次数理解错误已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？易错分析在v1中虽然“v1＝2＋2＝4”，而计算机还是做了1次乘法“v1＝2×1＋2＝4”．因为用秦九韶算法计算多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，首先将多项式改写成f(x)＝(…(a n x＋a n－1)x＋…＋a1)x＋a0，然后再计算v1＝a n x＋a n－1，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0.无论a n是不是1，这次的乘法都是要进行的．自我纠正由以上分析，共做了5次乘法，5次加法．。
新人教A版必修32020学年高中数学第3章概率3_3_1几何概型学案
3．3.1 几何概型1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．几何概型有何特点？[提示]①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．2．古典概型与几何概型有何区别？[提示]古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．3．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( )(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．( )(3)几何概型的基本事件有无数多个．( )(4)从区间[－1,1]上取一个数，求取到1的概率属于几何概型．( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)×题型一与长度、角度有关的几何概型【典例1】(1)如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条直线CM ，与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率.[思路导引] (1)在A 、B 之间每一位置处安装路灯C ，D 都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关；(2)过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条直线CM ，与线段AB 交于点M . 基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与角度有关．[解] (1)记E ：“A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于10 m”，把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10 (m)，∴P (E )＝1030＝13.(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }， 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°， ∴P (A )＝67.5°90°＝34.(1)与长度有关的几何概型问题综述①如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．(2)与角度有关的几何概型的求法①当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．②与角度有关的几何概型的概率计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.③解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．④对于一个具体问题，能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个可度量的区域．⑤如果试验结果涉及的区域可用角表示，则可以判定需利用与角度有关的几何概型概率的计算公式解决．对于此类题，往往角的始边是固定的，只要考虑终边位置的情况即可．[针对训练1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． (2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23 (2)13题型二与面积有关的几何概型问题【典例2】 (1)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2) 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12[解析] (1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B.(2)易知点C 的坐标为(1,2)，点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.[答案] (1)B(2)B(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 ①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； ③套用公式，从而求得随机事件的概率．[针对训练2] 如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4[解析] 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.[答案] A题型三与体积有关的几何概型的问题【典例3】 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M 是AB 的中点，一只蜻蜓在几何体ADF —BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F —AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.12D.13[解析] 由三视图可知DA ，DC ，DF 两两垂直，且DA ＝DC ＝DF ＝a ， ∴V F —AMCD ＝13S 梯形AMCD ·DF ＝14a 3.又V ADF —BCE ＝12a 3，∴蜻蜓飞入几何体F —AMCD 内的概率为P ＝V F —AMCD V ADF －BCE ＝12. [答案] C体积型几何概型问题解法探秘(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积. (2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．[针对训练3] (1)一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为( )A.110B.25C.π45D.45－π45(2)一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20[解析] (1)长方体的体积为5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3×2×1＝6.根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为160＝110.(2)阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5.[答案] (1)A (2)A课堂归纳小结1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45[解析] 由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断，满足题意的位置有3米，由几何概型公式得到所求概率为5－25＝35，故选C.[答案] C2．如图，正方形ABCD 的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称，在正方形内随机取一点，则此点取自灰色部分的概率是( )A.π8B.12C.8－π8D ．4[解析] 设正方形的边长为2，根据几何概型概率计算公式，此点取自灰色部分的概率P ＝12π×122×2＝π8.故选A.[答案] A3．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6π B.32π C.3π D.233π[解析] 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝ 43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. [答案] D4．函数f (x )＝2x(x <0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23[解析] 函数f (x )＝2x(x <0)的值域为D ＝(0,1)，长度为1，区间(－1,2)的长度为3，所以概率为13.5．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14[解析] 如图，当AA ′的长度等于半径长度时∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P ＝2π32π＝13.故选C.[答案] C课后作业(二十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．已知函数f (x )＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x ，则使不等式f (x )>2成立的概率为( )A.14B.13C.12D.23[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f (x )>2可得x >1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f (x )>2成立的概率为14.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s ．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s 才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310[解析] 记“至少需要等待15 s 才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝40－1540＝58.[答案] B3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，则取到的点P 到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8[解析] 如图所示，设取到的点P 到O 的距离大于1为事件M ，则点P 应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－12×π×12＝2－π2，所以P (M )＝2－π22＝1－π4.[答案] B4．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A.310 B.15 C.25 D.45[解析] 在线段AB 上任取一点P ，事件“正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间”等价于事件“5＜|AP |＜7”，则所求概率为7－510＝15.[答案] B5．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )[解析] A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为13.[答案] A6．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．[解析] 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.[答案] 597．水池的容积是20 m 3，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1 m 3/h ，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．[解析] 如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A ，B 两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P ＝12×20×2024×24＝2572.[答案]25728．已知方程x 2＋3x ＋p4＋1＝0，若p 在[0,10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．[解析] 因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0,10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫p4＋1≥0，得p ≤5，所以对应区间[0,5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.[答案] 129．已知点M (x ，y )满足|x |≤1，|y |≤1.求点M 落在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率．[解] 如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为14π，则点M 落在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率为14π4＝π16.10．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？[解] (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81.应试能力等级练(时间20分钟)11．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1[解析] x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.[答案] B12．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．A.34B.23C.35D.15[解析] 若直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，则有圆心到直线的距离d ＝|5k |k 2＋1<3，即－34<k <34，所以所求概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.[答案] A13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．[解析] 如图，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，S △PBC ＝12|PB |·h .又因为S △PBC >14S △ABC ，所以|PB |>14|AB |，故△PBC 的面积大于S 4的概率是34.[答案] 3414．已知0<a <1，分别在区间(0，a )和(0,4－a )内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为316，则a 的值为________．[解析] 设所取的两个数分别为x ，y ，由题知所有基本事件构成的集合为Ω＝{(x ，y )|0<x <a,0<y <4－a,0<a <1}，其对应区域为矩形，面积为S (Ω)＝a (4－a )，而事件A ＝{(x ，y )∈Ω|x ＋y <1}，其对应区域面积为S (A )＝12(1＋1－a )a ，由几何概型的概率计算公式知316＝12(1＋1－a )a a (4－a )，即a (5a －4)＝0，解得a ＝45.[答案] 4515.如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．[解] (1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP－S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。
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教学过程第1课时案例1 辗转相除法与更相减损术导入新课思路1（情境导入）大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2（直接导入）前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题（1）怎样用短除法求最大公约数？（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？（4）怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146.由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813.同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：2 146=1 813×1+333，1 813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数为r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.程序框图如下图：程序：INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUT m，nr=1WHILE r＞0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.所以，98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243×1＋81，243=81×3＋0，则324与243的最大公约数为81.又135=81×1＋54，81=54×1＋27，54=27×2＋0，则81 与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81.135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：123＝2×48＋27，48＝1×27＋21，27＝1×21＋6，21＝3×6＋3，6＝2×3+0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.（2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2.80÷2=40，36÷2=18.40和18都是偶数，要除公因数2.40÷2=20，18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数，20－9=11，11－9=2，9－2=7，7－2=5，5－2=3，3－2=1，2－1=1，可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等. 变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．解：辗转相除法：1 734=816×2+102，816=102×8（余0），∴1 734与816的最大公约数是102．更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．利用更相减损术可另解：1 734－816＝918，918－816＝102，816－102＝714，714－102＝612，612－102＝510，510－102＝408，408－102＝306，306－102＝204，204－102＝102.∴1 734与816的最大公约数是102．知能训练求319，377，116的最大公约数．解：377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2.∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377，319，116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．解：更相减损术程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE m<>nIF m>n THENｍ＝m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.作业分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．解：辗转相除法：319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319与261的最大公约数是29．更相减损术：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数是29．设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想.本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．第2课时案例2 秦九韶算法导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f （x ）=5x 5+2x 4+3.5x 3-2.6x 2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k-1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n －1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次. 例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法.通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.第3课时案例3 进位制导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.推进新课新知探究提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果. 变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.作业习题1.3A组3、4.设计感想计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时，计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的，另外，进位制也是高考的重点，本节设置了多种题型供学生训练，所以这节课非常实用.第2课时导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.推进新课新知探究提出问题（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？（7）利用计算机如何求回归直线的方程？（8）利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式。
2020-2021学年人教版数学必修3配套学案：1.1.2 第1课时 程序框图、顺序结构
1．1.2程序框图与算法的基本逻辑结构第1课时程序框图、顺序结构内容标准学科素养1.掌握程序框图的概念.2.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.3.能用程序框图表示顺序结构的算法.发展逻辑推理应用直观想象提升数学建模授课提示：对应学生用书第3页[基础认识]知识点一程序框图预习教材P6－7，思考并完成以下问题我们都喜欢旅游，进入景区大门后，我们首先看到的是景点线路图，通过观看景点线路图能直观、迅速、准确的知道景区有哪几个景点，各景点之间按怎样的路径走，从而避免迷途或者漏掉景点的事情发生．(1)为什么要用图形的方法表示算法？提示：算法是由一系列明确和有限的计算步骤组成的，我们可以用自然语言表述一个算法，但往往过程复杂，缺乏直观性、简洁性，并且不容易理解．因此，我们有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法，即通过程序框图来实现．(2)程序框图由哪几部分构成？根据你的预习你能归纳出来吗？提示：通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线是带方向箭头的线，按照算法进行的顺序将程序框连接起来，程序框图主要包括以下几个部分：①实现不同算法功能的相对应的程序框图的图形符号；②带箭头的流程线；③程序框内有必要的说明文字．知识梳理 1.程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．(2)在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．2．图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框)赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框○连接点连接程序框图的两部分7－9知识梳理 1.算法的基本逻辑结构顺序结构、条件结构和循环结构是算法的基本逻辑结构，所有算法都是由这三种基本结构构成的．2．顺序结构的定义由若干个依次执行的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构．3．结构形式思考：在顺序结构的图示中，“步骤n”与“步骤n＋1”的执行顺序是怎样的？提示：是依次执行的，即执行完“步骤n”框操作后，才执行“步骤n＋1”框的操作．[自我检测]1．下列图形符号属于判断框的是()答案：C2．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可以分别写在不同的() A．处理框内B．判断框内C．输入、输出框内D．起、止框内答案：A3．在如图所示的程序框图中，若输入A＝7，则输出的结果S＝__________．解析：A＝7，S＝3×7－1＝20.答案：20授课提示：对应学生用书第4页探究一程序框的认识与理解[例1]下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有()①任何一个流程图必须有起止框；②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框，正确．②输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，错误．③正确．④判断框内的条件不是唯一的，错误．故选B.[答案] B方法技巧 1.理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂；2．起止框用“”表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束；3．输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；4．处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框；5．判断框用“”表示，是唯一具有超过一个退出点的图形符号．跟踪探究 1.下列说法正确的是()A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定B.也可以用来执行计算语句C．程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框D．用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接解析：一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输入、输出信息，不能用来执行计算．答案：D探究二程序框图的设计[阅读教材P9例3]已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示．方法步骤：第一步，输入三角形三条边的边长a，b，c.第二步，计算p＝a＋b＋c2.第三步，计算S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.第四步，输出S.第五步，画出程序框图(图见教材1.1－7)．[例2]已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个求直角三角形内切圆面积的算法，并画出对应的程序框图．[解析]算法步骤如下：第一步，输入直角三角形的直角边a，b的值．第二步，计算斜边c＝a2＋b2.第三步，计算直角三角形内切圆半径r＝12(a＋b－c)．第四步，计算内切圆面积S＝πr2. 第五步，输出S.程序框图如图所示：方法技巧 1.对于套用公式求解的问题往往运用顺序结构，编写顺序结构的算法，应写公式，看公式中的条件是否满足，若不满足，则先求出需要量，然后将公式中涉及的量全部代入求值即可．2．顺序结构的特点语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的，可以形象称之为“一串糖葫芦”．3．顺序结构在程序框图中的表现就是用流程线将程序框自上而下连接起来，按顺序执行．中间没有“转弯”，也没有“回头”，顺序结构只能解决一些简单问题．跟踪探究 2.设计一个程序框图，求上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．解析：算法步骤如下：第一步，输入梯形的上底为a＝2，下底为b＝4，高为h＝5的值．第二步，计算梯形面积，S＝（a＋b）h2第三步，输出S程序框图如图所示：3．下列程序框图中表示已知直角三角形两直角边a，b，求斜边c的算法的是()解析：画程序框图时，应先输入a，b，再计算c＝a2＋b2，最后输出c.答案：C探究三程序框图的应用[例3]如图所示是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)该框图解决的是怎样的一个问题？(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?[解析](1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．(2)y1＝3，即2a＋b＝3.①y2＝－2，即－3a＋b＝－2.②由①②得a＝1，b＝1.∴f(x)＝x＋1.∴当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6.(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因此当输入的x值为－1时，输出的函数值为0. 方法技巧由程序框图识别算法功能应注意的问题根据算法功能求输出结果，或根据输出结果求框图中某一步骤，应注意以下几点：(1)要明确各框图符号的含义及作用；(2)要明确框图的方向流程；(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题．其中明确算法功能是解决此类问题的关键．跟踪探究 4.根据如图程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是__________．解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，故输出y的值为13.答案：135．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是__________．解析：∵x＝a2＋b2表示点(a，b)到原点(0，0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差．答案：计算点(a，b)到原点的距离与圆的半径之差授课提示：对应学生用书第6页[课后小结]1．在设计计算机程序时要画出程序运行的程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基础和开端．2．规范程序框图的表示：(1)使用标准的框图符号；(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；(3)除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点；(4)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．[素养培优]1．程序框图设计不全设计程序框图，求半径为10的圆的面积．错解程序框图如图：易错分析错误的根本原因在于程序框图中缺少终端框，不是完整的，因漏掉终端框而致误．一个完整的程序框图至少要有终端框和输入、输出框．自我纠正程序框图如图：2．混淆构成流程图的图形符号及作用已知x＝4，y＝2，画出计算w＝3x＋4y的值的流程图．易错分析输出框为平行四边形，此题中易错用矩形框．自我纠正如下图：。
人教版高中数学必修3教案
第一章算法初步1．1．1算法的概念一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
人教高中必修3数学教学教案
人教高中必修3数学教学教案人教高中必修3数学教学教案1教学目标(1)了解算法的含义，体会算法思想.(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力教学重难点重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计.难点：把自然语言转化为算法语言.情境导入电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手.作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);第二步：瞄准目标;第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;第四步：根据第三步的结果修正弹着点;第五步：开枪;第六步：迅速转移(或隐蔽).以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法.●课堂探究预习提升1.定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.2.描述方式自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图.3.算法的要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.4.算法的特征(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束.(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的.(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果.(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续.(5)不唯一性：解决同一问题的算法可以是不唯一的.课堂典例讲练命题方向1 对算法意义的理解例1.下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;②按顺序进行下列运算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到伦敦观看奥运会开幕式;④3x>x+1;⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….能称为算法的个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④，3x>x+1不是一个明确的步骤，不符合明确性;⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾.【答案】B[规律总结]1.正确理解算法的概念及其特点是解决问题的关键.2.针对判断语句是否是算法的问题，要看它的步骤是否是明确的和有效的，而且能在有限步骤之内解决这一问题.【变式训练】下列对算法的理解不正确的是________①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的②算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤③算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果④一个问题只能设计出一个算法【解析】由算法的有限性指包含的步骤是有限的故①正确;由算法的明确性是指每一步都是确定的故②正确;由算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果故③正确;由对于同一个问题可以有不同的算法故④不正确.【答案】④命题方向2 解方程(组)的算法例2.给出求解方程组的一个算法.[思路分析]解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法(即先将方程组化为一个三角形方程组，再通过回代方程求出方程组的解)解线性方程组.[规范解答]方法一：算法如下：第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11，即方程组可化为第二步，解方程③，可得y=-1，④第三步，将④代入①，可得2x-1=7，x=4，第四步，输出4，-1.方法二：算法如下：第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤第二步，把y=7-2x代入②，得x=4.第三步，把x=4代入⑤，得y=-1.第四步，输出4，-1.[规律总结]1.本题用了2种方法求解，对于问题的求解过程，我们既要强调对“通法、通解”的理解，又要强调对所学知识的灵活运用.2.设计算法时，经常遇到解方程(组)的问题，一般是按照数学上解方程(组)的方法进行设计，但应注意全面考虑方程解的情况，即先确定方程(组)是否有解，有解时有几个解，然后根据求解步骤设计算法步骤.【变式训练】【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③S2，解③得x=;S3，②-①×2得5y=3;④S4，解④得y=;命题方向3 筛选问题的算法设计例3.设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求出其中的最小值.[思路分析]比较a，b比较m与c―→最小数[规范解答]算法步骤如下：1.比较a与b的大小，若a2.比较m与c的大小，若m[规律总结]求最小(大)数就是从中筛选出最小(大)的一个，筛选过程中的每一步都是比较两个数的大小，保证了筛选的可行性，这种方法可以推广到从多个不同数中筛选出满足要求的一个.【变式训练】在下列数字序列中，写出搜索89的算法：21,3,0,9,15,72,89,91,93.[解析]1.先找到序列中的第一个数m，m=21;2.将m与89比较，是否相等，如果相等，则搜索到89;3.如果m与89不相等，则往下执行;4.继续将序列中的其他数赋给m，重复第2步，直到搜索到89.命题方向4 非数值性问题的算法例4.一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.(1)设计安全渡河的算法;(2)思考每一步算法所遵循的共同原则是什么?[解析](1)1.人带两只狼过河;2.人自己返回;3.人带一只狼过河;4.人自己返回;5.人带两只羚羊过河;6.人带两只狼返回;7.人带一只羚羊过河;8.人自己返回;9.人带两只狼过河.(2)在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊的数目大于狼的数目.[规律总结]1.对于非数值性的问题，在设计算法时，应当先建立过程模型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步连接一步组成的步骤.从而设计出算法.2.首先应想到先运两只狼，这是唯一的首选步骤，只有这样才可避免狼吃羊，带过一只羊后，必须将狼带回来才行.【变式训练】两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河?请写出你的渡河方案及算法.[解析]因为一次只能渡过一个大人或两个小孩，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方案算法为：1.两个小孩同船渡过河去;2.一个小孩划船回来;3.一个大人独自划船渡过河去;4.对岸的小孩划船回来;5.两个小孩再同船渡过河去;6.一个小孩划船回来;7.余下的一个大人独自划船渡过河去;8.对岸的小孩划船回来;9.两个小孩再同船渡过河去.课后习题1.以下对算法的描述正确的个数是()①对一类问题都有效;②对个别问题有效;③计算可以一步步地进行，每一步都有唯一的结果;④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C[解析]①③④正确，均符合算法的概念与要求，②不正确.2.算法的有限性是指()A.算法的最后必包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确[答案]C[解析]由算法的要求可知，应选C.3.下列语句中是算法的个数是()①从广州到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达;②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;③方程x2-1=0有两个实根;④求1+2+3+4的值，先计算1+2=3，再由3+3=6,6+4=10得最终结果10.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C[分析]解答本题可先正确理解算法的概念及其特点，然后逐一验证每个语句是否正确.[解析]①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务;②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方法;④中给出了求1+2+3+4的一个过程，最终得出结果.对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法.4.设计一个算法求方程5x+2y=22的正整数解，其最后输出的结果应为________.[答案](2,6)，(4,1)[解析]因为求方程的正整数解，所以应将x从1开始输入，直到方程成立.x=2时，y==6;5.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99. 求它的总分和平均成绩的一个算法为：1.取A=89，B=96，C=99;2.____①____;3.____②____;4.输出D，E.[解析]求总分需将三个数相加，求平均分，另需让总分除以3即可.x=4时，y==1.[答案]①计算总分D=A+B+C ②计算平均成绩E=人教高中必修3数学教学教案2本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需12课时，具体分配如下(仅供参考)：1.1.1 算法的概念约1课时1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构约4课时1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句约1课时1.2.2 条件语句约1课时1.2.3 循环语句约1课时1.3算法案例约3课时本章复习约1课时1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1(情境导入)一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.思路2(情境导入)大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步?答案：分三步，第一步：把冰箱门打开;第二步：把大象装进去;第三步：把冰箱门关上.上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.思路3(直接导入)算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.推进新课新知探究提出问题(1)解二元一次方程组有几种方法?(2)结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.(3)结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤.(5)根据上述实例谈谈你对算法的理解.(6)请同学们总结算法的特征.(7)请思考我们学习算法的意义.讨论结果：(1)代入消元法和加减消元法.(2)回顾二元一次方程组的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①+②×2，得5x=1.③第二步，解③，得x= .第三步，②-①×2，得5y=3.④第四步，解④，得y= .第五步，得到方程组的解为(3)用代入消元法解二元一次方程组我们可以归纳出以下步骤：第一步，由①得x=2y-1.③第二步，把③代入②，得2(2y-1)+y=1.④第三步，解④得y= .⑤第四步，把⑤代入③，得x=2× -1= .第五步，得到方程组的解为(4)对于一般的二元一次方程组其中a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：第一步，①×b2-②×b1，得(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③第二步，解③，得x= .第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④第四步，解④，得y= .第五步，得到方程组的解为(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.应用示例思路1例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数.(2)设计一个算法，判断35是否为质数.算法分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.算法如下：(1)第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.第二步，用3除 7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.变式训练请写出判断n(n >2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n( n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数;否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.算法如下：第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i=2.第三步，用i除n,得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法;否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i>(n-1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法;否则，返回第三步.例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)•f(b)<0)“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)•f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b]，仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.第二步，确定区间[a,b]，满足f(a)•f(b)<0.第三步，取区间中点m= .第四步，若f(a)•f(m)<0，则含零点的区间为[a,m];否则，含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解;否则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.a b |a-b|1 2 11 1.5 0.51.25 1.5 0.251.375 1.5 0.1251.375 1.437 5 0.062 51.406 25 1.437 5 0.031 251.406 25 1.421 875 0.015 6251.414 062 5 1.421 875 0.007 812 51.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25于是，开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求的近似值的一个算法.点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……思路2例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回.第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶.问：如何安排这几个步骤?并给出两种算法，再加以比较.分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题.解：算法一：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.第三步，沏茶.点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学.例3 写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.解：算法分析：第一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与AB 不平行的射线AP.第二步，在射线上任取一个不同于端点A的点C，得到线段AC.第三步，在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.第四步，在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.第五步，在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.第六步，在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC，那么线段AD=5AC.第七步，连结DB.第八步，过C作BD的平行线，交线段AB于M，这样点M 就是线段AB的一个5等分点.点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.第二步，计算Δ=b2-4ac的值.第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”，结束算法.点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元;如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t(分钟)，通话费用y(元)，如何设计一个程序，计算通话的费用.解：算法分析：数学模型实际上为：y关于t的分段函数.关系式如下：y=其中[t-3]表示取不大于t-3的整数部分.算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t≤3，那么y=0.22;否则判断t∈Z 是否成立，若成立执行y=0.2+0.1×(t-3);否则执行y=0.2+0.1×([t-3]+1).第三步，输出通话费用c.课堂小结(1)正确理解算法这一概念.(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.作业课本本节练习1、2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.人教高中必修3数学教学教案3教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换;学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律. 教学重点：各种进位制之间的互化. 教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计.教学过程：一、复习准备：1. 试用秦九韶算法求多项式52()42f_x当3x时的值，分析此过程共需多少次乘法运算?多少次加法运算?2. 提问：生活中我们常见的数字都是十进制的，。
人教版高中数学必修3教材全套教案
第一章 算法初步1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）解二元一次方程组有几种方法？（2）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.（3）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①+②×2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=51. 第三步，②-①×2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=53. 第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(3)用代入消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得x=2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)+y=1.④ 第三步，解④得y=53.⑤ 第四步，把⑤代入③，得x=2×53－1=51. 第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(4)对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(,)1(,222111c y b x a c y b x a其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤： 第一步，①×b 2-②×b 1，得 （a 1b 2－a 2b 1）x=b 2c 1－b 1c 2.③ 第二步，解③，得x=12212112b a b a c b c b --.第三步，②×a 1-①×a 2，得（a 1b 2－a 2b 1）y=a 1c 2－a 2c 1.④ 第四步，解④，得y=12211221b a b a c a c a --.第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,1221122112212112b a b a c a c a y b a b a c b c b x(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例思路1例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数. （2）设计一个算法，判断35是否为质数. 算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数. 算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数. 变式训练请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i 表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n,得到余数r.判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到i 的值等于(n-1)为止. 算法如下：第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i=2.第三步，用i 除n,得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示. 第五步，判断“i ＞（n-1）”是否成立.若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程x 2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x 2-2,则方程x 2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点. “二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b ］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m ］和［m,b ］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m ］或［m,b ］，仍记为［a,b ］.对所得的区间［a,b ］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.第三步，取区间中点m=2ba.第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表..实际上，上述步骤也是求2的近似值的一个算法.例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回.第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.强调：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.第二步，计算Δ=b2－4ac的值.第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.强调：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t （分钟），通话费用y （元），如何设计一个程序，计算通话的费用. 解：算法分析：数学模型实际上为：y 关于t 的分段函数. 关系式如下：y=⎪⎩⎪⎨⎧∉>+-+∈>-+≤<).,3(),1]3([1.022.0),,3(),3(1.022.0),30(,22.0Z t T T Z t t t t 其中［t －3］表示取不大于t －3的整数部分. 算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y=0.2+0.1×(t －3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t －3］+1）. 第三步，输出通话费用c. 课堂小结（1）正确理解算法这一概念.(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法. 作业课本本节练习1、2.1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构整体设计授课时间：第周年月日（星期）三维目标1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.重点难点数学重点：程序框图的画法.数学难点：程序框图的画法.教学过程第1课时程序框图及顺序结构导入新课思路1（情境导入）我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.思路2（直接导入）用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图.推进新课新知探究提出问题（1）什么是程序框图？（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.（5）说出判断框的图形符号与功能.（6）说出流程线的图形符号与功能.（7）说出连接点的图形符号与功能.（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.（9）什么是顺序结构？讨论结果：（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口．（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口．（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．（6）流程线：表示程序的流向．（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起． （8）总结如下表. 图形符号名称 功能终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构. 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：顺序结构 条件结构 循环结构 应用示例例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.解：程序框图如下:强调：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.变式训练观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值.例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c ，则三角形的面积为S=))()((c p b p a p p ---），其中p=2cb a ++.这个公式被称为海伦—秦九韶公式） 算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c. 第二步，计算p=2cb a ++. 第三步，计算S=))()((c p b p a p p ---.第四步，输出S. 程序框图如下：强调：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知a 1=3，输出的b=7, 求a 2的值. 解：根据题意221a a +=7, ∵a 1=3,∴a 2=11.即a 2的值为11. 知能训练有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格. 解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤： 2005年P=10 000×（1+3%）=10 300； 2006年P=10 300×（1+3%）=10 609； 2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27； 2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09； 年份 2004 2005 2006 2007 2008 钢琴的价格10 00010 30010 60910 927.2711 255.09程序框图如下： 强调：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升如上给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______________.答案：i>10.课堂小结（1）掌握程序框的画法和功能.（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法. 作业习题1.1A 1.第2课时条件结构导入新课思路1（情境导入）我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.提出问题（1）举例说明什么是分类讨论思想？（2）什么是条件结构？（3）试用程序框图表示条件结构.（4）指出条件结构的两种形式的区别.讨论结果：（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.（3）用程序框图表示条件结构如下．条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．图1 图2注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.应用示例例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a，b，c.第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.程序框图如右图：强调：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.例2 设计一个求解一元二次方程ax 2+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示. 算法分析：我们知道，若判别式Δ=b 2-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根 x 1=ab 2∆+-,x 2=a b 2∆--；若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x 1=x 2=ab2-； 若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x 1和x 2之前，先计算p=ab2-，q=a 2∆.解决这一问题的算法步骤如下： 第一步，输入3个系数a ，b ，c. 第二步，计算Δ=b 2-4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p=ab2-，q=a 2∆；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x 1=x 2=p ；否则，计算x 1=p+q ，x 2=p-q ，并输出x 1，x 2.程序框图如下：例3 设计算法判断一元二次方程ax 2+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图. 解：算法步骤如下：第一步，输入3个系数：a ，b ，c. 第二步，计算Δ=b 2－4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法. 相应的程序框图如右：强调：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b 2－4ac 的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次方程有实数根；（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构.例4 （1）设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图. 解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下： （1）当a≠0时，方程有唯一的实数解是ab -； （2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解； （3）当a=0，b≠0时，方程无解.联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤： 第一步，判断a≠0是否成立.若成立，输出结果“解为ab -”. 第二步，判断a=0，b=0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R ”.第三步，判断a=0，b≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法. 程序框图如右：强调：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练设计算法，找出输入的三个不相等实数a 、b 、c 中的最大值，并画出流程图. 解：算法步骤：第一步，输入a ，b ，c 的值.第二步，判断a>b 是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.第三步，判断a>c 是否成立，若成立，则输出a ，并结束；否则输出c ，并结束. 第四步，判断b>c 是否成立，若成立，则输出b ，并结束；否则输出c ，并结束. 程序框图如右：例 5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算： f=⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤).50(,85.0)50(53.050),50(,53.0ωωωω其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）. 试画出计算费用f 的程序框图.分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f 的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分支条件结构.其中，物品的重量通过输入的方式给出.解：算法程序框图如右图： 拓展提升有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km 的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x,y)，求该点的地价．分析：由该点坐标(x ，y)，求其与市中心的距离r=22y x +，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p ．由题意知，p=⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤<.25,20,2515,60,150,100r r r解：程序框图如下： 课堂小结（1）理解两种条件结构的特点和区别.（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题. 作业习题1.1A 组3.3课时循环结构授课时间：第周年月日（星期）导入新课思路1（情境导入）我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作，今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习了条件结构，条件结构像有分支的河流最后归入大海；事实上很多水系是循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结构——循环结构.提出问题（1）请大家举出一些常见的需要反复计算的例子.（2）什么是循环结构、循环体？（3）试用程序框图表示循环结构.（4）指出两种循环结构的相同点和不同点.讨论结果：（1）例如用二分法求方程的近似解、数列求和等.（2）在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.（3）在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体.循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.1°当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.2°直到型循环结构，如图（2）所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立.继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P 时成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构.继续执行下面的框图.见示意图：当型循环结构直到型循环结构(4)两种循环结构的不同点：直到型循环结构是程序先进入循环体，然后对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环.当型循环结构是在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环.两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中一定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体.应用示例思路1例1 设计一个计算1+2+……+100的值的算法，并画出程序框图.。
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教学资料范本
【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1
编辑：__________________
时间：__________________
【学习目标】
①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。
②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。
③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。
【自主学习】
1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。
2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。
3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。
【典例分析】
例1 求132与143的最大公约数。
跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480
例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。
143)(2367+-+-=x x x x x f
【快乐体验】 一、选择题
1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值
为（ ）
654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v
A.－9.8205
B.14.25
C.－22.445
D.30.9785
2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ）
A.31
B.93
C.217
D.651
二、解答题
3.用等值算法求下列各数的最大公约数.
（1）63，84； （2）351，513.
4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数.
（1）5207，8323； （2）5671， 10759.
5.求三个数779，209，589的最大公约数.
6.用秦九韶算法求多项式在时的值.
5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x
【反思回顾】
总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？。