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第八章

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解: 如题8-2图示

⎪⎩

⎪

⎨⎧

===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =

8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑⎰=⋅q

S E s

取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =⋅⎰

对(1) 1R r < 0,0==∑E q

(2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ

=

沿径向向外

(3) 2R r >

=∑q ∴ 0=E

题8-12图

8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， n E )(21210σσε-= 1σ面外， n E

)(21210

σσε+-=

2σ面外， n E )(21210

σσε+= n

：垂直于两平面由1σ面指为2σ面． 8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ， 球在O 点产生电场'd π4π343

0320

OO r E ερ=

∴ O 点电场'd 33

030OO r E ερ

= ；

(2) ρ+在O '产生电场'd

π4d 343

0301OO E ερπ='

球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场 0

03ερ

=

'E

'OO

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r

'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)

则 03ερr E PO =， 0

3ερr E O P '

-=' ,

∴ 0

003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P =

='-=+=' ∴腔内场强是均匀的． 8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．

解: 如题8-16图示 0π41ε=

O U 0)(=-R

q

R q

0π41ε=

O U )3(R q

R q -R q 0π6ε-

= ∴R

q q U U q A o C O 00π6)(ε=-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E

d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向

题8-17图

θ

εθ

λπ

π

cos π4d d 22

20⎰⎰-==R R E E y R 0π4ελ=［)2sin(π-2sin π-］R 0π2ελ-= (2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U

⎰

⎰===A

B

20

0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελ

ελελ 同理CD 产生2ln π402ελ=

U 半圆环产生0

034π4πελ

ελ==R R U ∴ 0

032142ln π2ελ

ελ+=

++=U U U U O 8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2

，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0

mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7

C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少? 解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

题8-22图

(1)∵ AB AC U U =，即

∴AB AB AC AC E E d d = ∴

2d d 21===AC

AB

AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A =

得,32S q A =σ S

q A

321=σ 而711023

2

-⨯-=-

=-=A C q S q σC C

10172-⨯-=-=S q B σ

(2) 30

1

103.2d d ⨯==

=AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势

题8-23图

⎰

⎰

∞

∞

==⋅=2

2

2

0π4π4d d R R R q

r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：0π4π42

02

0=-

=

R q R q U εε

(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且0π4'

π4'π4'2

02

01

0=+-+

-

=

R q q R q R q U A εεε

得q R R q 21=

' 外球壳上电势 ()22

021202020π4π4'π4'π4'R q R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+-= 8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两