数学解题五层境界

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数学学习的“九重境界”，学霸只能到第七层，看看你到第几层！

数学学习的“九重境界”，学霸只能到第七层，看看你到第几层！数学题很难，英语句子很长，语文文言文难懂，很多时候，我处于崩溃状态！我要去的区域很远，可是要做得工作许多，尤其是数学，难以想象，教师在教室黑板上，把一个英文字母算变成一个数据结果，尖子生对于此事表明钦佩，差生对于此事觉得无法想象。

数学一直就是我的恶梦，我也不知道从何下手。

前不久在互联网上看到了尖子生的九重人生境界，我不懂装懂，我只有到第三层（会刷题），而尖子生也只有到第七层（融会贯通）。

非常少有的人能到第九层。

数学成绩好的人，往往不会记公式定理俗话说得好：有道无术，术还行求，有术无道，止于术。

我觉得：学习培训数学和语文课一样，只需背会公式计算定律，就可以考出很好的成绩。

想不到普通高中数学彻底不一样，尽管记诵记忆力能够实际支出中小学六年，普通高中彻底被那样的逻辑思维压垮了。

班集体里有数学成绩好的同学们，她们从不如何上课，可是考试就能考高分数。

由于她们学习到了数学的关键逻辑思维。

把数学作为了一种方法，因此它们不用记忆力。

当提出去的情况下，大伙儿还要探讨的情况下，她们早已列出了回答。

在她们脑子里建立了数学逻辑思维，应对大体有条件刺激。

学数学的9个人生境界，看着你到第几层第一个台阶是能看懂：看得懂便是新手入门等级了，终究仅仅中国汉字，只需了解字，都能够看懂，因此，这一时期的学员，大多数是中小学生，连字还没有认全，处在懵懵懂懂的情况。

再深一层的含义，便是可以听得懂教师解读，可是自身还不可能做。

第二个台阶是能记住：能记牢，尽管迈了一个台阶，可是只有记牢许多种类题，还一定是教材练习题，如果是课余题，略微变化方式，就马上一脸懵逼了。

要想超越新的台阶，必须亲力亲为刷题了。

第三个台阶是能解题：这一台阶，基本上是在分数线周边彷徨，能否合格要看题难不会太难。

处在这一台阶的同学们，只需把教材题都搞好，就可以合格了。

我的数学成绩，长期性处在这一水准。

第四个台阶是娴熟答题：处在这种时期的学员，一般能够开展思维方式练习，目的性的训练，必须刻意练习去突破自己。

纪博士数数 12345 于特讲题 (12345模)型

纪博士数数12345 于特讲题学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。

不是所有的老师都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．1一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。

因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。

以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。

学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为_________．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α + β = 45︒则有tanα =a -1a +1，tan β =1a（a >1），当 a =32时，则得到tanα=2 13 5（了解）当a=2时，则得到tanα =1 12 3（重要）tan =βtan =βtan =βtan =当a = 4时，则得到tanα = 1 34 5（次重要）2β【例1】（济南市中考题）如图2-1，∠AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB的值是．图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E，F分别在AB，AD 上，若CE= 3 5，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2 10 B．3 5 C．510 D．105图2-2倍角与半角构造当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角⇔底角⇔顶角”解题依据“90︒如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．1－2顶角＝底角”．⑴若tan ∠BCA = 2，则tan ∠BAC = ．⑵若tan ∠BAC =43，则tan ∠ABC = ．3 3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若tan ∠AEN = 1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为10 ，对角线AC、BD 交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF ⊥ AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为。

初中数学-12345模型

初中数学——模型12345数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。

不是所有的老师都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。

以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。

学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3 的网格中标出了∠1 和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是BC 边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α+β= 45︒则有tanα=a - 1，a + 1tanβ=1（a>1），a当 a =3时，则得到tanα=2tan β=1（了解）2 3 5当a=2 时，则得到tanα=1tan β=1（重要）2 3当a =5时，则得到tanα=2tan β=3（了解）;2 5 7当a = 4 时，则得到tanα=1tan β=3（次重要）4 55510【例 1】（济南市中考题）如图2-1， ∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是．图 2-1【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD的边长为 6，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，若 CE = 3 ，且∠ECF =45°，则 CF 的长为（）A ． 2B ． 3C ．5103图 2-2倍角与半角构造D ．10 53当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角⇔ 底角⇔ 顶角”解题依据“ 90︒ 1 －顶角＝底角”． 2如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ． ⑴若 tan ∠BCA = 2 ，则 tan ∠BAC =．⑵若 tan ∠BAC = 4，则 tan ∠ABC =．3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN．若tan ∠AEN =1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为，对角线AC、BD 交于点O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF ⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为。

数学的五种境界

数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界肖老师电话1588632 qq490788061经典情境1命题原型1ab =求1111a b+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab=代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到原式=1111111a b ab ab a b b a ab ab ab++++++++ =1111111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。

通过代入消元法居然达到了通分的目的。

那么我们是不是可以巧妙的通分了。

答案是肯定的。

我们把第二个加数分子和分母同时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。

观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。

可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz yx y x xy yz xzy z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz ++三个一加和为1第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。

思路2恒等变形极其巧妙。

思路3化齐次是典型的高手思维。

根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。

齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。

数学学习：数学题求解的三个不同境界

数学学习：数学题求解的三个不同境界境界一：先不求最快，但求准确解读：这个境界是学生想学好数学必须要先到达的境界，好多学生自认为聪明，总想快快做完，得到老师的认可，这个小小的愿望老师可以理解，但是一味的图快，难免正确率下降，得不偿失，这是学习数学的大忌。

很多学生难达到这一点，原因是有的小聪明的学生往往犯了眼高手低的毛病，对所学知识没有真正深入掌握，浮于知识的表面，所以准确率低下，而对自己定位太高（也是受家庭的影响，在家里就是说一不二的主，唯我独尊型的人物），所以不能正视自己的缺点。

如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于120分（80%）。

境界二：在准确的前提下，提高做题速度解读：要想达到此境界，先过前一境界，然后积累知识到一定境界，所谓量变到一定程度导致质变，解释一下，不是让你泡到题海里做题，这个方法事倍功半，效率极低，最好是上课跟随老师的思路，优秀的教师往往善于剖析做题的心路历程，如何入手？那个地方是切入点？这要学生和老师的思维一定同步共振，进行思维对话。

作为一份试卷来讲，提高速度的一个很重要的战场是选择填空题，在数学卷里，这一部分占了76分，什么概念？一半的分值还多一分，如何提高选择填空的做题速度呢？三个字：巧、快、准。

其中三者之间，巧字首当其冲，数学的选择题有且只有一个答案，可以有排除法、特殊值验证法、数形结合法、直接法、经验法等等，这要积累，当达到对高中知识掌握的易如反掌的程度时，提高速度才是可能。

如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于135分（90%）。

境界三：准确速度没问题，就追求完美解读：还是那句话，先依次过前两个境界，才能谈这个境界。

这个境界就是在没有不会做的数学题了，那么就关注书写的步骤的连贯、简洁，逐步完善一些做题的细枝末节问题，使得一个雕塑的艺术品更加完美。

当然，这问题的训练不是等到最后才关注，这个能力的培养其实在一开始学数学时老师就渗透，不过这个方面在开始阶段不是重点，开始的重点是如何讲理论搞懂、弄明白、会用理论解决问题。

数学解题的五层境界

数学解题的五层境界
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。

一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。

对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。

第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库。

第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩
解题的最高境界是能够编题。

不是所有的人都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。

摘自网络。

做题的四种境界

例如图，AB=AC，BD、CE分别是 AC、AB上的高，求证：BD=CE。
A
E B
D C
A
• 拓展： • 适当改变条件。 • 还有哪些特殊的线？
E B
D C
• 变1：如果BD、CE分别是角B、C的平分线，结果又如何呢？ • 变1’：如果BD、CE分别是角B、C的三等分角线，结果又如何呢？ • 变1’：如果角CBD、BCE 相等，结果又如何呢？ • 变2：如果BD、CE分别是AC、AB上的中线，结果又如何呢？ • 变2’：如果D、E分别是AC、AB上的三等分点，结果又如何呢？ • 一般地，如果AD=AE，结果又如何？
做（讲）题的四种境界
寇元朝
• 第一种境界：就题讲（做）题，把题目弄清； • 第二种境界：发散试题的（多种）解法，拓展解题思路，把题目弄透； • 第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目弄活； • 第四种境界：探究试题立意（即设计意图），将试题玩弄于股掌之间，做试题的主人.
关注知识技能，让数学复习基础化
• 训练题组一： • 1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 • 2 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 • 3 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 • 4 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 • 5 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 • 6 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是矩形。 • 7 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是菱形。
关注课标，让数学复习注重实效
• 面向全体、注意差异. 组织练习题避免简单的重复,题目的情景要有明显的差异.要使学生对题目既感熟悉,又觉新鲜.从心理学角度分析,新颖的题目对学生刺激强,容易集中注意力,积极性高,思维敏捷,能收到较好的训练效果. 扩展性、层次性训练题要由易到难，层层推进，让学生处于思维水平的最近发展区，充分激发学生的求知欲。同时，问题选择一定内涵丰富，境界开阔。使学生通过对若干问题的具体情况进行观察而发现存在于探索对象背后的数学现象。因此，所选范例一要注意知识之间的横向联系；二要具有延伸性，三要注意思维的创造性和深刻性。

数学解题五步法

数学解题五步法嘿，咱聊聊数学解题五步法。

数学题，有时候就像个小怪兽，得有办法才能打败它。

这数学解题五步法，那可就是咱的秘密武器。

第一步，看清题目。

这就好比打仗前得先搞清楚敌人是谁。

题目里的每个字都得看仔细了，一个数字、一个符号都不能放过。

要是看漏了啥，那可就麻烦了。

你想想，要是上战场连敌人长啥样都没搞清楚，能打赢吗？第二步，分析问题。

这就像侦探破案一样，得从题目里找出线索。

看看这道题到底要咱干啥，有啥条件可以用。

把题目里的信息都捋清楚，就像把一团乱麻给理直了。

这可不是件容易的事，得动点脑筋。

但别怕，咱有办法。

第三步，选择方法。

这就像去超市买东西，得选对工具。

数学方法可多了，有加、减、乘、除，还有各种公式、定理。

得根据题目选合适的方法，就像选一把趁手的武器。

要是选不对，那可就白费力气了。

第四步，动手解题。

这时候就得大胆地往前冲了。

按照选好的方法，一步一步地算。

可不能粗心大意，一个数字算错了，全盘皆输。

就像盖房子，一块砖没放好，房子就可能塌了。

算的时候要仔细，要认真。

第五步，检查答案。

这就像打完仗要检查战场一样。

看看答案对不对，有没有漏解、错解。

把答案代回题目里看看，符不符合条件。

要是不检查，万一错了都不知道，那可就亏大了。

这数学解题五步法，就像一套组合拳。

一拳一拳打出去，就能把数学题这个小怪兽打败。

你说是不是？咱再举个例子。

比如说一道应用题，告诉你小明有几个苹果，小红有几个苹果，问他们一共有几个苹果。

这时候，第一步，看清题目，搞清楚有哪些数字，问题是啥。

第二步，分析问题，知道这是个加法问题。

第三步，选择方法，用加法。

第四步，动手解题，把数字加起来。

第五步，检查答案，看看算对了没有。

你看，这五步法多管用。

不管啥数学题，都能搞定。

总之，数学解题五步法是个好东西。

只要掌握了这五步法，数学题就不再是难题。

咱就能在数学的世界里尽情遨游，打败一个又一个小怪兽。

数学学习的金字塔法则从基础到高级

数学学习的金字塔法则从基础到高级数学是一门基础性的学科，从幼儿园开始就与我们的生活密切相关。

它不仅仅是一种技能，更是一种思维方式。

因此，建立坚实的数学基础非常重要，这就需要我们按照金字塔法则从基础到高级进行学习。

第一层：基本概念与技能在数学学习的金字塔中，基本概念与技能是最底层的基础。

不管是加减乘除还是数字大小比较，这些都是我们日常生活中必须掌握的基础数学概念与技能。

同时，我们还需要学会使用计算器和其他工具来辅助计算，这对于培养我们的计算能力非常重要。

第二层：问题解决能力当我们掌握了基本概念和技能后，我们需要培养解决问题的能力。

数学问题往往需要我们进行推理和分析，培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

我们可以通过做一些数学题目和解决实际生活中的问题来提高自己的解决问题的能力。

第三层：数学思维与创造力当我们具备了基本的概念、技能和问题解决能力后，我们可以开始培养自己的数学思维和创造力。

数学思维可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，创造力则可以帮助我们发现新的数学规律和方法。

第四层：高级数学知识金字塔的最高层是高级数学知识。

在掌握了基本的概念、技能、问题解决能力以及数学思维和创造力之后，我们可以开始学习更加复杂和抽象的数学知识，如代数、几何、微积分等。

这些高级数学知识将构成我们数学学习的巅峰，为我们未来深入学习数学打下坚实的基础。

总结数学学习的金字塔法则从基础到高级。

建立坚实的数学基础非常重要，这需要我们在基本概念与技能上打下良好的基础。

然后，我们需要培养问题解决能力，通过解决数学问题和实际生活问题来提高自己的思维能力。

接着，我们可以培养数学思维和创造力，从而更好地理解和解决数学问题。

最后，我们可以学习高级数学知识，为未来深入学习数学打下坚实的基础。

通过这样的金字塔法则，我们可以逐步提高自己的数学水平，为更高层次的学习和应用打下坚实的基础。

数学学习9个境界

数学学习的九个境界数学精深训练有九个台阶：第一个台阶是能看懂。

第二个台阶是能记住。

第三个台阶是会解题；能看懂，就是能够懂得数学定义，定理，公式的来龙去脉。

一看到这个定理、公式，脑子里面盘旋的一些问题，我们一一找到答案，我们要从内心里面去回答，那么找到的答案越多，做出来的问答越多，我们就懂得的越多，这就是能看懂的含义。

往往是这一步，使得很多人难以入门，一旦我们做到这一点的话，我们马上就迈上了第一个台阶，迈上第一个台阶之后，能记住会解题，只要我们把那些最基本的东西给做出来，做一遍，亲自动手去算一遍，那么我们马上就会跨过第二个、第三个台阶。

第四个台阶是熟练解题；在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作的训练，那么熟练解题也为之不远了。

第五个台阶是会梳理；刚才已经给大家分享了数学的基本结构是什么？每一章都在重复同样的基本结构，把那些知识点都给汇总到这个知识结构里面，就是会梳理。

包括我们每一章都在用什么样的运算技巧？大家心里面有没有数，这一章我们会用到什么，什么样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，这么列出来，如果这么做了，那肯定是会梳理了。

第六个台阶是融会贯通；比如导数，是从什么问题引入的？导数的定义，它的严格的定义是什么？它对应的几何直观是什么？导数怎么推出导数的四则运算法则？导数的定义和运算法则又有什么用？能解什么样的题目？如果我们一步步这么做下来的话，那就是融会贯通了，对这一章，这一节融汇贯通了。

第七个台阶是把握数学思维；所谓的数学思维就是一个一个的基本的思维操作，像加、减、乘、除法，各种类型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的定义，为什么会有这样的定义？它的问题是什么？这个定义能解决什么问题？当我们提这些问题，去找它的答案的时候，按照这样的思维去训练的时候，我们就把握数学思维了。

第八个台阶是体验学习的乐趣；一旦我们做到前面这几步的话，那数学的学习自然就有乐趣，设想一下，我们面对一块黑板或者一张白纸，我们从导数的定义开始做起，一下就把这一套全都写下来了，不用看参考书，从导数的定义一直推出这个导数的运算法则，解出一些基本函数的导数，然后解出更复杂函数的导数。

初中数学怎样解题

怎样解题？人生境界王国维《人间词话》总结人生三层境界：第一层“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”；第二层“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”；第三层“众里寻他千百度，暮然回首，那人却在灯火阑珊处”；解题境界第一层境界：正确解题很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二层境界：一题多解多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋。

我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。

一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。

对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。

第三层境界：多题一解以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之。

完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四层境界：发现定理无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形。

到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库。

第五层境界：自己编题自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩解题的最高境界是能够编题。

不是所有的人都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。

解题步骤第一步：将题目翻译成数学语言。

1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上。

3.引入适当的符号。

4.把条件的各个部分分开。

第二步：化繁为简。

1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去。

4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法。

高考数学复习5个层面话解题第五讲解题的必备积淀

所以―D→P ⊥―B→C ，则―D→P ·―B→C ＝0. 于是―A→P ·―B→C ＝―A→D ·―B→C ＝12(―A→B ＋―A→C )·(―A→C －―A→B ) ＝12(―A→C 2－―A→B 2)＝8. [答案] 8
[变式2] 在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D为BC的中点．
若点P为线段BC垂直平分线上的任意一点，求证：―A→P ·―B→C ＝12
第五讲解题的必备积淀——把根留住
许多考生虽然做了大量的习题，但遇到类似的题目仍不知所措，“这道题我好像做过，但还是做不出来”是学生普遍反映的现象；“这道题，我上课讲过的，学生怎么还是不会”，这是一线教师的口头禅；学生平时解题也知道要进行化归，但总找不到归根何处．这就是平时只顾埋头做题，不注重归纳领悟而造成的高耗低能现象．
一、研究问题的变式，留住知识之“根”
一题多变，总结规律．可培养思维的探索性和深刻性，通过对变式问题的研究，可以解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓解题思路．在分析解决问题的过程中，既构建知识横向联系，又养成多角度思考问题的习惯．
[例1] 在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若点P为线段BC 的中点，则―A→P ·―B→C ＝________.
的外心，则―A→P ·―B→C ＝________.
[解析] 取BC的中点D，连接AD，PD，
则―A→P ＝―A→D ＋―D→P ，
所以
―→ AP
―→ ·BC
＝(
―→ AD
＋
―→ DP
―→ )·BC
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
―→ AD
―→ ·BC
＋
―→ ―→ DP ·BC .
因为点P为△ABC的外心，点D为线段BC的中点，

高中数学五重境界教案人教版

高中数学五重境界教案人教版一、认知境界：1. 学习目标：了解高中数学的发展历程和重要性，认识数学在现实生活中的应用。

2. 学习内容：高中数学学科内容概览，数学在科学、技术和社会中的应用。

3. 学习方法：通过讲解、讨论和阅读资料，帮助学生建立数学的认知框架，激发学习兴趣。

4. 学习评价：通过小组讨论、课堂展示和学生作业，评估学生对数学认知的掌握情况。

二、实践境界：1. 学习目标：掌握基本的数学运算方法和解题技巧，能够灵活应用数学知识解决实际问题。

2. 学习内容：数学基础知识和解题方法的训练，实际问题解决的案例分析。

3. 学习方法：通过课堂讲解、练习题训练和实践案例解析，提高学生实际问题解决能力。

4. 学习评价：通过课堂练习、期中考试和实际问题解决能力评估，评估学生实践境界的掌握情况。

三、探究境界：1. 学习目标：培养学生的探究精神和创新能力，引导学生发现数学问题的规律和特点。

2. 学习内容：数学问题探究的方法和技巧，数学问题的探究案例。

3. 学习方法：通过启发性问题讨论、项目研究和实验探究，激发学生的思维深度和创新意识。

4. 学习评价：通过学生项目报告、实验成果展示和课堂讨论，评估学生的探究能力和创新水平。

四、实用境界：1. 学习目标：将数学知识应用于实际生活和工作中，培养学生的数学思维和问题解决能力。

2. 学习内容：数学在社会生活和科技领域的应用案例，数学问题解决的实用技巧。

3. 学习方法：通过实用案例讨论、实践活动和模拟演练，提高学生的应用能力和实际问题解决能力。

4. 学习评价：通过实用案例分析、实践活动评价和综合性考察，评估学生的实用境界水平。

五、拓展境界：1. 学习目标：拓展学生的数学思维和知识面，培养学生的终身学习意识和自主学习能力。

2. 学习内容：数学领域前沿问题和发展动态，数学能力提升和学习策略指导。

3. 学习方法：通过学习资源调研、学科竞赛和专题研究等方式，拓展学生数学认知范围和深度。

数学学习的九个境界，看看自己在第几层

数学学习的九个境界，看看自己在第几层数学精深训练有九个台阶。

第一个台阶是能看懂。

第二个台阶是能记住；第三个台阶是会解题；什么是能看懂？能看懂，就是能够懂得数学定义，定理，公式的来龙去脉。

这样的话，考一个及格的分数就不成问题了。

有不少人把高数的考研目标定为90分，实际上做完刚才所说的这些，每一章，每一节都这么去做的话，考90分根本不成问题。

第四个台阶是熟练解题；在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作的训练，那么熟练解题也为之不远了。

第五个台阶是会梳理；什么是会梳理？刚才已经给大家分享了数学的基本结构是什么？每一章都在重复同样的基本结构，把那些知识点都给汇总到这个知识结构里面，就是会梳理。

包括我们每一章都在用什么样的运算技巧？大家心里面有没有数，这一章我们会用到什么，什么样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，这么列出来，一是一、二是二的列出来，如果这么做了，那肯定是会梳理了。

第六个台阶是融会贯通；什么是融会贯通？比如导数，是从什么问题引入的？导数的定义，它的严格的定义是什么？它对应的几何直观是什么？导数怎么推出导数的四则运算法则？导数的定义和运算法则又有什么用？能解什么样的题目？如果我们一步步这么做下来的话，那就是融会贯通了，对这一章，这一节融汇贯通了。

第七个台阶是把握数学思维；什么是把握数学思维？所谓的数学思维就是一个一个的基本的思维操作，像加、减、乘、除法，各种类型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的定义，为什么会有这样的定义？它的问题是什么？这个定义能解决什么问题？当我们提这些问题，去找它的答案的时候，按照这样的思维去训练的时候，我们就把握数学思维了。

初中数学学习“五段法”与高分秘籍

初中数学学习“五段法”与高分秘籍沈阳市虹桥中学周丽敏老师的“初中数学学习五段法”的教学研究，是针对初中学生在数学学习过程中存在的问题，采取了切实可行的学习方法，经过七年教学实践检验，证明行之有效，有良好的实践结果。

因此小编为大家找来了“初中学习五段法”的相关资料分享给大家初中数学学习的“五段法”一、“五段法”提出的由来及含义在教学过程中周老师经常遇到这样的问题——讲过的题学生仍然不会;多次讲，学生仍不会做。

经过多年学习、探索，初中数学学习“五段法”成为解决此问题的突破口，这“五段法”概括成五个字：懂、会、准、熟、巧。

懂：能弄明白别人所要表达的意思;会：是能够独立解决问题;准：既是在考试中能够正确、无误地写出解题的全过程，得满分;熟：在“准”的基础上有所提升，解题思路清晰、准确、快捷;巧：熟能生巧，自然是熟练到一定的程度后而达到的一种全新的高度，能够活学活用，举一反三。

二、“五段法”的具体实施(一)由懂到会懂：能弄明白别人所要表达的意思;会：是能够独立解决问题。

周老师悟出：道理越讲越明白。

每接一届新学生，她都给学生讲学习的五阶段，得到学生很大认同。

她在数学课堂上开辟了“讲题时间”，遇到简单的题，同学自由组合，互相讲;难度大的老师讲。

随着学生解题和讲题能力的不断提升，越来越多的孩子们参与到讲难题的队伍中来。

周老师把握住：在学生听懂时不能马上往下走，要立即给孩子们时间，让他们把听懂的讲出来，如果能顺利的讲出来，说明真的会了，如果在讲题过程中又卡住了，当时就要向老师或同学问明白，不但问题得以解决，还了解了自己在听课或知识点上存在的问题。

一位教育专家说：用语言把知识的来龙去脉说出来是学习过程的又一次升华，是让学生从默会状态中走出来的好办法。

(二)由会到准准：即在考试中能够正确、无误地写出解题的全过程、得满分。

掌握了一种数学题类型的解题方法后不忘记，在考试中达到会的题不丢分。

解决这个问题是个既简单又繁琐的过程。

高中数学五个层次

高中数学五个层次上课能听懂，作业不会写，考试不及格。

这是上高中后学生和家长普遍遇到的问题，毕竟在初中只要听懂了课，考试也不至于不及格。

高考是国家选拔人才的考试，难度加大梯度拉开，高考数学考得高的一百四十多，考得低的四十多，分差能拉开三位数。

而广东省高考数学平均都徘徊在五六十分。

数学难，这已经是公认的了。

下面聊一下高中数学的五个层次。

第一层次：懂！老师站在讲台上讲，学生坐在下面听，能听得懂，能跟得上。

如果上课都听不懂，要么是自己基础知识太差，导致听不懂跟不上；要么是老师上课跳步骤，导致大家都跟不上。

而上课如果能听懂，但是课后划水，不写作业，考试基本上停留在三分之一处（50分）。

听懂课的基础是要听课，有的孩子自己预习了，或者上过补习班了，上课就彻底放飞自我了。

千万不要自己看了一下例题看了一下教辅，感觉解答的每个步骤自己都能看懂，就认为自己可以了，然后就不听课了。

这是幻觉，不信你换道题写写看。

第二层次：会！没有老师指导，没有同学帮助，不能借助科技，不翻笔记不翻书，能够独立完成解题思路，能够得到分。

知道如何观察，知道从哪儿切入，并且清楚如何往下走，并最终找到出口。

听懂课自己就会了吗？其实还差挺远，听懂课后基本概念背下来了吗？定理公式记住了吗？这些不会就相当于不会九九乘法表，寸步难行，更别提观察分析思考了。

从懂到会，还隔着记忆和巩固练习。

从第一层次突破到第二层次，需要经过刷题训练，以教材的课后练习和习题为主，或者同步教辅中的基础巩固训练为主。

只满足于“会“的层面，数学成绩往往在一半左右（75分）。

第三层次：对！没有老师指导，没有同学帮助，不能借助科技，不翻笔记不翻书，能够独立完成解题思路，能够得满分。

也有学生出了考场感觉自己能上一百三，感觉自己这个也会那个也会，你会的是不是都能得到满分呢？学生通常会认为一道题目只要找到了解题的思路算出了一个答案就认为自己是会了的，而会就等于对吗？会就能得到满分吗？未必！哪怕知道了解题的思路，也不一定能得满分，因为数学还考察运算能力，就算是知道了怎么做也不一定能得到满分的。

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