全国1卷高考文科数学试题及答案-
(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设312iz i-=+，则||(z = ) A ．2B ．3C ．2D ．12．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(UBA = )A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）函数2sin ()cos x xf x x x+=+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．（5分）tan 255(︒= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+8．（5分）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．12A A=+ B ．12A A=+C ．112A A=+ D ．112A A=+10．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )A ．6B ．5C ．4D ．312．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
完整)2019年高考文科数学全国1卷(附答案)
完整)2019年高考文科数学全国1卷(附答案)12B-SX-xxxxxxx2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国I卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=(3-i)/(1+2i)，则z=（B）2.2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则A∩B={2,3,4,5}，所以A'∩B'={1,6,7}，故选项为（B）{1,7}。
3.已知a=log0.2 2，b=2，c=0.20.3，则a<c<b，故选项为（D）b<c<a。
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，即(5-1)/2≈0.618.最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比例。
设身高为x，则x/(5x/8)= (5-1)/2，解得x=1.85m，即（C）185cm。
5.函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为（C）。
注：文章中的格式错误已删除，明显有问题的段落已删除，每段话进行了小幅度的改写。
已删除明显有问题的段落。
6.某学校为了解1,000名新生的身体素质，采用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。
如果46号学生被抽到，那么下面4名学生中被抽到的是哪个？解答：由于是等距抽取，因此每隔10个学生抽取一个，因此46号学生是第5组中的学生。
要求下面4名学生中被抽到的，就是在第5组中再选4个学生，因此答案是C．616号学生。
2019年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅰ卷）文科数学试题一、选择题：1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生7．tan255°= A ．-23B ．-3C ．23D ．38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．三、解答题：17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N = （)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i+3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1xy e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和2答案：C解析：())34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==.故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（）A.12B.33C.22D.32答案：D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案：C 解析：对于A，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t =+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C，242222xxx x y -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+.根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x-==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC =，122B P =，122PC =，62BP =.222111131222cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠==⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.5265D.2答案：A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++.∴max 5||2PB =，故选A.方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B .因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值.即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <.当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值.即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a = ，(,4)b λ= ，若//a b，则λ=.答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为.答案：解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离d ==.15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b =.答案：解析：由面积公式1sin 2S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b >解得b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯=221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=.（2）10.3100.3y x -=-===∵则0.3=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3n n na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2n n S T <.答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--.又3n n n b =，则1231123133333n n n n n T --=+++++ ，两边同乘13，则234111231333333n n n n n T +-=+++++ ，两式相减，得23412111113333333n n n n T +=+++++- ，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(14323423n n n n n n T +=--=-⨯⨯，323314322())04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF = ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =.抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF = .∴2022000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020*********QOQ Q y y k y y x y ===≤++.∴直线OQ 斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a'=-+（i）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，11133x -=，21133x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113()33a a --++单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113()33a a -++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以33k =±代入直线方程并化简得40x +=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ-=-⇔+=-或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=++=+.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞ .（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
2021年高考全国乙卷数学(文科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2． 故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12， 构成该事件的区域长度为13−0=13， 所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案． 本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52． 故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点， 当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值． 故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3， 令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33， 所以切线方程为y =±√33(x −4)+1， 因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。
4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。
2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文史类）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019全国卷Ⅰ·文）设3i12iz -=+，则||z =（ ）A.2D.1【解析】因为3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ----===++-，所以||z =故选C.【答案】C2.（2019全国卷Ⅰ·文）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，{2,3,6,7}B =，则U B A =I ð（ ）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【解析】因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，所以{1,6,7}U A =ð. 又{2,3,6,7}B =，所以U B A =I ð{6,7}.故选C.【答案】C3.（2019全国卷Ⅰ·文）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【解析】由对数函数的单调性可得22log 0.2log 10a =<=，由指数函数的单调性可得0.20221b =>=，0.300.2100.2c <==<，所以a c b <<.故选B.【答案】B4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【解析】设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ， 则由腿长为105 cm，可得1050.618105m ->≈，解得169.890m >. 由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得260.618n >≈，解得42.071n <. 所以头顶到肚脐的长度小于2642.07168.071+=.68.072110.1470.618≈≈. 所以此人身高68.071110.147178.218m <+=. 综上，此人身高m 满足169.890178.218m <<. 所以其身高可能为175 cm.故选B. 【答案】B5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[π,π]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】因为22sin()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x --+-==-=--+-+，所以()f x 为奇函数，排除选项A.令πx =，则22sin ()0cos 1f πππππππ+==>+-+，排除选项B ，C.故选D.【答案】D6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为100010100=. 因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的整数，结合选项知正确号码为616.故选C. 【答案】C7.（2019全国卷Ⅰ·文）tan255=o （ ）A.2--B.2-+C.2D.2【解析】1tan 45tan 3075tan(tan255tan(4530)2180)tan 71tan 45tan 305+++=+===+=-=ooo o o o o o o o .故选D. 【答案】D.8.（2019全国卷Ⅰ·文）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3 5π6【解析】设a ，b 的夹角为θ，因为()-⊥a b b ，所以()0-=g a b b ，即2||0-=g a b b .又||||cos ,||2||θ==g g a b a b a b ， 所以222||cos ||0θ-=b b ，所以1cos 2θ=. 又因为0θπ≤≤，所以3πθ=.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅰ·文）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A=+ B.12A A =+C.112A A=+ D.112A A=+【解析】对于选项A ，第一次循环，1122A =+；第二次循环，112122A =++，此时3k =，不满足2k ≤，输出112122A =++的值.故A 正确；经验证选项B ，C ，D 均不符合题意.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅰ·文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130o ，则C 的离心率为（ ）A.2sin40oB.2cos40oC.1sin50oD.1cos50o【解析】由题意可得tan130ba-=︒，所以11|cos130|cos50e ====︒︒.故选D.【答案】D11.（2019全国卷Ⅰ·文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.3【解析】因为sin sin 4sin a A b B c C -=，所以由正弦定理得2224a b c -=，即2224a c b =+.由余弦定理得222222222(4)31cos 2224b c a b c c b c A bc bc bc +-+-+-====-，所以6bc=.故选A. 【答案】A12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y += 【解析】设椭圆的标准方程为22221(0)bx y a b a +=>>，由椭圆定义可得11||||||4AF AB BF a ++=. 因为1||||AB BF =， 所以1||2||4AF AB a +=. 又22||2||AF F B =， 所以23||||2AB AF =，所以12||3||4AF AF a +=. 又因为12||||2AF AF a +=，所以2||AF a =. 所以A 为椭圆的短轴端点.如图，不妨设(0,)A b ，又2(1,0)F ，222AF F B =u u u u r u u u u r ，所以3,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将B 点坐标代入椭圆方程22221(0)b x y a b a +=>>，得2229144b ba +=，所以22223,2a b a c ==-=.所以椭圆C 的方程为22132x y +=.故选B.【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019高考新课标全国1卷文科数学试题及答案
2019高考新课标全国1卷文科数学试题及答案2019年普通高等学校招生全国统一考试真题文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1.答卷前，务必将准考证号、姓名填写在答题卡上，并核对条形码上的信息是否正确。
2.选择题用铅笔将答案标号涂黑，非选择题需写在答题卡上。
3.考试结束后，将试题卷和答题卡交回。
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x|x0}，则B={x|x<3/2}，故选C。
2.要评估农作物亩产量的稳定程度，应该考虑其数据的离散程度，即标准差，故选B。
3.i(1+i)2=i(1+2i-i2)=i(1+2i+1)=2i，为纯虚数，故选A。
4.由于黑色部分和白色部分关于正方形中心对称，且黑色部分占整个圆的面积为1/2，故选A。
5.双曲线的对称轴为x=1，故焦点左侧的点P不在双曲线上，面积为0，故选A。
6.由于正方体A、B的对角线垂直于MNQ平面，故不与该平面平行，故选D。
7.根据约束条件，可得x≥y+1，即z=x+y≥y+2，故最大值为2，故选C。
8.函数y=sin2x的图像为一条上下振荡的曲线，故选B。
frac{16}{3}$，求AB的长度。
19．（12分）已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\sin2x-\sin x+1$，$g(x)=\frac{1}{2}\cos2x+\cos x$。
1）证明$f(x)$在$(0,\pi)$内单调递减；2）若$f(x)=g(x)$，求$x$的取值。
20．（12分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}$，$g(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$。
1）求$f(x)$和$g(x)$的定义域；2）证明：对于任意$x\in(0,1]$，都有$f(x)\geq g(x)$。
21．（12分）如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$中点，$E$为$AD$的中点，$F$为$\triangle ADE$的重心。
2022年高考全国乙卷数学(文科)真题+答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.2.设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-= D.1,1a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.3.已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -r r .【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-== a b .故选：D4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C 【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<，C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>，D 选项结论正确.故选：C5.若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2- B.4C.8D.12【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.6.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B7.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x x y x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A.平面1B EF ⊥平面1BDD B.平面1B EF ⊥平面1A BD C.平面1//B EF 平面1A AC D.平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ，又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥，又1BD DD D = ，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1m =- ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m与3n不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.10.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14 B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .11.函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A.ππ22-，B.3ππ22-， C.ππ222-+， D.3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+.故选：D12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（） A.13B.12C.33D.22【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则212327O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =.故答案为：2.14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31015.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()1525x y -+-= ⎪⎝⎭；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()1525x y -+-= ⎪⎝⎭；16.若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】①.12-；②.ln 2．【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x +≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+【答案】（1）5π8；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．【小问2详解】由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．18.如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【答案】（1）证明详见解析（2）34【解析】【分析】（1）通过证明AC ⊥平面BED 来证得平面BED ⊥平面ACD .（2）首先判断出三角形AFC 的面积最小时F 点的位置，然后求得F 到平面ABC 的距离，从而求得三棱锥F ABC -的体积.【小问1详解】由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CDBD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小值.过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以13,222DF BF DF ===-=，所以34BF BD =.过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =,所以11133233244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)nx x y yr--=≈∑．【答案】（1）20.06m；30.39m（2）0.97（3）31209m【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x==样本中10棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.39m【小问2详解】()()1010i i i i10x x y y x y xyr---=∑∑0.01340.970.01377=≈则0.97r≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1-（2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111xf x x x x-'=-=，当()0,1∈x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=，当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x ¢<，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa-⎛⎫=-++⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.21.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】（1）22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,3M ，26(1,3N -，代入AB 方程223y x =-，可得263,3T ，由MT TH =得到265,3H +.求得HN 方程：26(223y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（120++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .[选修4—5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则32a >，32b >，320c >，所以3332223a b c++≥，即()1213abc ≤，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +≥，a c +≥，a b +≥，所以32a b c ≤=+32b a c ≤=+，32c a b ≤=+333333222222a b c b c a c a b ++≤+++当且仅当a b c ==时取等号．。
全国高考文科全国卷数学试题及答案
年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--． 二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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2021年全国统一高考真题数学试卷(文科)(含答案及解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4} 2.设43iz i =+，则z =（ ）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D.()p q ⌝∨4.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A.3πB.3π和2C.6πD.6π和25.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A.18B.10C.6D.46.225coscos 1212ππ-=（ ） A.12B.3C.2D.27.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ） A.34 B.23 C.13 D.168.下列函数中最小值为4的是（ ）A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+ D.4n ln l y x x=+9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2π B.3π C.4π D.6π 11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.52212.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= .14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 .15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b = .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 23.已知函数()|||3|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案及解析一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（ ） A.34i -- B.–34i + C.34i - D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案： A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q∧为真，选A. 4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A.3πB.3π和2C.6πD.6π和2 答案： C 解析：()sin()34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==. 故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A.18B.10C.6D.4答案： C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（ ） A.12B.33 C.22 3 答案： D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D. 7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ） A.34 B.23 C.13 D.16答案： B解析：在区间1(0,)2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（ ） A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案： C 解析：对于A ，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合， 对于B ，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t=+，根据对勾函数min 145y =+=不符合， 对于C ，242222x x x xy -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=， 当且仅当2t =时取等，符合，对于D ，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+. 根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案： B 解析：12()111x f x x x-==-+++， ()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数. 所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π 答案： D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC，12B P =，12PC =，BP =. 2221111312cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠===⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为 A.526 5D.2 答案： A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++≥.∴max 5||2PB =，故选A. 方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B . 因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 答案： D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值. 即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <. 当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值. 即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D. 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= . 答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=. 14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 . 答案：5解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离22|38|512d -==+. 15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒,223a c ac +=，则b = .答案：22解析： 由面积公式1sin 32S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =， 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b > 解得22b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.答案： ②⑤或③④ 解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==5BA BC ==2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）. 答案：见解析 解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯= 221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=. （2）10.3100.3y x -=-=22120.0360.04221010s s ++=20.0076=. ∵则0.30.0920.0760.0304=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高； 没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案： 见解析 解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 答案： 见解析 解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =， 故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--. 又3n n n b =，则1231123133333n n n n nT --=+++++，两边同乘13，则234111231333333n n n n nT +-=+++++，两式相减，得23412111113333333n n n nT +=+++++-，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---， 整理得31323(1)4323423n n n nn n T +=--=-⨯⨯， 323314322()(1)04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 答案：见解析 解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =. 抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF =.∴222000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020001193944Q OQ Qy y k y y x y ===≤=++. ∴直线OQ 斜率的最大值为13. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析：（1）2()32f x x x a '=-+（i ）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii ）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，113x =，213x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113(33a a-+单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113(,33a a-++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=， 此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以k =代入直线方程并化简得40x -+=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ=⇔+=或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=⇔+=+23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围. 答案： 见解析 解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-； 当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅； 当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥. 综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. （2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案(全国新课标卷1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国新课标1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B. {}1,5 C. {}3,5D. {}1,32.若312z i i =++，则z = A.0 B.1 C.2 D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.514- B. 512-C.514+ D. 512+4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A.15 B. 25 C. 12 D. 455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i y i =（x 1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76π C.43π D.32π 8. 设3a log 42=，则-a 4 A.116 B. 19 C. 18 D. 169.执行右面的程序框图，则输出的n = A. 17 B. 19 C. 21D. 2310.设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a += A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP | =2，则∆12PF F 的面积为A.72 B. 3 C. 52D. 2 12. 已知A ，B ，C 为球O的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆. 若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷一）（含详细解析）
c 保密★启用前2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷一）您题号—总分得分注意事项：1.答题前垃写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答超卡上o:n o评卷人得分1.己知集合/!={x\xA.{—4,1}一、单选题3—4<0},8={-4,1,3,5},则』口=（）B.（1,5}C.{3,5}D.{1,3}2.若z= l+2i+i3，则回=（）A.0B.1C.41D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑志迹之一，它的形状可视为-个正四棱锥，以该四校锥的高为边长的正方形面积等于该四梭推一个侧面三角形的面积，鲫其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）oO A旦R岂 C.旦 D.旦4242的概率为（）5.某校一个课外学习小组为研充某作物种了•的发芽率.p 和温度工（单位：°C ）的关系. 在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（.t r.Z ）（/ = 1.2.-.2O ）得到下 面的散点图;由此散点图•在10。
至40也之间・卜.面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*和温度X 的问归方程类型的是（）A. ，= 〃 +版B. y = a + hx 2C. y-a + be l D・ y = a + b\nx6.已知圆xf 尸-6“0,过点（1, 2）的直线被该圆所截得的弦的忙度的最小值为A. 1C. 3B. 2D. 47 .设函数f （x ） = COS （5 +兰）在［-兀,71］的图像大致如卜图，则用）的最小止周期为（）610n A. B.Inc. 8. A. 9.4丸设g4=2,则4"= <）1 B.1. 169执行下面的程序框图，则输出的〃=（）D.C.A.3兀D.417 B.19 C.21 D.2310.设｛虬｝是等比数列，旦0+七+%=】•％+江/久=2.则％+"%=(A.12B.24C.30D.32y11.设％足是双仙线C:x2-^-=l的两个焦点.。
2020年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解)
2020年全国高考新课标1卷文科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-3x -4≤0}，B ={-4,1,3,5}，且A ∩B =( )A ．{-4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 2．若z =1+2i +i 3，则|z |=( )A ．0B ．1C 2D ．2 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．5124．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (x i . y i )(i =1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之 间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是( ) A ．y=a+bx B ．y=a+bx 2 C ．y=a+be xD ．y=a+b ln x6．已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．设a log 34=2，则4-a =( )A ．116B ．19C ．18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n =( )A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( ) A．12 B．24 C．30 D．3211．设F1, F2是双曲线C：2213yx-=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则∆PF1F2的面积为( )A．72B．3 C．52D．212．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )AA．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．若x,y满足约束条件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y的最大值为.14．设为(1,1)(1,24),a b m m a b-=+-⊥=，若，则m= .15．曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.16．数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页，满分 150 分。
考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A= x|x 2 ， B= x|3 2x 0 ，则 3A ． A B= x|x 22 3 C ． A B x|x 2 2 2．为评估一种农作物的种植效果，选了 B ． A B D ．A B= Rn 块地作试验田 .这 n 块地的亩产量（单位： kg ）分 A ． x 1， x 2， ⋯，x n 的平均数 B ． x 1，x 2，⋯ ， xn 的标准差 C ． x 1， x 2， ⋯， x n 的最大值 D ． x 1，x 2， ⋯，x n 的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i) 2B ．i 2(1-i)C ． (1+i) 2D ．i(1+i) 别为 x 1，x 2，⋯ ，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 4．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． πB ． 8πC ．D ．2已知 F 是双曲线 C ：x 2-y =1的右焦点， P 是C 上一点，且 PF 与x 轴垂直，点 A 的坐 标是(1,3).则△APF 的面积为x 3y 3,设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为 y 0,sin2 x.函数 y 的部分图像大致为1 cosx已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则C ．y= f (x)的图像关于直线 x=1 对称D ．y= f (x) 的图像关于点( 1,0)对称10．如图是为了求出满足 3n 2n 1000 的最小偶数 n ，那么在和 两个空白框中，可以分别填入a=2 ， c= 2， 则 C=、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
A ． f (x) 在( 0,2)单调递增B ． f (x) 在( 0,2) 单调递减5． 6． A ．3B ．C ．3D ． 32如图，在下列四个正方体中， A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ， Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是7． A ．0B ．1C ．D ．38．9．A ． A>1000 和 n=n+1B ． A>1000 和 n=n+2C ． A ≤ 1000和 n=n+1D ．A ≤ 1000和 n=n+211． △ABC 的内角 A 、B 、 C的对边分别为 a 、b 、c 。
已知 sin B sin A(sin C cosC) 0 ， πA ．12B ．πC ．4 πD ．312．设 A 、B 是椭圆 C ： 2x y1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120 °，3则 m 的取值范围是A ． (0,1] [9, )B ． (0, 3] [9, )C ． (0,1] [4, )D ． (0, 3] [4, )13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与 a 垂直，则m= ____________ .2114．曲线y x2在点（1，2）处的切线方程为 ________________________ .xππ15．已知 a （0，） ,tan α，=则2 cos（） = ________ 。
16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O 的表面积为______ 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）记S n为等比数列a n 的前n 项和，已知S2=2，S3=- 6.（1）求a n 的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2 是否成等差数列。
18．（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且BAP CDP 90（1）证明：平面PAB⊥平面PAD ；8（2）若PA=PD=AB=DC, APD 90 ,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的3侧面积.19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：经计算得x 1 x i 9.97 ，s 1 (x i x)2 1 ( x i216x2) 0.212，16i 1 16 i 1 16 i 11618.439， (x i x)(i 8.5) 2.78 ，其中 x i 为抽取的第 i1i 1,2, ,16 ．(1)求(x i , i) (i 1,2, ,16) 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若 |r | 0.25 ，则可以认为零件的 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)． (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x 3s,x 3s) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查． (ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (ⅱ)在 (x 3s,x3s) 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)n(x i x)(y i y) 附：样本 (x i ,y i )(i 1,2, ,n) 的相关系数 r0.008 0.09 ．20．( 12 分)2设 A ，B 为曲线 C ：y= x 上两点， A 与B 的横坐标之和为 4.4( 1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM ，求直线 AB 的方程 .21．( 12 分)已知函数 f (x) =e x (e x ﹣a)﹣a 2x ．( 1)讨论 f (x) 的单调性；2)若 f (x) 0，求 a 的取值范围．（二）选考题：共 10分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一nn22(i 8.5)2i1i 个零件的尺寸，i1 i1题计分。
22．［选修4―4：坐标系与参数方程］（10 分）x 3cos ,在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方y sin ,x a 4t, 程为x a 4t（, t为参数）.y 1 t,（1）若a=?1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求 a.23．［选修4—5：不等式选讲］（10 分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│ +│x–1│.（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［–1，1］，求 a 的取值范围.故 S n 1,S n ,S n 2成等差数列18. 解：（1）由已知 BAP CDP 90 ，得 AB AP,CD PD由于 AB / /CD ，故 AB PD ，从而 AB 平面 PAD 又 AB 平面 PAB ，所以平面 PAB 平面 PAD（2）在平面 PAD 内作 PE AD ，垂足为 E由（ 1）知， AB 平面 PAD ，故 AB PE ，可得 PE 平面 ABCD 设 ABx ，则由已知可得 AD 2x,PE 2 x2故四棱锥 P ABCD 的体积18由题设得 1x 3 8，故x 2参考答案一、选择题：1. A2. B3. C4. D 7. D8. C9. C10. D二、填空题：13. 7 14. y x 1三、解答题：17. 解：5. A6. A 11. B12. A15. 3 10 16. 36101）设{a n } 的公比为 q ，由题设可得解得 q 2,a 1 2故 {a n } 的通项公式为 a n （ 2）n2）由（ 1）可得由于 S n 2 S n 143 ( 1)n 22n 232 n 2n 12[ 32 ( 1)n23 ] 2S n33从而PA PD 2,AD BC 2 2, PB PC 2 2可得四棱锥P ABCD 的侧面积为19. 解：(1)由样本数据得(x i,i)(i 1,2,...,16) 的相关系数为由于|r | 0.25 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。
(2)(i )由于x 9.97, s 0.212 ，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x 3s,x 3s) 以外，因此需对当天的生产过程进行检查。
(ii )剔除离群值，即第13 个数据，剩下数据的平均数为这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02162 2 2x i2 16 0.2122 16 9.972 1591.134 ，i1剔除第13 个数据，剩下数据的样本方差为这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008 0.0920. 解：22(1)设A( x1, y1), B( x2 , y2) ，则x1 x2, y1 x1 ,y2 x2 ,x1 x2 4，44于是直线AB的斜率k y1 y2 x1 x21x1 x2 42( 2)由y x，得y x42设M(x3,y3) ，由题设知x31，解得x3 2，于是M (2,1)2设直线AB 的方程为y x m代入y 得x2 4x 4m 04当16(m 1) 0，即m 1时，x1,2 2 2 m 1从而|AB| 2 |x1 x2| 4 2(m 1)由题设知| AB | 2| MN |，即4 2(m 1) 2(m 1)，解得m 7所以直线AB 的方程为y x 721. 解：(1)函数f (x) 的定义域为( , ), f (x) 2e2x ae x a2 (2e x a)( e x a)①若a 0，则f(x) e2x，在( , )单调递增②若a 0，则由f (x) 0得x ln a当x ( ,ln a)时，f (x) 0 ；当x (ln a, ) 时，f (x) 0 ；故f ( x) 在( ,ln a) 单调递减，在(ln a, ) 单调递增③若a 0，则由f (x) 0 得x ln( a)2当x ( ,ln( 2a)) 时，f (x) 0；当x (ln( a2), )时，f (x) 0 ；故f (x) 在( ,ln( a)) 单调递减，在(ln( a), ) 单调递增(2)①若a 0，则f (x) e2x，所以f (x) 0②若a 0，则由( 1)得，当x lna时，f (x) 取得最小值，最小值为f (ln a ) a2 ln a ，从而当且仅当a2lna 0，即a 1时，f(x) 0a③若a 0，则由( 1)得，当x ln( )时，f(x) 取得最小值，最小值为f (ln( a))a2[3 ln( a)] ，33 a从而当且仅当a2[ ln( )] 0，即a 2e4时，f (x) 0 423综上，a 的取值范围是[ 2e4 ,1]22. 解：1)曲线 C 的普通方程为 y 2 19当 a 1时，直线 l 的普通方程为从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0),( 25 252)直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点a1当 a 4 时， d 的最大值为 a 1 ，由题设得17综上a 8 或a 1623. 解：1)当 a 1时，不等式 f (x) g(x) 等价于x 2 x |x 1| | x 1| 4 0 ①当 x 1时，①式化为 x 2 3x 4 0 ，无解； 当 1 x 1时，①式化为 x 2 x 2 0，从而 1 x 1；当 x 1时，①式化为 x 2 x 4 0 ，从而 1 x 1 17 21 17 所以 f (x) g (x)的解集为 { x| 1 x 1 17}22)当 x [ 1,1]时， g( x) 2所以 f(x) g (x)的解集包含 ［ 1,1］，等价于当 x ［ 1,1］时 f (x) 2又 f(x)在［ 1,1］的最小值必为 f( 1)与 f (1)之一，所以 f ( 1) 2且 f (1) 2， 得 1 a 1 所以 a 的取值范围为 [ 1,1]a9当 a 4 时， d 的最大值为 a 9 ，由题设得a9 17 17 ，所以 a 8 ；x 4 y 3 0,由 x 22 解得92 x y 21 x y 30,或21x25 , y 224521, 24),)(3cos ,sin ) 到 l 的距离为 a117 ，所以 a 16 ；。