微专题22 函数嵌套问题(解析版)

若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 无解，故不成立；
故选： ．
例11． 和 都是定义在 上的函数，且方程 有实数解，则 不可能是
A． B． C． D．
【解析】解：因为 ，所以 ，得 ，
即 ，所以 与 是等价的，
即 有解， 也有解，也就是说有解得都是有可能的，
A． B． C． D．
【解析】解： 为函数 的“不动点”，则方程 ，即 有实根，故△ ， ，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根 为方程 ，即 的实根，
方程 可化为： ，即 ，利用平方差公式分解因式得，
， ，
函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”， 方程 无实数根，
， ，
综上， ，
故选： ．
（1）当 ， 时，求函数 的不动点；
（2）若对任意的实数 ，函数 恒有两个不动点，求 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 图象上两个点 、 的横坐标是函数 的不动点，且 、 的中点 在函数 的图象上，求 的最小值．
【解析】解：（1） ，由 ，解得 或 ，所以所求的不动点为 或 ．
（2）令 ，则 ①，
当 时， 为增函数， 为增函数，故 为增函数；
当 时， 为减函数， 为增函数，故 为减函数；
当 时， 为减函数， 为减函数，故 为增函数；
综上所述，函数 的单调递增区间为 ， ， ， ， ， ；
（2）由（1）可得，当 或 时， ；
时， 取得极大值 ； 时， 取得极小值1；
时， 取得极小值1．
由方程 有4个不同的实数很，
（1） ，
即 （1） ．
（2）令 ，则原方程化为 ，
易知方程 在 内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数 与 的图象有2个不同的交点，作出函数 的图象，如图；
（1） ， ，
由图象可知，当 时，函数 ， 与 有2个不同的交点，
即所求 的取值范囿是 ， ．
例5．设函数 ， ， ．
（1）求函数 的单调递增区间．
方程 可化为： ，即 ，利用平方差公式分解因式得，
， ，
函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”， 方程 无实数根，
， ，
当 时， 解得 ，此时 的解为 ， ，两方程具有相同的实根，能同时满足 有实根且 有实根，因此 满足题意．
综上， ，
故选： ．
变式10．设函数 ．若存在 ， ，使 （b） 成立，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解：由 （b） ，可得 （b） （b），
其中 是函数 的反函数
因此命题“存在 ， 使 （b） 成立”，转化为
“存在 ， ，使 （b） （b）”，
即 的图象与函数 的图象有交点，
且交点的横坐标 ， ，
的图象与 的图象关于直线 对称，
的图象与函数 的图象的交点必定在直线 上，
【解析】解：设 ，解 ，得 或 ，
①当 时，由 ，得 或 ，
即得 或 ；
②当 时，由 得 ，
即 或 ，即 或 ，
综合①②得：
函数 的零点为： 或 或 或 共4个；
故选： ．
变式3．已知函数 ，集合 ， ， ， ，若 为单元素集，试求 的值．
【解析】 集合 ， ，
为单元集， ，
，
， ，
当 时， 不符题意，故 ，
微专题22函数嵌套问题
【题型归纳目录】
题型一：“ ”型问题
题型二：“ ”型问题
题型三：复合函数 的零点问题
题型四：复合函数 的零点问题
题型五：含参二次函数复合型零点问题
题型六：零点求和问题
题型七：其他型
【典型例题】
题型一：“ ”型问题
例1．设函数 ， 是函数 的所有零点中的最大值，若 ， ，则 ．
【解析】解： 函数 ，
故选： ．
变式1．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．4B．7C．8D．9
【解析】解：令 ，解得 或 ，
则令 ，可得 或 ，
作出函数 的图象如图所示，
由图象可知， 有3个零点， 有3个零点， 有1个零点，
故函数 有7个零点．
故选： ．
变式2．已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个 ．
故选： ．
题型五：含参二次函数复合型零点问题
例13．设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 有7个不同的实数解，则
A． B． C． 或2D．
【解析】解：当 时，由 得 或 ，
令： ，则方程在 ， 上一定有解
，
．
故答案为： ．
变式6．设函数 ．若对任意 ，均有 ，则实数 的取值范围是．
【解析】解：函数 ．若对任意 ，均有 ，
即为 ，
即 ，
可得 恒成立，
由 ，
即有 ，
故答案为： ．
变式7．对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若 ，则称 为 的“稳定点”，记 ， ，则下列说法错误的是
（Ⅱ）若对任意的实数 ，函数 恒有两个不动点，求 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当 ， 时， ，
因为 为 的不动点，
所以 ，
即 解得 ， ，
所以 和3是 的不动点．
（Ⅱ）因为 恒有两个相异的不动点，
即方程 恒有两个不同的解，
即 有两个不相等的实数根，
所以 恒成立，
即对任意 ， 恒成立，
所以 ，
所以 ，
【解析】解：设 ， ，则方程 等价为 ，
即 ，
，
即 ，
在 时有解，
即 ，
在 时成立，
设 ，
当 时， 取得最大值 ，
，
即 ，
故选： ．
题型四：复合函数 的零点问题
例10．设 ， 都是定义在 上的函数，若函数 有零点，则函数 不可能是
A． B． C． D．
【解析】解： 函数 有零点，
方程 有解，
，
有解，
故选： ．
变式12．设函数 ，若存在 ， ，使得 （b） 成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解：由 （b） ，可得 （b） （b），
其中 是函数 的反函数
因此命题“存在 ， 使 （b） 成立”，转化为
“存在 ， ，使 （b） （b）”，
即 的图象与函数 的图象有交点，
当 时，△ ，解得： ，
，
△
，
，方程无解，不符 为单元集，故 ．
方程 有2个不相等的实数解： ，
当 时有 ，解得： 或 （舍去）．
同理当 时有： 或 （舍去）．
综上， ．
题型二：“ ”型问题
例4．已知函百度文库 ，
（1）求 （1） 的值；
（2）若方程 有4个实数根．求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） （1） ，
且交点的横坐标 ， ，
的图象与 的图象关于直线 对称，
的图象与函数 的图象的交点必定在直线 上，
由此可得， 的图象与直线 有交点，且交点横坐标 ， ，
根据 ，化简整理得 ．
记 ， ，
由 ， ，
可得 ， ，即 ．
即实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
变式13．设函数 ．若方程 有解，则 的取值范围为
A． B． C． D． ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
例9．设函数 ， ， 为自然对数的底数），若存在 ， 使 （b） 成立，则 的取值范围是．
【解析】解： 存在 ， ，使 （b） 成立
存在 ， ，使 （b） （b）
即函数 与其反函数 在 ， 上有交点
在 ， 上为增函数
函数 与其反函数 在 ， 的交点在直线 上，
即函数 与其反函数 的交点就是 与 的交点
又 是函数 的所有零点中的最大值，
；
且 （2） ， （3） ；
故 ．
故答案为：1，2．
例3．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：令 ，可得 或 或 ，
函数 的图象如图所示，
由图象可知，当 时，有1个解；
当 时，有3个解；
当 时，有1个解．
综上所述，函数 的零点个数为5个．
即为 的图象与直线 有4个交点．
则 的取值范围是 ， ．
例6．设函数 ， ， ，求函数 的单调递增区间．
【解析】解：令 得， ，或 ；
当 ，或 时， ，
当 时， ；
；
（1）当 时，函数 为减函数；
（2）当 时，令 ， ，
设 ，则： ， ， ；
时， ， 为减函数， 时， ， 为增函数；
令 ，则 ，
当 时， 为增函数， 为减函数，故 为减函数；
而 ，即 ，
反之，任取 ，则 ，
若 ，则 ，出现矛盾，
若 ，则 ，出现矛盾，
所以 ，则 ，
综上所述， ，故 正确；
对于 ：对于函数 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，故 错误；
故选： ．
变式8．对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”：若 ，则称 为 的“稳定点”，如果函数 的稳定点恰是它的不动点，那么 的取值范围为
与 的交点情况为：
当 时有两个交点，一个在区间 上，一个在区间 上；
当 时有两个交点，一个为 ，一个为 ；
当 时有两个交点，一个在区间 上，一个在区间 ， 上．
若方程 有6个解， 有两个根，均在 上，
故 ，
故选： ．
题型三：复合函数 的零点问题
例7．定义：若函数 对于其定义域内的某一数 ，有 ，则称 是 的一个不动点，已知函数 ．
当 时， 为增函数， 为增函数，故 为增函数；
当 时， 为减函数， 为增函数，故 为减函数；
当 时， 为减函数， 为减函数，故 为增函数；
（3）当 时， 为增函数；
综上所述，函数 的单调递增区间为 ， ， ， ．
变式4．已知函数 ， ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是．
【解析】解：由题意可得函数 与函数 有4个交点，如图所示：
所以存在 ， ，使 （b） （b），
即函数 与其反函数在 ， 上有交点，
因为函数 在 ， 上为单调递增函数，
所以函数 与其反函数在 ， 的交点在直线 上，
即函数 与其反函数的交点即为 与 的交点，
令 ，即 在 ， 上有解，
所以 在 ， 上有解，
因为 在 ， 上单调递增，
所以 ，
则 的取值范围为 ， ．
变式9．对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”；若 ，则称 为函数 的“稳定点”．如果函数 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解： 为函数 的“不动点”，则方程 ，即 有实根，故△ ， ，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根 为方程 ，即 的实根，
当 时，
；
作函数 的图象如下：
解 ，得到 或 ，
又 是函数 的所有零点中的最大值，
所以 ，且 （2） ， （3） ，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：2．
例2．设函数 ，则当 时，函数 的最大值等于，若 是函数 的所有零点中的最大值，且 ， ，则 ．
【解析】解：当 时，
；
作函数 的图象如下，
解 得，
或 ；
A．对于函数 ，有 成立
B．若 是二次函数，且 是空集，则 为空集
C．对于函数 ，有 成立
D．对于函数 ，存在 ，使得 成立
【解析】解：对于 ：函数 ，
，故 正确；
对于 ：若 为二次函数， 是空集，
则对任意实数 ，方程 无解，
这样 也无解，
所以 也为空集，故 正确；
对于 ：函数 为单调减函数，
任取 ，则 ，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△ ，
即 恒成立，则△ ，故 ．
（3）设 ， ， ， ， ， ，
又 的中点在该直线上，所以 ，
，
而 ， 应是方程①的两个根，所以 ，即 ，
，
当 时， ．
例8．定义：若函数 对于其定义域内的某一数 ，有 ，则称 是 的一个不动点．已知函数 ．
当 ， 时，求函数 的不动点；
，
结合图象可得 ，
故答案为 ， ．
变式5．已知函数 ， ，则当方程 有6个解时 的取值范围是
A． B． 或 C． D．
【解析】解： 函数 ， ，
，
令 得： ，或 ，
故当 时，函数 取极大值1，当 时，函数取极小值 ；
则 与 的交点情况为：
当 ，或 时，有一个交点；
当 ，或 时，有两个交点；
当 时，有三个交点；
．当 时， 成立；
．当 时， 结合图象有解；
．当 时，即 ，当 时，得 ，舍去；
当 时，无解，故方程无解， 错误；
．当 时，得 有解．
故选： ．
例12．函数 、 都是定义在 上的函数，若 方程有解，则函数 不可能是
A． B． C． D．
【解析】解： 方程有解，
得 方程有实根，
直接把四个答案分别代入，发现只有 无解；
由此可得， 的图象与直线 有交点，且交点横坐标 ， ，
根据 ，化简整理得 ． ， ，
即 ， ， ，
根据二次函数的性质得出：
即实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
变式11．设函数 ， 为自然对数的底数），若存在 ， 使 （b） 成立，则 的取值范围
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】解：因为存在 ， ，使 （b） 成立，
（2）若关于 的方程 有4个不同的实数很，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1）令 得， ，或 ；
当 ，或 时， ，
当 时， ；
；
①当 时，函数 为增函数； 时，函数 为减函数；
②当 时，令 ， ，
设 ，则： ， ，
，
时， ， 为减函数，
， 时， ， 为增函数；
令 ，则 ，
当 时， 为增函数， 为减函数，故 为减函数；