嵌套函数专题

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专题20 函数嵌套问题(原卷版)

专题20 函数嵌套问题

一、单选题

1．已知函数()e ,0

2,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩

，则方程()20f f x ⎡⎤-=⎣⎦的根个数为（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．已知函数()232,1,

2,1,x x x f x x x x ⎧--≤⎪

=⎨+->⎪⎩则函数()()3y f f x =-的零点个数为（） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，f x 是()f x 的导函数，若对()0,x ∀∈+∞都有

()23x

f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则方程()40f x x

'-=的解所在的区间是（） A ．1,2

B ．()2,3

C ．()3,4

D ．()5,8

4．已知函数()1

ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦

=+的零点个数为（） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．已知函数()21

,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()22

10f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．()1,11,22⎡⎫

⋃⎪⎢⎣⎭

C ．()()0,11,2

D ．()2,+∞

6．函数()22,02,0x x x x f x x x e ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()2

10f x af x a -+-=恰有四个不同的实数根，则实数a 范

嵌套函数的经典例题

嵌套函数指的是在一个函数内部定义了另一个函数。这种嵌套定义的函数被称为内部函数，而包含内部函数的函数被称为外部函数。嵌套函数的经典例题可以是计算阶乘的问题。

考虑一个求n的阶乘的函数factorial(n)。使用嵌套函数的方式，可以编写一个递归的解法来实现阶乘的计算。

内部函数fact(n)负责计算n的阶乘，如果n为0或1时，直接

返回1；否则，将n乘以内部函数fact(n-1)的返回值，然后返

回这个结果。外部函数factorial(n)调用内部函数fact(n)，并将

其返回结果作为最终的阶乘计算结果返回。

以下是使用Python语言编写的嵌套函数计算阶乘的经典例题：

```python

def factorial(n):

def fact(n):

if n == 0 or n == 1:

return 1

else:

return n * fact(n-1)

return fact(n)

print(factorial(5)) # 输出 120

```

在上述例子中，我们定义了一个外部函数factorial(n)来计算阶乘。在该外部函数中嵌套定义了内部函数fact(n)，用来执行阶乘的递归计算。外部函数factorial(n)调用内部函数fact(n)，并

返回计算结果。

通过以上的代码，我们可以看到嵌套函数的一个重要特性：内部函数可以访问外部函数的局部变量。在这个例子中，内部函数fact(n)可以访问外部函数factorial(n)的参数n，以及内部函

数fact(n-1)的返回值。这种函数之间的数据共享使得嵌套函数

(完整word版)嵌套函数

5已知f(x)是定义在R 上奇函数,当x 〉0时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),1(2

120,12)(1x x f x x f x ,则函数1)()(-=x xf x g 在[—6，∞+)上的所有零点之和为( )

A 。7

B 。8

C 。9 D.10

6：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<>+=0

,log 0,1)(3

1x x x x x x f 则方程a x x f =-)(2有六个根时,对应a 的取值范围为 .

7已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++->+-=+-=0,1)3(0,1)21()(,13)(222

3x x x x x g x x x f ，则方程g[(x)]—a=0（a 为正常数)的实根最多有个。

8:已知x

x x f ln )(=若关于x 的方程0)()12()]([22=+++-m m x f m x f 恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ) A.),11(e e + B.),2()2,1(e e C 。),1(e e - D.),1(e e

12:已知函数⎩⎨⎧>≤+=,

0,ln ,0,1)(x x x a x f x 当21<<a 时,关于x 的方程a x f f =)]([的实数解的个数为（） A.2 B 。3 C 。4 D.5

13：已知函数⎩⎨

⎧>≤+=,0,log ,0,1)(2x x x x x f 则函数]1)([+=x f f y 的零点个数为（）

A.2 B 。3 C 。4 D.5

14：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=,

嵌套函数专题

1.关于x 的方程()2

22110x x k ---+=给出下面四个命题（） ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根

③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根、、、其中假命题的个数是（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2.设定义域为R 的函数|lg |1||,1()0,

1x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是（）

A ．0b <且0c >

B ．0b >且0c <

C ．0b <且0c =

D ．0b ≥且0c =

3. 定义在R 上的函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-=1,11,11)(x x x x f ，关于x 的函数21)()()(2++=x bf x f x g 有5个不同的零点,,,,,54321x x x x x 则（）

=++++2

524232221x x x x x A.2222b

b + B.16 C.5 D.15 4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若关于x 的不等式0)()(2<+x af x f 恰好有1个整数解，则实数a 的最大值是（）

A.2

B.3

C.5

D.8

5.已知函数()21,0,log ,0,

ax x f x x x +⎧=⎨>⎩≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（）

嵌套函数专题

1.给定方程$f(x)=(x^2-1)-x^2-1+k=0$，下列四个命题中假

命题的个数是（）2.

解析：将方程化简可得$f(x)=-2$，因此该方程无实根。所以假命题的个数为2，选项C。

2.设定义域为R的函数$f(x)=\begin{cases}|lg|x-

1||,&x\neq1\\0,&x=1\end{cases}$，则关于x的方程

$f^2(x)+bf(x)+c=x-1=0$有7个不同的实数解的充要条件是（）。

解析：由题可得$f(x)\geq0$，且当$x\neq1$时，$f(x)>0$。因此，$f^2(x)+bf(x)+c=0$有实根的充要条件是$b^2-4c\geq0$，且$b\leq0$。又因为方程有7个不同的实数解，所以$f(x)$的零点个数为7，即$f(x)$在$x=1$处有重根。因此，$b=2f(1)=-2$，$c=f^2(1)=0$。所以$b<0$，$c=0$，选项A。

3.定义在R上的函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x-

1},&x\neq1\\1,&x=1\end{cases}$，关于x的函数

$g(x)=f^2(x)+bf(x)+2$有5个不同的零点$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，则$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=$（）。

解析：由题可得$g(x)$的零点个数为5，即$f(x)$的零点个数为5或$f(x)$在某些零点处有重根。若$f(x)$在某些零点处有重根，则$f(x)=(x-a)^2(x-b)(x-c)(x-d)$，其中$a$为重根，

高考数学二轮复习函数的嵌套与旋转对称问题

－3<－m2 <1，
解得 2<m≤130.
规律方法解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解.
跟踪演练1 (1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满
足：∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的
√A.12，1
B.－12，1
C.12，－1
D.－12，－1
12345678
依题意，得f′(x)＝x2－x＋3，所以f″(x)＝2x－1，由 f″(x)＝0，即 2x－1＝0，得 x＝12，又 f 12＝1，故函数 f(x)＝13x3－12x2＋3x－152的对称中心为12，1.
12345678
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示，观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3.
(2)(2022·江西重点中学联考)函数f(x)＝ x2e2xx－，2xx>，0，x≤0，若关于x的方程 [f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为
A.－2，130 C.2，130
B.－2，130

微专题22 函数嵌套问题(解析版)

微专题22函数嵌套问题

【题型归纳目录】

题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题

题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】

题型一：“()()=f f x k ”型问题

例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =

．

【解析】解：函数()|2|f x x x =-，当(0,2)x ∈时，

2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；

作函数()|2|f x x x =-的图象如下：

解(2)1x x -=，得到1x =或1x =+又0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，

所以(0)1f x =+f （2）01=<，f （3）31=>+，因为0(x k ∈，1)()k k Z +∈，所以2k =，故答案为：2．

例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于

，若0x 是函数

()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =

．

【解析】解：当(0,2)x ∈时，

2()|2|(2)(1)11f x x x x x x =-=-=--+ ；

高考数学之函数专项重点突破-专题20 函数嵌套问题(解析版)

专题20函数嵌套问题

一、单选题

1．已知函数()e ,0

2,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩

，则方程()20f f x ⎡⎤-=⎣⎦的根个数为（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】令()20y f f x =-=⎡⎤⎣⎦，即()2f f x =⎡

⎤⎣⎦根的个数，设()f x t =，所以()2f t =，即0,e 2t t ≥=或0,22t t <-=，解得ln 2t =或1t =-，即()ln 2f x =或()1f x =-，即0,e ln 2x x ≥=或0,2ln 2x x <-=，解得ln 2

x =-；或0,e 1x x ≥=-或0,21x x <-=-，无符合题意的解.综上所述：程()2y f f x =-⎡⎤⎣⎦的根个数为1个.故选：A.

2．已知函数()232,1,

2,1,

x x x f x x x x ⎧--≤⎪

=⎨+->⎪⎩

则函数()()3y f f x =-的零点个数为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解析】作出()f x

的图象，如图所示：

则()f x 的值域为R ，求()()3y f f x =-的零点，即求()()30f f x -=，即()()3f f x =，对应方程的根.设()m f x =，则m R ∈，则()()3f f x =等价于()3f m =

，如图所示：

()3f m =有3个交点，则m 有三个解，

当1m £时，有2323m m --=，解得0m =或2m =-，

当1m >时，有4

函数嵌套问题(学生版)-高中数学

函数嵌套问题

一、单选题

1.已知函数f x =x 2,

x ≤0

x 2+14x

,x >0

，则关于x 的方程3f 2(x )-7f (x )+2=0实数解的个数为(

)

A.4

B.5

C.3

D.2

2.已知函数f (x )=3x -2+2,

x ≤2log 3

(x -2) ,

x >2

则函数F (x )=f [f (x )]-2f (x )-19

的零点个数是()

A.2

B.3

C.4

D.5

3.已知函数f (x )=log 2 x -1||，若函数g (x )=f 2(x )+af (x )+2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =()

A.6

B.-2

C.2

D.-6

4.已知函数f (x )=lg x -1 ,x ≠1

0,x =1

，则函数y =f f x +m m ∈R 零点个数最多是(

)

A.10

B.12

C.14

D.16

5.已知函数f x =2x -3,x >0,

x 3-3x +1,x ≤0 ，

函数g x =f f x -m 恰有5个零点，则m 的取值范围是(

)

A.-3,1

B.0,1

C.-1,1

D.1,3

6.已知函数f x =

1-x

,x <0

ln x ,x >0

(e 为自然对数的底数)，则函数F x =f f x -1e 3

f x -1的零点个数为

()

A.3

B.5

C.7

D.9

7.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=4-2-x .若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解则实数m 的取值范围是()

A.-∞,-3∪ 3,+∞

嵌套函数的经典例题

嵌套函数是指在一个函数内部定义另一个函数的情况。这种情况下，内部函数可以访问外部函数的变量，这种特性使得嵌套函数成为编程中一个非常有用的工具。经典的例题之一是关于嵌套函数的作用域和闭包的概念。

假设我们有一个外部函数outer，内部函数inner，我们希望inner函数能够访问outer函数的参数和局部变量。一个经典的例题是计算器程序，我们可以使用嵌套函数来实现。外部函数可以用来初始化计算器的状态，内部函数可以实现加法、减法等操作。这样可以避免全局变量的使用，提高程序的封装性和可维护性。

另一个经典的例题是使用嵌套函数来实现递归算法。递归算法通常需要一个辅助函数来实现递归调用，这时候就可以使用嵌套函数。例如，我们可以实现一个计算阶乘的函数，外部函数用来检查输入的合法性，内部函数用来实现递归计算。

此外，嵌套函数还可以用来实现一些特定的编程模式，比如装饰器。装饰器是Python中的一种高级函数用法，它可以用来在不修改原函数代码的情况下，为函数添加额外的功能。通过嵌套函数，

我们可以轻松地实现装饰器模式，这在Python中是非常常见的用法。

总之，嵌套函数在编程中有着广泛的应用，可以帮助我们更好

地组织代码、提高程序的可读性和可维护性。通过经典的例题，我

们可以更好地理解嵌套函数的作用和优势，为我们的编程工作带来

更多的灵活性和便利性。

专题训练：嵌套函数的零点问题(含解析)

嵌套函数的零点问题

思路引导

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t ，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

例题讲解

类型一嵌套函数零点个数的判断

【典例1】已知函数f (x )=2x +22,x ≤1log 2x -1 ,x >1

，则函数F (x )=f f x -2f x -32

的零点个数是

( )A.4

B.5

C.6

D.7

【解题指导】令t =f (x ),F (x )=0→f (t )=2t -

32→作函数y =f (x )与y =2x +3

图象→两个交点的横坐标为t 1=0,t 2∈(1,2)→f (x )=t 1、f (x )=t 2判断F (x )的零点个数.【解析】令t =f (x ),F (

x )=0，则f (t )-2t -3

=0，作出y =f (x )的图象和直线y =2x +

，由图象可得有两个交点，设横坐标为t 1,t 2，∴t 1=0,t 2∈(1,2).

当f (x )=t 1时，有x =2，即有一解；当f (x )=t 2时，有三个解，∴综上，F (x )=0共有4个解，即有4个零点，故选A

【方法总结】

1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤

(1)换元解套，转化为t =g (x )与y =f (t )的零点．

(2)依次解方程，令f(t)=0，求t，代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．

【针对训练】(2022·长春市实验中学高三模拟)已知f(x)=

Excel中的函数嵌套技巧及常见应用场景

Microsoft Excel是一种功能强大的电子表格软件，被广泛应用于数

据分析、报告生成和业务管理等方面。其中，函数嵌套是Excel的一项重要功能，可以通过将不同的函数组合在一起，实现更加复杂和精确

的计算。本文将介绍Excel中的函数嵌套技巧以及常见的应用场景。

一、函数嵌套技巧

1. 嵌套IF函数

IF函数是Excel中最常用的逻辑函数之一，用于根据特定条件进行

判断并返回相应的结果。当遇到更加复杂的条件判断时，可以通过嵌

套IF函数来实现。例如，要根据某个单元格的数值范围来判断其等级，可以使用如下的嵌套IF函数：

=IF(A1<60,"不及格",IF(A1<80,"及格","优秀"))

这个公式会根据A1单元格的数值范围来判断其等级，并返回相应

的结果。

2. 嵌套VLOOKUP函数

VLOOKUP函数用于在数据表中进行垂直查找，根据指定的键值返

回对应的结果。有时候需要根据多个条件进行查找，可以通过嵌套VLOOKUP函数来实现。例如，要根据姓名和日期查找某个人在某天

的成绩，可以使用如下的嵌套VLOOKUP函数：

=VLOOKUP(A1&B1,表格范围,列号,FALSE)

其中，A1和B1分别是姓名和日期的单元格，表格范围是数据表的

范围，列号是要返回的结果所在的列号。

3. 嵌套SUM函数

SUM函数用于计算一系列数值的总和，但有时候需要根据特定条

件来进行求和。可以通过嵌套SUM函数来实现。例如，要计算某个部

门中工资大于5000的员工的总和，可以使用如下的嵌套SUM函数：=SUM(IF(部门范围="某个部门",IF(工资范围>5000,工资范围,0)))

函数嵌套问题(解析版)--新高考数学函数压轴小题专题突破

函数嵌套--新高考数学函数压轴小题专题突破

1．已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e

-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为(

)A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6

【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x '=-++--=+-，

∴当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，

()f x ∴在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

()f x 的极大值为2

5(2)f e -=，()f x 的极小值为f （1）e =-．作出()f x 的函数图象如图所示： 25()()()f x mf x m R e -=∈，25()()0f x mf x e

∴--=，△2200m e

=+>，令()f x t =则，则125t t e

=-．不妨设120t t <<，（1）若1t e <-，则2250t e <<

，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解；（2）若1t e =-，则22

5t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解；（3）若10e t -<<，则225t e >

，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解；综上，25()()f x mf x e

2023届新高考数学复习：专项(函数嵌套问题 )经典题提分练习(附答案)

2023届新高考数学复习：专项（函数嵌套问题）经典题提分练习

一、单选题

1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()21

2211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨

⎪--+>⎩

，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．()1,11,22⎡⎫

⋃⎪⎢⎣⎭

C ．()()0,11,2U

D ．()2,+∞

2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()221x

f x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）

A ．0m >且0n >

B ．0m <且0n >

C ．01m <<且0n =

D ．10m -<<且0n =

3．（2023春ꞏ四川资阳ꞏ高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()

1,0对称，且()()[)2

1,0,1,e 2,1,,

x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()2

21f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同

的实数解，则n 的所有可能的值为

A ．2

B ．4

C ．2或4

D ．2或4或6

4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25

()()()f x mf x m R e

-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为

嵌套函数复习题

函数是编程中非常重要的概念，它能够将一段代码封装起来并重复使用。而嵌套函数则是在一个函数内部定义另一个函数。嵌套函数的概念可能听起来有些抽象，但实际上它在实际编程中有着广泛的应用。接下来，我们将通过一些复习题来巩固对嵌套函数的理解。

题目一：

请编写一个函数，名为addition，该函数接受两个参数a和b，并返回它们的和。然后，在addition函数内部定义一个嵌套函数，名为multiply，该函数接受两个参数c和d，并返回它们的乘积。最后，在addition函数中调用multiply 函数，并返回a、b和c、d的和与乘积的和。

解答一：

```python

def addition(a, b):

def multiply(c, d):

return c * d

return a + b + multiply(a, b)

result = addition(2, 3)

print(result) # 输出：14

```

在这个例子中，我们首先定义了一个名为addition的函数，它接受两个参数a 和b，并返回它们的和。然后，在addition函数内部定义了一个嵌套函数

multiply，它接受两个参数c和d，并返回它们的乘积。最后，我们在addition 函数中调用了multiply函数，并返回a、b和c、d的和与乘积的和。

题目二：

请编写一个函数，名为power，该函数接受两个参数base和exponent，并返回base的exponent次幂。然后，在power函数内部定义一个嵌套函数，名为factorial，该函数接受一个参数n，并返回n的阶乘。最后，在power函数中调用factorial函数，并返回base的exponent次幂与n的阶乘的和。

嵌套函数问题

嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间上的函数（1）若存在,使得,则称是函数

D ()y f x =0x D ∈00()f x x =0x 的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在,使,则称是函数的二

()y f x =0x D ∈00(())f f x x =0x ()y f x =阶不动点,简称稳定点.

类型一嵌套函数中不动点稳定点问题典例1 ，.

(){}|A x f x x ==()(){}|B x f f x x ==（1）求证：；

A B ⊆（2）若，且，求实数的取值范围； ()()21,f x ax a R x R =-∈∈A B =≠∅a （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？ ()f x R 0x 0x 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由. 【答案】（1）见解析（2）（3）是 13,44⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

【解析】解：（1）若，则显然成立；若，设，

A =∅A

B ⊆A ≠∅t A ∈，，故.

()()()(),f t t f f t f t t ===t B ∴∈A B ⊆（2）有实根，.又，所以， 2

,1A ax x ≠∅∴-=1

a ∴≥-

A B ⊆()2211a ax x --=即的左边有因式， 3422210a x a x x a --+-=21ax x --从而有.

()()

222110ax x a x ax a --+-+=，要么没有实根，要么实根是方程的根.