高中数学常用逻辑用语知识点

高中数学常用逻辑用语

目标认知

考试大纲要求：

1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.

3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：充分条件与必要条件的判定

难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理

知识点一：命题

1. 定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题

（3）命题“”的真假判定方式：

①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助

判断。如：一定推出.

②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2. 逻辑联结词：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

（2）复合命题的构成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.

（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

非

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.

注意：

（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.

（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题

1. 四种命题的形式：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；

否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.

2. 四种命题的关系

①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.

②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命

题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

知识点三：充分条件与必要条件

1. 定义：

对于“若p则q”形式的命题：

从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在

于区分命题的条件p与结论q之间的关系．

①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若q p且p q，则p是q成立的必要不充分条件；

④若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.

⑤若p q且q p，则p是q成立的既不充分也不必要条件．

从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定

在于判断p、q相应的集合关系．

建立与p、q相应的集合，即:p A x p x成立，:q B x q x成立．

若A B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q成立的充分不必要条件；

若B A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q成立的必要不充分条件；

若A B，则p是q成立的充要条件；

若A B且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．

2. 理解认知：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.

“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.

3. 判断命题充要条件的三种方法

（1）定义法：

（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用

与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.

(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为A B；A=B可判断为A B，且

B A，即A B.

如图：

“”“，且”是的充分不必要条件.

“”“”是的充分必要条件.

知识点四：全称量词与存在量词

1. 全称量词与存在量词

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符

号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有

存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示

为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定

（I）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是特称命题。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。

注意：

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一

次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）一些常见的词的否定：

正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个

否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个

规律方法指导

1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真