点的极坐标与直角坐标的互化

7 . 因为点M在第三象限, 所以 6
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
y 1 3 tan , x 3 3
7 . 因为点M在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为 (2, ). 6
解: (1)
2 5 x cos 5 cos , 3 2 2 5 3 y sin 5 sin . 3 2
问题解析
2 例 (1) 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标; 3
解: (1)
2 5 x cos 5 cos , 3 2
y ρ
y
θ
x
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标 是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则
y
x cos y sin
2 x 2 y 2 y tan ( x 0) x
（2）极坐标方程 sin 2 cos 所表示的 曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断 曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同 乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos 化成直角坐标方程为x 2 y 2 y 2 x 1 2 5 1 2 即( x 1) ( y ) 这是以点(1, )为圆心， 2 4 2 5 半径为 的圆。 2
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
11 ( 2 , ), (6, ), (2, ), (5, ). 4 3 6
试一试
1.将下列各点的极坐标化为直角坐标:
11 ( 2 , ), (6, ), (2, ), (5, ). 4 3 6
2.将下列各点的直角坐标化为极坐标:
解：根据极坐标的定义 y 3 y tan tan x 4 x 即y x ( y 0)
（2）极坐标方程 sin 2 cos 所表示的 曲线是
（2）极坐标方程 sin 2 cos 所表示的 曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断 曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同 乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos 化成直角坐标方程为x 2 y 2 y 2 x 1 2 5 1 2 即( x 1) ( y ) 这是以点(1, )为圆心， 2 4 2 5 半径为 的圆。 2
2 5 3 y sin 5 sin . 3 2
5 5 3 所以, 点M的直角坐标为 ( , ). 2 2
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
y 1 3 tan , x 3 3
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (2) x y ( 3 ) (1) 2
2 2 2 2
y 1 3 tan , x 3 3
点的极坐标和直角坐
标的互化
思考
平面内的一个点既可以用直角坐标
表示，也可以用极坐标表示，那么，这
两种坐标之间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y ρ
y
θ
x
来自百度文库
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标 是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ). 则


互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
问题解析
2 例 (1) 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标; 3
问题解析
2 例 (1) 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标; 3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
(1,1), (0,5), ( 3 ,1).
试一试
3 （1） 的直角坐标方程是 4
试一试
3 （1） 的直角坐标方程是 4
解：根据极坐标的定义 y 3 y tan tan x 4 x 即y x ( y 0)
试一试
3 （1） 的直角坐标方程是 4
课堂小结
1、极坐标化为平面直角坐标 2、平面直角坐标化为极坐标
问题解析
2 例 (1) 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标; 3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
解: (1)
2 5 x cos 5 cos , 3 2
问题解析
2 例 (1) 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标; 3
(2) 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
ρ
y
θ
x
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos y sin
x y y tan ( x 0) x
2 2 2
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极 坐标时，取 0, 0,
（2）极坐标方程 sin 2 cos 所表示的 曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断 曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同 乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos 化成直角坐标方程为x 2 y 2 y 2 x 1 2 5 1 2 即( x 1) ( y ) 这是以点(1, )为圆心， 2 4 2 5 半径为 的圆。 2