联立方程模型
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例题 ：
第三节
联立方程模型结构型和简化型
一、模型结构型
1.概念: 根据经济理论和变量的行为规律直 接建立的计量经济学方程体系。 结构模型中的方程称为结构方程，其中的 参数称为 结构系数 Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt
2. 模型结构型的正规形式：将一个内生变 量表示为其它内生变量和前定变量及 随机项 的函数； 完备形式：内生变量的个数与结构方程的个 数相等 内生变量 =F （其它内生变量、前定变量、 随机项）------正规形式 结构方程个数=内生变量个数 --------完备形式
3．结构型的一般形式 ：Y 表示内生变量(g 个），
X表示前定变量(k个）， U表示随机变量 结构参数矩阵用B和表示，则：结构型的一般形式 为：BY+X=U 其中 ： u1 X 1 Y 1 u 2 U Y X X 2 Y 2Biblioteka Baidu u n Y g X k
11
1 2 1 1 1 21 1 2 31 1 1
2
1
a 1 a b b 1 a b
12
1
1
1
1
11
1
1
32
1 1 a1 b1
上面结构型系数与简化型系数之间的关系 式叫“参数关系体系”
2．求简化型的两种方法： （1）无约束最小二乘法：直接表示
Ct =11 Y t-1 +12 Gt + v1t It = 21 Y t-1 +22 Gt +v2t Yt = 31 Y t-1 +32 Gt +v3t 然后估计
一般可以用OLS估计
第五节 联立方程模型的识别
一、识别概念 例：市场局均衡模型 D=b0+b1P+u S=a0+a1P+v D=S 该模型中需求函数D与供给函数S统计形式不唯 一，估计会出现歧义 1、识别的定义 第一种：结构型参数可以从参数关系体系中求 出 第二种：被识别方程统计形式是唯一的
2、识别分类：恰好识别、过度识别、不可识别 3、统计形式不唯一的含义： （ 1 ）方程体系中包含有与待识别方程变量相同 的方程； （2）方程体系经过有限次代数运算，可以求出 与待识别方程具有相同变量形式的方程。
四、识别的条件（以完备的结构型模型为例）
．
识别的阶条件 [待识别方程被斥变量数目]≥[联立方程中方程数 目-1] K：联立方程模型中变量总数 M：待识别方程中变量数目 G：联立方程中方程数目 则：阶条件为 K-M ≥ G-1 阶条件为必要条件
．秩条件
在含有G个方程的联立方程模型结构型中， 第I 个方程可识别的充分必要条件是：第I 个 方程被斥变量在其他方程中所对应的系数矩 阵（简称被斥变量系数矩阵）的秩等于方程 数目减一。 秩条件为充分必要条件 考察秩条件的步骤：（1）写出结构型的一般 形式，求出结构参数矩阵；（2）求出被斥变 量系数矩阵；（3）验证秩条件
11 B 21 g1
12 22
X
g2
1g 2g X gg
11 21 k1
12 22
k2
1k 2k kk
是方法复杂（不介绍）
一、OLS估计
1. 适用范围: 递归模型
2. 参数估计值统计性质 具有BLUE 性质
二、间接最小二乘法(ILS) 1.适用范围: 恰好识别的方程 2. 参数估计值统计性质: 对小样本是有 偏的,对大样本是渐进无偏的。
3.基本思想：P155页
4.具体步骤：P156页
5.例题：
三、.工具变量法(IV)
关系。例如，用进出口总额来解释关税等。
（4）统计方程：描述由数据之间的相关性决定 的变量之间的关系。例如，描述城市居民收入与农 村居民收入关系的方程。 2.衡等方程： （1）定义方程 GDP=消费+投资+出口 （2）平衡方程 总人口=城市人口+农村人口 （3）经验方程 城镇居民平均收入=3.2农村 居民平均收入
二、方程分类
1.随机方程
（1）行为方程 ：描述经济变量之间的行为关 系。例如，收入解释消费 Ct =a0 +a1Yt+ut （2） 技术方程：描述由技术决定的变量之间 的关系。例如，生产函数是一定技术水平条件下资 本、劳动力等要素之间的组合关系。
Y=F（ K、L、u）
（3）制度方程：描述由制度决定的变量之间的
2
b b （提问） 1 a b
1 2 1 1
t-1对It的总影响
第四节 联立方程模型递归型 一、模型递归型 如果一个模型的结构方程可以表示为： Y1=f（X1，X2，…，Xk，u1） Y2=f（X1，X2，…，Xk，Y1，u2） Y3=f（X1，X2，…，Xk，Y1，Y2，u3） …….. Yg=f（X1，X2，…，Xk，Y1，Y2，…Yg-1，ug） 称为递归模型 二．模型递归型的估计
Y b0 b1 X 1 b2 X 2 ... bk X k u
2.联立方程计量经济学模型：
用一组方程来描述某一经济系统变量之间相 互依赖、互为因果的数量关系。这组单方程计量
例题1：市场局部均衡模型
经济学模型组成的方程组称为联立方程模型。
D=b0+b1P+u
S=a0+a1P+v
结构参数矩阵为： Ct
1
It 0
Yt - a1
Y t-1 0
Gt 0
0
1
-b1 -b2
0
-1
-1
-1
1
0
二．模型简化型
1．概念：把内生变量表示成前定变量和随机 项的函数。内生变量 =F （前定变量、随机项） 例：将 Keynesian 宏观模型，通过求解表示成 简化型。
Ct =a1Yt+ut
结构型
S=D
既然联立方程模型是单方程计 量经济学模型联立组成的方程 组，我们能否简单利用所学的 单方程模型理论和方法去估计 和检验联立方程模型呢？
哈哈！那是不 可能的！
二、联立方程模型估计时可能出现的新问题
1.识别问题： 即联立方程模型中某一单方程模型统计形式是 否唯一的问题。
例如：市场局部均衡模型
D=b0+b1P+u ……（1）
例如：简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt 中， Yt是随机解释变量， Yt与ut 可能相关
3.损失变量信息和方程之间的相关性信息问题
对简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt 如果采用单方程模型的估计方法，就会损失变 量信息和方程之间的相关性信息。
Cov（Xi，ui）=E（Xiui）=0 （满足假定6）
3.前定变量（预定变量、先决变量）：外生变 量和滞后变量的统称 。例如 Y t-1和Gt
在联立方程模型中，前定变量一般与随机项无 关。用Xi 、Yi-s表示前定变量，则一般下式成立： Cov（Xi，ui）=E（Xiui）=0 （满足假定6） Cov（ Yi-s ，ui）=E（ Yi-s ui）=0
结论：对联立方程模型，一是必须讨论如
何解决上述3个问题；二是必须发展新的联立 方程模型估计方法 。 我们关于联立方程模型的讨论就是围绕 研究解决以上问题展开的。
第二节 联立方程模型若干基本概念
一、变量分类
1.内生变量：由联立方程模型系统内部决定的 变量。一般是随机的，既由模型系统决定，又影响 模型系统。 例如： Yt 、Ct 、It、 S、P、D
S=Q
S供给、D需求、P价格
例题2：简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt Ct 居民消费 Yt 国民收入 Y t-1 前期国 民收入 It 投资 Gt 政府消费
D=b0+b1P+u
S=a0+a1P+v
1.工具变量方法：对联立方程模型来说， 工具变量方法就是以适当的前定（预定）变 量为工具代替结构方程中作为解释变量的内 生变量，以减少解释变量与随机项的相关性， 进而对待估计方程进行OLS估计。
第九章 联立方程模型
目的与要求： 1.掌握联立方程模型的概念 2.理解联立方程模型估计时会出现什么问题 3.掌握关于联立方程模型的若干基本概念 4.理解联立方程模型的识别问题 5.掌握联立方程模型结构型的识别判断条件 6.掌握联立方程模型的部分估计方法
第一节 联立方程模型
一、联立方程模型的概念
1.单方程计量经济学模型： 用一个方程来描述某一经济变量与影响该变 量的诸因素之间的数量关系。
例题：市场局部均衡模型。
二、识别反论 ：一个方程能否被识别取 决于该方程没有包含，但在方程体系中其它 方程中起显著作用的变量，这些变量称为 “被斥变量”。 三、识别问题的意义 ．识别是联立方程模型特有的，本质上是某 一方程在联立方程模型中表示方法是否唯一 的问题。 ．只有在统计上必须估计系数的方程才产生 识别问题。 ．模型可识别与不可识别
结构参数矩阵为： Ct
1 0
It
0 1
Yt
- a1
Y t-1
0
Gt
0 0 -1
-b1 -b2
-1
-1
1
0
2.求出被斥变量系数矩阵 1 0
-1
3.验证秩条件
-1
第六节 联立方程模型估计方法
联立方程模型的估计方法分为两大类： 单一方程模型估计方法（有限信息估计方法）： 每次估计模型系统中的一个方程，实现整个联 立方程模型的估计。 简单、实用 系统估计方法（完全信息估计方法）： 同时对联立方程模型的全部方程进行估计，同 时得到所有方程的参数估计量。估计性质优良，但
例题 Ct =a1Yt+ut
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
的一般形式：
Ct +0* It - a1Yt+0* Y t-1 +0* Gt =ut
0*Ct + It -b1Yt -b2Y t-1 +0* Gt =vt -Ct - It +Yt +0* Y t-1 - Gt =0
例题 Ct =a1Yt+ut
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
判断投资函数的识别状态
1.写出结构型的一般形式，求出结构参数矩阵
Ct +0* It - a1Yt+0* Y t-1 +0* Gt =ut
0*Ct + It -b1Yt -b2Y t-1 +0* Gt =vt -Ct - It +Yt +0* Y t-1 - Gt =0
在联立方程模型中，内生变量一般与随机项相 关。用Yi表示内生变量，则一般下式成立： Cov（Yi，ui）=E（Yiui）0 （违背假定6）
第二节 联立方程模型若干基本概念
2.外生变量：由联立方程模型系统以外的因素 决定的变量。一般影响模型系统但不受模型系统 的影响。 例如： Gt
在联立方程模型中，外生变量一般与随机项不 相关。用Xi表示外生变量，则一般下式成立：
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
Ct =11 Y t-1 +12 Gt + v1t It = 21 Y t-1 +22 Gt +v2t Yt = 31 Y t-1 +32 Gt +v3t
a、b为结构型系数
简化型
为简化型系数，其中，
ab 1 a b ( 1 a ) b 1 a b b 1 a b
（2）间接估计法：通过变量代换，求得 结构型参数与简化型参数之间的关系式（参 数关系体系）。然后，通过结构型参数求出 简化型参数。
3．简化型模型系数的含义：表示前定 变量对内生变量的总影响
总影响=直接影响+间接影响
例如 表示Y
(1 a ) b 1 b a b
2 1 21 1 1
S=a0+a1P+v……. （2） S=D …… （3） （1）式代入（3）式得 S= b0+b1P+u
这时，如果用S、P的数据进行参数估计，可能会出现 歧义。
有人可能说估计的是需求方程参数b0、b1的估 计值，有人可能说估计的是供给方程参数a0、a1的 估计值—— 这就是估计出现歧义。
2.随机解释变量和解释变量与随机项相关问题
第三节
联立方程模型结构型和简化型
一、模型结构型
1.概念: 根据经济理论和变量的行为规律直 接建立的计量经济学方程体系。 结构模型中的方程称为结构方程，其中的 参数称为 结构系数 Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt
2. 模型结构型的正规形式：将一个内生变 量表示为其它内生变量和前定变量及 随机项 的函数； 完备形式：内生变量的个数与结构方程的个 数相等 内生变量 =F （其它内生变量、前定变量、 随机项）------正规形式 结构方程个数=内生变量个数 --------完备形式
3．结构型的一般形式 ：Y 表示内生变量(g 个），
X表示前定变量(k个）， U表示随机变量 结构参数矩阵用B和表示，则：结构型的一般形式 为：BY+X=U 其中 ： u1 X 1 Y 1 u 2 U Y X X 2 Y 2Biblioteka Baidu u n Y g X k
11
1 2 1 1 1 21 1 2 31 1 1
2
1
a 1 a b b 1 a b
12
1
1
1
1
11
1
1
32
1 1 a1 b1
上面结构型系数与简化型系数之间的关系 式叫“参数关系体系”
2．求简化型的两种方法： （1）无约束最小二乘法：直接表示
Ct =11 Y t-1 +12 Gt + v1t It = 21 Y t-1 +22 Gt +v2t Yt = 31 Y t-1 +32 Gt +v3t 然后估计
一般可以用OLS估计
第五节 联立方程模型的识别
一、识别概念 例：市场局均衡模型 D=b0+b1P+u S=a0+a1P+v D=S 该模型中需求函数D与供给函数S统计形式不唯 一，估计会出现歧义 1、识别的定义 第一种：结构型参数可以从参数关系体系中求 出 第二种：被识别方程统计形式是唯一的
2、识别分类：恰好识别、过度识别、不可识别 3、统计形式不唯一的含义： （ 1 ）方程体系中包含有与待识别方程变量相同 的方程； （2）方程体系经过有限次代数运算，可以求出 与待识别方程具有相同变量形式的方程。
四、识别的条件（以完备的结构型模型为例）
．
识别的阶条件 [待识别方程被斥变量数目]≥[联立方程中方程数 目-1] K：联立方程模型中变量总数 M：待识别方程中变量数目 G：联立方程中方程数目 则：阶条件为 K-M ≥ G-1 阶条件为必要条件
．秩条件
在含有G个方程的联立方程模型结构型中， 第I 个方程可识别的充分必要条件是：第I 个 方程被斥变量在其他方程中所对应的系数矩 阵（简称被斥变量系数矩阵）的秩等于方程 数目减一。 秩条件为充分必要条件 考察秩条件的步骤：（1）写出结构型的一般 形式，求出结构参数矩阵；（2）求出被斥变 量系数矩阵；（3）验证秩条件
11 B 21 g1
12 22
X
g2
1g 2g X gg
11 21 k1
12 22
k2
1k 2k kk
是方法复杂（不介绍）
一、OLS估计
1. 适用范围: 递归模型
2. 参数估计值统计性质 具有BLUE 性质
二、间接最小二乘法(ILS) 1.适用范围: 恰好识别的方程 2. 参数估计值统计性质: 对小样本是有 偏的,对大样本是渐进无偏的。
3.基本思想：P155页
4.具体步骤：P156页
5.例题：
三、.工具变量法(IV)
关系。例如，用进出口总额来解释关税等。
（4）统计方程：描述由数据之间的相关性决定 的变量之间的关系。例如，描述城市居民收入与农 村居民收入关系的方程。 2.衡等方程： （1）定义方程 GDP=消费+投资+出口 （2）平衡方程 总人口=城市人口+农村人口 （3）经验方程 城镇居民平均收入=3.2农村 居民平均收入
二、方程分类
1.随机方程
（1）行为方程 ：描述经济变量之间的行为关 系。例如，收入解释消费 Ct =a0 +a1Yt+ut （2） 技术方程：描述由技术决定的变量之间 的关系。例如，生产函数是一定技术水平条件下资 本、劳动力等要素之间的组合关系。
Y=F（ K、L、u）
（3）制度方程：描述由制度决定的变量之间的
2
b b （提问） 1 a b
1 2 1 1
t-1对It的总影响
第四节 联立方程模型递归型 一、模型递归型 如果一个模型的结构方程可以表示为： Y1=f（X1，X2，…，Xk，u1） Y2=f（X1，X2，…，Xk，Y1，u2） Y3=f（X1，X2，…，Xk，Y1，Y2，u3） …….. Yg=f（X1，X2，…，Xk，Y1，Y2，…Yg-1，ug） 称为递归模型 二．模型递归型的估计
Y b0 b1 X 1 b2 X 2 ... bk X k u
2.联立方程计量经济学模型：
用一组方程来描述某一经济系统变量之间相 互依赖、互为因果的数量关系。这组单方程计量
例题1：市场局部均衡模型
经济学模型组成的方程组称为联立方程模型。
D=b0+b1P+u
S=a0+a1P+v
结构参数矩阵为： Ct
1
It 0
Yt - a1
Y t-1 0
Gt 0
0
1
-b1 -b2
0
-1
-1
-1
1
0
二．模型简化型
1．概念：把内生变量表示成前定变量和随机 项的函数。内生变量 =F （前定变量、随机项） 例：将 Keynesian 宏观模型，通过求解表示成 简化型。
Ct =a1Yt+ut
结构型
S=D
既然联立方程模型是单方程计 量经济学模型联立组成的方程 组，我们能否简单利用所学的 单方程模型理论和方法去估计 和检验联立方程模型呢？
哈哈！那是不 可能的！
二、联立方程模型估计时可能出现的新问题
1.识别问题： 即联立方程模型中某一单方程模型统计形式是 否唯一的问题。
例如：市场局部均衡模型
D=b0+b1P+u ……（1）
例如：简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt 中， Yt是随机解释变量， Yt与ut 可能相关
3.损失变量信息和方程之间的相关性信息问题
对简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt 如果采用单方程模型的估计方法，就会损失变 量信息和方程之间的相关性信息。
Cov（Xi，ui）=E（Xiui）=0 （满足假定6）
3.前定变量（预定变量、先决变量）：外生变 量和滞后变量的统称 。例如 Y t-1和Gt
在联立方程模型中，前定变量一般与随机项无 关。用Xi 、Yi-s表示前定变量，则一般下式成立： Cov（Xi，ui）=E（Xiui）=0 （满足假定6） Cov（ Yi-s ，ui）=E（ Yi-s ui）=0
结论：对联立方程模型，一是必须讨论如
何解决上述3个问题；二是必须发展新的联立 方程模型估计方法 。 我们关于联立方程模型的讨论就是围绕 研究解决以上问题展开的。
第二节 联立方程模型若干基本概念
一、变量分类
1.内生变量：由联立方程模型系统内部决定的 变量。一般是随机的，既由模型系统决定，又影响 模型系统。 例如： Yt 、Ct 、It、 S、P、D
S=Q
S供给、D需求、P价格
例题2：简单的Keynesian宏观模型
Ct =a0 +a1Yt+ut It =b0 +b1Yt+b2Y t-1+vt Yt =Ct +It +Gt Ct 居民消费 Yt 国民收入 Y t-1 前期国 民收入 It 投资 Gt 政府消费
D=b0+b1P+u
S=a0+a1P+v
1.工具变量方法：对联立方程模型来说， 工具变量方法就是以适当的前定（预定）变 量为工具代替结构方程中作为解释变量的内 生变量，以减少解释变量与随机项的相关性， 进而对待估计方程进行OLS估计。
第九章 联立方程模型
目的与要求： 1.掌握联立方程模型的概念 2.理解联立方程模型估计时会出现什么问题 3.掌握关于联立方程模型的若干基本概念 4.理解联立方程模型的识别问题 5.掌握联立方程模型结构型的识别判断条件 6.掌握联立方程模型的部分估计方法
第一节 联立方程模型
一、联立方程模型的概念
1.单方程计量经济学模型： 用一个方程来描述某一经济变量与影响该变 量的诸因素之间的数量关系。
例题：市场局部均衡模型。
二、识别反论 ：一个方程能否被识别取 决于该方程没有包含，但在方程体系中其它 方程中起显著作用的变量，这些变量称为 “被斥变量”。 三、识别问题的意义 ．识别是联立方程模型特有的，本质上是某 一方程在联立方程模型中表示方法是否唯一 的问题。 ．只有在统计上必须估计系数的方程才产生 识别问题。 ．模型可识别与不可识别
结构参数矩阵为： Ct
1 0
It
0 1
Yt
- a1
Y t-1
0
Gt
0 0 -1
-b1 -b2
-1
-1
1
0
2.求出被斥变量系数矩阵 1 0
-1
3.验证秩条件
-1
第六节 联立方程模型估计方法
联立方程模型的估计方法分为两大类： 单一方程模型估计方法（有限信息估计方法）： 每次估计模型系统中的一个方程，实现整个联 立方程模型的估计。 简单、实用 系统估计方法（完全信息估计方法）： 同时对联立方程模型的全部方程进行估计，同 时得到所有方程的参数估计量。估计性质优良，但
例题 Ct =a1Yt+ut
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
的一般形式：
Ct +0* It - a1Yt+0* Y t-1 +0* Gt =ut
0*Ct + It -b1Yt -b2Y t-1 +0* Gt =vt -Ct - It +Yt +0* Y t-1 - Gt =0
例题 Ct =a1Yt+ut
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
判断投资函数的识别状态
1.写出结构型的一般形式，求出结构参数矩阵
Ct +0* It - a1Yt+0* Y t-1 +0* Gt =ut
0*Ct + It -b1Yt -b2Y t-1 +0* Gt =vt -Ct - It +Yt +0* Y t-1 - Gt =0
在联立方程模型中，内生变量一般与随机项相 关。用Yi表示内生变量，则一般下式成立： Cov（Yi，ui）=E（Yiui）0 （违背假定6）
第二节 联立方程模型若干基本概念
2.外生变量：由联立方程模型系统以外的因素 决定的变量。一般影响模型系统但不受模型系统 的影响。 例如： Gt
在联立方程模型中，外生变量一般与随机项不 相关。用Xi表示外生变量，则一般下式成立：
It =b1Yt+b2Y t-1+vt
Yt =Ct +It +Gt
Ct =11 Y t-1 +12 Gt + v1t It = 21 Y t-1 +22 Gt +v2t Yt = 31 Y t-1 +32 Gt +v3t
a、b为结构型系数
简化型
为简化型系数，其中，
ab 1 a b ( 1 a ) b 1 a b b 1 a b
（2）间接估计法：通过变量代换，求得 结构型参数与简化型参数之间的关系式（参 数关系体系）。然后，通过结构型参数求出 简化型参数。
3．简化型模型系数的含义：表示前定 变量对内生变量的总影响
总影响=直接影响+间接影响
例如 表示Y
(1 a ) b 1 b a b
2 1 21 1 1
S=a0+a1P+v……. （2） S=D …… （3） （1）式代入（3）式得 S= b0+b1P+u
这时，如果用S、P的数据进行参数估计，可能会出现 歧义。
有人可能说估计的是需求方程参数b0、b1的估 计值，有人可能说估计的是供给方程参数a0、a1的 估计值—— 这就是估计出现歧义。
2.随机解释变量和解释变量与随机项相关问题