总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)

第三节

函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

增函数

减函数

定义

设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，

x 2

当x 1

数f (x )在区间D 上是增函数

当x 1f (x 2) ，那么就说函

数f (x )在区间D 上是减函数

图象描述

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足

条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

结论 M 为最大值

M 为最小值

[小题能否全取]

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12

B ．k <12

C ．k >－1

2

D ．k <－1

2

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1

1－x (1－x )的最大值是( )

A.45

B.54

C.34

D.43

4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.

5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

⎫⎪⎪⎪⎪1x

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

[例1] 证明函数f (x )＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g (x )＝－2x

x －1在 (1，＋∞)上的单调性．

求函数的单调区间

典题导入

[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定

义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，

取函数f (x )＝2－

|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为

( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

若本例中f (x )＝2－|x |

变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

单调性的应用

典题导入

[例3] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )

(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.

由题悟法

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．

以题试法

3．(1)(2013·孝感调研)函数f (x )＝

1

x －1

在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________.

1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x

D ．y ＝x ＋1

x

2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17

D ．25

3．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx

在(0，＋∞)上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减

D ．先减后增

4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )

A ．f (4)>f (－6)

B ．f (－4)

C ．f (－4)>f (－6)

D ．f (4)