专题 多面体的外接球问题

专题 多面体的外接球问题

一、考点分析：

有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标

1、了解多面体与其外接球的关系

2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点

不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质

性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。

大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心

性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．

性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -=

（二）球体的体积与表面积：

3

4

13球、V R π=

224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切

1.外接球球心到各顶点的距离相等(R )

2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型：

(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）

例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是

111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ）

(二)对棱相等模型

题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题

画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱；

A

A

1

C 1B B

C

1A

()22222222

222222

22

228

a b x x y z x y z b c y R a b c R a c z ⎧+=⎪+++++=⇒=++=

=⎨⎪+=⎩

222第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程，

例3：三棱锥A-BCD 中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（ ）

（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）

解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：

()

222

2

222

2

a b c R a b c R ++=++⇒=

2

例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

3 ，其外接球的表面积是（ ）

（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积 .

(四) 垂面模型

PA ABC ⊥题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（平面）

步骤：

ABC ∆将画在小圆面上，以A 为小第一步：圆直径的

一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O

C

B

D

A

1111O ABC OO ABC O O D r

∆⊥=为的外心，所以平面，计算出小圆的半径第二步：()r 利用正弦定理计算可得

利用勾股定第三步：理即可：

2221R r OO =+ ,3=23S ABC SA ABC ABC SA -⊥例5：三棱锥中，侧棱平面底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）

P ABC -题型二：三棱锥的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上 ∆11确定球心O 的位置，取ABC 的外心O ，则P,第一O,O 三步：点共线； 11,;

AO r PO =1第二步：先计算出小圆O 的半径，再算出棱锥的高()2

2222211,OA O A O O R h R r R =+⇒=-+勾股定理第三步：：解出 ()2sin a

R a θθ

=

为棱长，为侧棱与底方法二：面所成角 32S ABC ABC -例6：正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）

(五)折叠模型

题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠

BCD ∆先画出如图所示的图形，将画在第一步：小圆上， 12

'BCD A BD H H ∆∆找出和的外心和12过H 和H 分别作平面BCD 和平面A'BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OE 第二步：,OC;1OCH R ∆∆11222

11解OEH ，算出OH ，在RT 中，勾股第三步：OH +即CH 定理=可：

60,BAD BCD ∠=⊥例7：棱形ABCD 的边长为2，且,将棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面A'BD 平面则三棱锥A'-BCD 的外接球的半径为（ ）

120BCD BCD ⊥“平面A'BD 平面”改为“平面A'BD 与平面所成角为”则三棱锥 A'-BCD 的外接球的半径为（变式： ）

A

S

C

B

A

S

C

B

C

D

B

A

六、课堂小结

1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？

（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点； （2）再构造直角三角形，勾股定理求解

2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？ 方法：直接补成长方体，求其体对角线；

3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？ 方法：直接补成长方体，求其体对角线；

4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？

111();

O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径利用正弦定理第：计算可得一步1111

=()

2O OO O O O h h ⊥第二步：过作底面，为球心且为椎体的高

利用勾股定第三步：理即可：

5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？

111();

O O O D r r =找底面多边形外接圆的圆心（顶点在底面的投影），计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O （2）在高线上取一点作为球心；利用勾股定理求出（3）半径即可

6、折叠问题（对称性）

12();O O r r 找两底面多边形外接圆的圆心、，计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O 12在过小圆圆心O ,O 作两面的垂线，两高线交点为（）球心2；

利用勾股定理求出（3）半径即可

七、课后作业

,,,,S ABCD S A B C D -1、正四棱锥都在同一个球面上，则该球的体积是（ ）

2、在三棱锥P-ABC 中，

PA=PB=PC= ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ，则该三棱锥外接球的体积为( )

八、教学反思

A

B

C

D

P