《实变函数与泛函分析II》教学大纲(本科)
《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲
《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。
2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。
“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
三、课程教学内容第一章集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。
熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。
熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
教学大纲_实变函数与泛函分析
教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。
本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。
一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。
二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。
2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。
3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。
本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。
三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。
在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。
2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。
3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。
4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。
5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。
四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
泛函分析教学大纲_2
泛函分析课程教学大纲第一部份前言一、课程基本信息1.课程类别：专业选修课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4.备选的教材：《实变函数与泛函分析基础（第二版）》，程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编，高等教育出版社，2004.二、课程性质和目标本课程性质是数学与应用数学专业的一门专业选修课。
本课程的教学目的是通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。
三、课程学时与学分教学时数： 64 学时学分数： 4 学分教学时数具体分配：第二部份教学内容及其要求第七章度量空间和赋范线性空间1．教学目标：要求学生理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映射、赋范线性空间等概念，并掌握压缩映射原理。
2．.教学重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间3．教学难点：稠密集、可分空间4．教学时数5．教学内容纲要第一节度量空间的进一步例子第二节度量空间的极限，稠密集，可分空间一、度量空间中的点列二、某些具体空间中收敛点列三、稠密集与可分空间第三节连续映射一、连续映射的定义二、连续映射的性质第四节柯西点列和完备度量空间一、柯西点列二、完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用一、压缩映射定理二、压缩映射定理应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间一、赋范线性空间二、Banach空间6. 课程资源（1）程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，2004.（2）郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.（3）胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001。
（4）江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994。
（5）W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.（6）江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间： 2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间：2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
实变函数与泛函分析-教学大纲
实变函数与泛函分析-教学大纲第一篇：实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4 课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue 积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章 Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann 可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时第四章L空间要求：1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：pLp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时 pp第五章 Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。
《实变函数》课程教学大纲
课程教学大纲《实变函数》（适用于数学与应用数学专业）数学系2007年8月课程编号：04024212《实变函数》课程教学大纲（Real variable function）适用专业：数学与应用数学，本科总学时：72 (均为理论) 学分：4制定单位：数学系执笔者：张菊芳审核人：高巧琴编写日期：2007年8月20日一、课程性质、目的和任务《实变函数论》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修课程。
它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue 积分理论。
通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
该课程的内容可归结为三大论：集合论、测度论、积分论,主要讲解Cantor 开创的集合的基论，Lebesgue 关于集合测度、函数的可测性、可测函数积分的理论。
一元函数的Lebesgue 积分是核心内容。
二、课程教学的基本要求第一章集合1．重点：集合的基本概念、集合的基数（特别是可数基数与连续基数）、一一映射和Bernstein定理。
2．难点：上、下限集概念及做一一映射和判定集合的势。
注意区别有限集与无限集，能否与真子集对等是区别两者的关键。
3．教学基本要求§ 1.1 集合弄清集合的基本概念。
§ 1.2集合的运算熟练掌握集合的并、交、差等运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。
§ 1.3 映射、对等和集合的基数理解映射、对等和基数的概念，理解一一对应的思想，理解并能应用伯恩斯坦定理，掌握验证二集对等的基本方法。
§ 1.4 可数集合深刻理解可数集及其基数的定义，理解可数集是最小的无限集，掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲前言实变函数是数学科学学院的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础，泛函分析是数学与信息科学学院高年级学生分析专业方向的选修课程。
本课程是一门重要的数学选修课程，作为数学分析和实变函数课程的深化，具有承上启下的作用，是现代数学最重要的入门课程。
通过这一课程，使学生了解许多数学问题可以通过赋范线性空间的理论而一般地解决。
它一方面为后继课程提供所需的理论基础，同时还为培养学生的抽象思维能力和独立工作能力提供必要的训练。
因而该课程是学习其他数学分支与进一步地科研工作的重要基础和工具。
设置本课程的目的是：通过本学科的学习，培养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的问题，为日后更高阶段的学习，特别是研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础。
本课程的学习要求是：使学生掌握实变函数与泛函分析的基本概念，基本知识，诸如集合，欧氏空间，Lebesgue测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，空间，空间，Hilbert空间理论，Hilbert空间，Banach空间，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
先修课程要求：学生修完《数学分析》、《高等代数》等基础课本课程计划：90学时，5学分，选用教材：王声望，郑维行著，《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，1998年教学手段：课堂讲授考核方法：闭卷考试教学进程安排表第一章集合一、学习目的熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
二、课程内容§1集合及其运算集合的表示法；集合的基本运算；一些常用集合的符号；集合序列的上、下限集。
实变函数与泛函分析-教学大纲
实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2]W. Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition；[3] W. Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition；[4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach 空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini 定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时L空间第四章p要求：1、熟练掌握p L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉p L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换主要内容：pL空间的范数、完备性、收敛性、可分性，p L 空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点p L空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、p L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、p L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时第五章Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱。
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《实变函数与泛函分析II》教学大纲（本科）
<总学时数：48，学分数：3，课程编码：09070050>
一．课程的性质，任务和目的
泛函分析课程是高等院校数学专业学生必修的重要的专业课。
为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础。
二、课程基本内容和要求
1．通过本课程的学习，要使学生获得：度量空间、线性赋范空间、线性有界算子、线性连续泛函、内积空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间方面的知识，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
2．再传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
3．本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际的原则，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用。
使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点。
4．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则，着重于基本概念，基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容上的完备和全面。
本大纲包括（一）教学内容（二）教学要求（三）重点与难点
教学要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“掌握”、“会”、“能”三级区分。
熟悉一词相当于“理解”、“熟练掌握”。
第六章度量空间、线性赋范空间
一）教学内容
第一节度量空间的进一步例子
第二节度量空间中的极限、稠密集、可分空间
第三节连续映照
第四节完备度量空间
第五节压缩映照原理
第六节线性赋范空间
其中：
基本概念：度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间
基本理论：压缩映照原理
二）教学要求
1．理解度量空间、稠密集、可分空间、连续映照、线性赋范空间等概念。
2．掌握压缩映照原理。
三）重点与难点
重点：压缩映照原理、度量空间、线性赋范空间
难点：稠密集、可分空间
第七章线性有界算子和线性连续泛函
一）教学内容
第一节线性有界算子和线性连续泛函
第二节线性算子空间和共轭空间
第三节广义函数大意
其中：
基本概念：线性有界算子和线性连续泛函、线性算子空间和共轭空间。
二）教学要求
1．理解线性有界算子和线性连续泛函
2．知道线性算子空间和共轭空间
三）重点与难点
重点：线性有界算子和线性连续泛函
难点：线性算子空间和共轭空间
第八章内积空间和希尔伯特空间
一）教学内容
第一节内积空间
第二节投影定理
第三节希尔伯特空间
其中：
基本概念：内积空间、希尔伯特空间
基本理论：投影定理
二）教学要求
1．掌握内积空间、希尔伯特空间的概念
2．知道投影定理
三）重点和难点
重点：内积空间、希尔伯特空间
难点：希尔伯特空间
第九章巴拿赫空间中的基本定理
一）教学内容
第一节泛函延拓定理
第二节C[a，b]的共轭空间
第三节共轭算子
第四节纲定理和一致有界定理
其中：
基本概念：共轭算子
基本理论：泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
基本方法：C[a，b]的共轭空间。
二）教学要求：
1．理解共轭算子
2．掌握泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
3．知道C[a，b]的共轭空间
三）重点与难点
重点：泛函延拓定理、纲定理和一致有界定理
难点：共轭算子、C[a，b]的共轭空间
三．学时分配表
五．有关说明
实践教学环节无
考核方式：
本课程为考试科目
教材《实变函数与泛函分析基础》，程其襄编，高等教育出版社。
参考书：其它同名教材
执笔人：沈京一
审核人：陈荣军
批准人：刘坤
2005年5月。