第2章--非线性方程求根与二分法
计算方法第2章f(x)=0求根资料
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
p1
x x0 x* x1
定理2.1：如果 g(x)满足下列条件 （1）当x[a, b]时，g(x)[a, b] （2）当任意x[a, b]时，存在0< L< 1，使
解法2:与原方程等价的方程为:
x x3 1
取 x0=1.5得迭代格式
xn1 xn3 1 n 0,1,2
计算得: x(1)=1.5; for k=2:4 x(k)=x(k-1)^3-1; end X x= 1.0e+003 *
0.0015 0.0024 0.0124 1.9040
发散。
2.迭代过程的收敛性 简单迭代法的两个基本问题:
第一步:求出与方程f(x)=0等价的方程x=g(x) 第二步:由迭代格式x0,xn+1=g(xn)n=0,1,2,… 产生一收敛的数列{xn} 设X*是{xn}的极限,若g(x)是连续的,再由第 一步可推出X*是f(x)=0的解.
xn+1是f(x)=0解的第n+1次近似; x0是解的初始近似; g(x)是迭代函数; xn+1=g(xn)是迭代格式.
再证解的唯一性
设另有f(x1)=0,那么根据微分中值定理有 x1- x*=g(x1)-g(x*)=g’(x2)(x1- x*)
计算方法 2.求根.
第2章 非线性方程的求根方法2.1 二分法设()0f x =在区间[,]a b 中只有一个根*x ，且满足()()0f a f b <，则二分法求根过程为： 记0[,]I a b =，取0I 的中点00.5()x a b =+，若0()0f x =，则*0x x =； 若0()()0f x f a <，则*0[,]x a x ∈，取10[,]I a x =； 若0()()0f x f a >，则*0[,]x x b ∈，取10[,]I x b=. 记111[,]I a b =，取1I 的中点1110.5()x a b =+，若1()0f x =，则*1x x =；若11()()0f x f a <，则*11[,]x a x ∈，取211[,]I a x =；若11()()0f x f a >，则*11[,]x x b ∈，取211[,]I x b =. 记222[,]I a b =⋅⋅⋅这样获得近似根序列01,,,,,k x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足于是当k →∞时，由11()02k b a +-→得到*k x x →.二分法算法简单，收敛，但收敛速度较慢.2.2 简单迭代法将方程()0f x =等价变形为()x x ϕ=，获得 迭代计算公式1()k k x x ϕ+=取定一个初值0x ，由迭代公式算出数列()() ,,1201x x x x ϕϕ==，若*lim k k x x →∞=，则足够靠后的k x 可作为根的近似值.由上述得出{}k x 称为迭代数列，函数()x ϕ为迭代函数，如上求根方法称为简单迭代法.对根*x ，有**()x x ϕ=，点*x 称为()x ϕ的不动点,称方程()x x ϕ=为不动点方程.例1 求方程01)(3=--=x x x f 在5.10=x 附近的根.定理1 设迭代函数()[,]x C a b ϕ∈满足条件 1.当[,]x a b ∈时，有()[,]x a b ϕ∈；2.存在正常数1L <，使对任意 12,[,]x x a b ∈都有1212()()x x L x x ϕϕ∣-∣≤∣-∣则()x ϕ在[,]a b 中有唯一的不动点*x ，迭代公式1()k k x x ϕ+=对任取0[,]x a b ∈，产生的数列{}k x 都收敛于*x .证明 作辅助函数()()x x x ψϕ=-显然()[,]x C a b ψ∈.由条件1知()()0a b ψψ≤由中值定理，至少存在一个[,]a b ξ∈，使()0ψξ=，即()ξϕξ=，这说明()x ϕ在[,]a b 上有不动点ξ. 如果()x ϕ在[,]a b 上还有一个不动点η，有()ηϕη=，利用条件2，有()()L ξηϕξϕηξηξη∣-∣=∣-∣≤∣-∣<∣-∣矛盾，这就证明了满足定理条件的()x ϕ在[,]a b 中有唯一的不动点，记为*x .由*x 是不动点、迭代格式及条件2，有***112**20()()k k k k k x x x x L x x L x x L x x ϕϕ---∣-∣=∣-∣≤∣-∣≤∣-∣≤≤∣-∣注意到01L <<，在上式中令k→∞，可得0kL →，有 *lim 0kk x x →∞∣-∣=，因而有 *lim k k x x →∞=定理得证.定理2 设定理1的条件成立，则有如下误差估计式证明 只证1.由迭代公式和定理2.1的条件，有()1k k k k x x x x ϕ+∣-∣=-**()()()k k x x x x ϕϕϕ=∣-+-∣ ****()()()()k k k k x x x x x x x x ϕϕϕϕ=-+-≥---***L L)k k k x x x x x x ≥∣-∣-∣-∣=(1-∣-∣因为01L <<，所以有*111k k k x x x x L+-≤--另一方面111()()k k k k k k x x x x L x x ϕϕ+--∣-∣=∣-∣≤∣-∣代入上式得结论1.定理2.1的条件2对任意12,[,]x x a b ∈，存在正常数1L <满足1212()()x x L x x ϕϕ∣-∣≤∣-∣不易使用。
非线性方程的二分法
(1) [ak 1, bk 1 ] [ak , bk ]
ak xk，b) bk1 ak1 2k
(3) f (ak 1 ) f (bk 1 ) 0
而{ak }单调上升，有上界x*, {bk }单调下降，有下界x *。
收敛说于f明(近x:)似对 解0于的序给一列定个{的x根误k }k差x*0界., 其即 极x0限k,只为x*要x*2,hb(kk2na0,
2.会求用二分法解非线性方程时的执行次数k 。
ln b a N [ ] 1.
ln 2
0 给定的误差界
(2.2)
ak ak
x* xk xk
bk x
bk
若f ( xk ) 0，则x* xk ,如图
ak 1 xk bk1 bk x
若f ( xk ) f (ak ) 0, 取ak1 xk ,bk1 bk ,如图
若f ( xk ) f (ak ) 0,取ak 1 ak ,bk 1 xk ,如图 ak
) 即序列 { xk
且 f ( x* ) 0.
, 就有 x*
}k xn
0
.
此时可计算或估计二分法执行的次数k.
事实上,由 b a 2n N n 1 [ln(b ln 2
a)
,
两边取对数得 ln(b
ln b a
ln ] , 可取
ln 2
(a+b)/2
b
x a f (a) b a
f (b) f (a)
注：试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证 收敛。
例2.1 用二分法求 x 3 4x 2 10 0在(1,2)内的根，要 求绝对误差不超过 1 102
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
第二章 非线性方程求解
(k 0),则称序列{xn}是p阶收敛的. 特别是当p=1时
称线性收敛; p>1时称超线性收敛;p=2时称平方收敛. 如果由迭代函
数g(x)产生的序列{xn}是p阶收敛的, 则称g(x)是p阶迭代函数, 并称 迭代法xn+1=g(xn)是p阶收敛. 定理3 对于迭代过程xn+1=g(xn), 如果迭代函数g(x)在所求根x*的 邻近有连续的二阶导数,且|g’(x*)|<1, 则有
对 x [0.5,0.6]时有 |( x) | e x e0.5 0.607 1, 故当取初值x0=0.5时,
迭代过程xk1 exk (k 0,1,2,...) 必收敛. 迭代结果如下:
k xk
xk-xk-1
k xk
xk-xk-1
1 0.60653 0.10653
(1) 当 g(x*) 0时,迭代过程为线性收敛
(2) 当 g(x*) 0 , g(x*) 0 时,迭代过程为平方收敛.
定理4 设x*是方程x=g(x)的根,在x*的某一邻域g(x)的m (m>1)阶
导数连续,并且g’(x*)=…=g(m-1)(x*)=0, g(m)(x*)不等于零, 则当初始
为: [a,b]=[a0,b0] [a1,b1] [a2,b2] …… [ai-1,bi-1] [ai,bi] 其中ai或bi (i=1,2,3,……)是区间[ai-1,bi-1]的中点. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(xi)f(bi-1)=0,则x* = xi. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(xi)f(bi-1)<0,则ai= xi, bi= bi-1. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(ai-1)f(xi)<0,则ai= ai-1, bi= xi.
数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根
end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001
第2章非线性方程求根
解：设最多需要迭代n次。
∵要求精确到小数点后3位，
∴误差限≤ 12×10-3，
∴由定理2.1得：
n=
lg(1
0)
lg( lg 2
1 2
103 )
1
=
0
( lg 2 lg 2
3)
1
=
0.301 0.301
3
1= 10 .97
1
=10，即最多需要迭代10次。
用对分法求f(x)=0在某区间的单根，最多迭代次数与函数f(x)曲线形状无 关。一般情况下，对分法的最多迭代次数比其他的变步长逐步搜索法要 少，因此对分法是用得最多的变步长逐步搜索法。
if(f(b)==0) x=b;
else for(begin=a,end=a+h;begin<b;begin=end,end+=h)
{
if(end>b)end=b;
if(f(begin)==0)
{x=begin;break; }
if(f(begin)*f(end)<0)
{x=(begin+end)/2;break; }}
Y
N
x=begin;
break;
f(begin)*f(end)<0
Y
N
(end－begin)/2<=ε
Y
N
x=(begin+end)/2;
h/=hnumber;
break;
end=begin;
输出方程f(x)=0的根x。
8
2.3 根的搜索
变步长逐步搜索法对应的程序
#include <stdio.h> double f(double x);
第2章非线性方程求根
y
y=x
p1
x (x)
p0
✓
y
x (x)
p0
y=x
p1
x
x0
x1
x
x0 x1
说明在根 附近，曲线的切线不能太陡！ 17
例2.2.1 求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根.
解 （1） 将方程改写为 x 3 x 1
由此建立迭代公式 xk1 3 xk 1 得
k0 1
(Lp1
Lp2
...1) |
xk 1
xk
|
1 1 L
|
xk 1
xk
|,
令p ，得
|
xk
|
1 1 L
|
xk 1
xk
|.
因而可通过检查 | xk1 xk | 来判断迭代过程应否终止。
24
例2.2.3 求 f (x) 9x2 sin x 1 0 在[0,1]内的一个根。
解 由于 f (0) 1 0,
(bk 1
ak1)
...
1 2k
(b
a).
因此，当
k
足够大时，我们可以用
xk
ak
bk 2
作为函数
f (x)的一个根 的近似值。
此时有误差估计：
xk
bk ak 2
ba. 2k 1
常用来估计k的值
9
四、算法的优点与缺点
优点：计算简单且必收敛，是一种可靠的算法；对函数性质要 求低，只要求函数f(x)连续就可以了。
(2). 若 f (x0 ) f (a) 0，则令a1 a，b1 x0； 若 f (x0 ) f (b) 0，则令a1 x0，b1 b.
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
数值分析课件第二章_非线性方程求根
| xn x || ( xn 1 ) ( x ) |
* *
| ( ) || xn 1 x* |
*
| xn x | L | xn1 x | | xn x | L | x0 x |
* n *
lim | xn x | lim L | x0 x | 0
x*即为不动点。
不动点存在的唯一性证明：
设有 x1*≠ x2*, 使得
* 1 * 2 * 1
(x ) x
* 1
* 1
(x ) x
* 2
* 2
* * 则 | x x || ( x ) ( x ) || ( ) || x1 x2 | * 2
其中，ξ介于 x1* 和 x2* 之间。
由于
计法
Ln xn x * x1 x0 1 L
很难估计，采用事后估
| xn x* |
1 | xn 1 xn || xn 1 xn | ，L大误差大。 1 L
不动点迭代法可以求方程的复根和偶数重根。
例 用不同方法求 x 2 3 0 在x=2附近的根。 解： 格式（1）
则对任意x0 [a, b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序 列{xn }收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
1 | xn x | | xn 1 xn | 1 L
*
L xn x * x1 x0 1 L
n
证明：
xn ( xn1 ) * * x ( x )
x0
O
x1
x3 x * x2
x0
y ( x)
发散
y ( x)
O
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
非线性方程求根二分法优秀文档
要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜 索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各 个根的近似值。
7.1 二分法
总结上述讨论有下列定理
这样就得到区间分半次数k.
--------(1)
如果存在 x*使 ,一得 f点 (x*)0
且 以等比数列的收敛速度
则称 x*为方(程 1)的根或零点
值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它
作为后面要讨论的迭代法的初始值。
如果方(1程 )在区[间 a,b]上只有一个根， 重复上述步骤，第k步就得到根 的近似
方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。
本节主要研究单根区间上的求解方法
如果方 (1)程 在区[a间 ,b]上有多个根， 要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各个根的近似值。
方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。 且 以等比数列的收敛速度
且 以等比数列的收敛速度
为方程的有根区间。 对有根区间
重复上述步骤，即分半求中点，判断函数值符号，则可得到长度又缩小一半的有根区间
且 以等比数列的收敛速度
。
续，且f(a)f(b)<0.
二分法的基本思想，就是逐步将有根区间分 更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查所在节点上的函
这样就得到区间分半次数k.
给定的精度要求
，由
非线性方程求根的常见方法及其应用
非线性方程求根的常见方法及其应用对于一个非线性方程，其解不一定是唯一的，而且很多情况下解根难以直接求得。
因此，寻找一种可靠、有效的方法来求解非线性方程根是非常重要的。
本文将介绍几种常见的非线性方程求根方法，并且介绍它们的应用场景及求解精度。
一、二分法二分法是一种最基本且易于实现的方法，它能够求解任何单峰函数（函数图像中仅有一个极大值或极小值的函数）的根。
该方法的主要思想是不断缩小根的区间，直到找到根。
具体而言，对于一个单峰函数f(x)，在区间[a,b]上寻找其根。
首先，取中点c=(a+b)/2，计算f(c)。
如果f(c)≈0，则找到了根；否则，根位于[a,c]或[c,b]中的一个区间上，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点是简单易用，适用于大部分单峰函数，并且收敛速度相对较快。
但是，该方法需要区间起点和终点具有异号，否则无法找到根。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的方法，可用于求解任何无奇点的连续可微函数的根。
该方法的主要思想是将一个复杂的函数不断逼近于一条直线，然后通过直线和x轴的交点来不断逼近函数的根。
具体而言，对于一个连续可微函数f(x)，在初始点x0处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处的导数f'(x0)来确定函数的切线。
然后，找到x轴上离该点最近的交点x1处，并将其作为新的起点，迭代上述过程，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
但是，该方法可能会出现迭代过程不稳定的问题，因此需要谨慎选择初值。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的方法，其主要思想是通过一条割线来逼近函数的根。
相比于牛顿迭代法，割线法更加适用于函数的导数难以求得的情况。
具体而言，对于一个函数f(x)，在初始点x0和x1处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处和x=x1处的取值来确定割线，找到x轴上与割线交点x2处，并将其作为新的起点，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
计算方法2非线性方程求根
收敛性
牛顿-拉夫逊方法具有局部收敛性，当初始值选取合适时，可以迅 速收敛到方程的根。同时，该方法对单根和重根均有效。
05
数值稳定性与误差分析
数值稳定性概念
数值稳定性
指算法在计算过程中，对于输入数据的微小变化，输出结果的变化也是微小的，即算法对输入误差的 敏感性较低。
算法设计与实现过程
算法设计
针对所选择的非线性方程，设计一种有效的 求根算法。常见的求根算法包括二分法、牛 顿法、割线法等。在选择算法时，需要考虑 算法的收敛性、稳定性和计算效率等因素。
算法实现
根据所设计的算法，编写相应的计算机程序。 程序应包括输入、计算和输出三个主要部分。 输入部分用于接收用户输入的非线性方程和 初始值等信息；计算部分用于执行求根算法 的计算过程；输出部分用于显示计算结果和 相关信息。
研究不足与展望
对于某些特殊类型的非线性方程，如高 次方程、多元方程等，本文算法可能存 在一定的局限性和不足，需要进一步研 究和改进。
在实际应用中，非线性方程的求解往往受到 各种因素的影响，如噪声、误差等，本文算 法在处理这些问题时可能需要进一步完善和 优化。
未来可以进一步探索非线性方程求 根的新方法和新技术，如基于深度 学习的求解方法、基于高性能计算 的并行化技术等，以提高求解效率 和精度。
高斯-赛德尔迭代法
在雅可比迭代法的基础上，采 用逐次超松弛技术加速收敛。
牛顿-拉夫逊迭代法
将非线性方程组转化为等价的 线性方程组，然后利用牛顿拉夫逊方法进行迭代求解。
牛顿-拉夫逊方法
基本思想
将非线性方程在根的附近用泰勒级数展开，忽略高阶项，得到近似 线性方程，然后求解该线性方程得到根的近似值。
2二分法求解非线性方程的根
实验2 二分法求解非线性方程的根计机系 041班姓名：刘文杰学号：200410714102【实验内容】1、方法介绍（1）输入区间端点值a、b，步长h，及精度控制量ε1，若|f(a)|< ε1，则a为原方程的一个近似根，若|f(b)|< ε1，则b为原方程的一个近似根。
（2）以h为步长，将区间[a，b]分为两个等距的小区间[a，c]，[c，b]。
如果f(a)<0，f(c)>0，则根在[a，c]中，将区间[a，c]再分半，分点为x i，若|f(x i)|< ε1，则xi是方程的一个根。
（3）精度控制，若|f(x1)|< ε1，则x i是方程的一个根，否则重复（2）。
2、使用说明a：实数型，根之上界。
b：实数型，根之下界。
h：步长，实数型。
E：函数的精度，实数型。
ary：元素的一维数组，存放计算结果。
3、基本原理对于非线性方程，在某个范围内往往有不止一个的根，根的分布情况同时也可很复杂，面对这种情况，通常先将所考察的范围划分成若干子段，然后判断哪些子段内有根，这项手续称作根的隔离。
将所求的根隔离开来以后，再在有根子段内找出满足精度要求的近似根。
为此适当选取有根子段内某一点作为根的初始近似，然后运用迭代方法使之逐步精确化。
程序源代码：#include"stdio.h"#include"math.h"#include"conio.h"#include"iostream.h"double f(double x){return sin(x);}double dichotomy(double a1,double b1,double E){double c,y,y0;y0=f(a1);do{c=((a1+b1)/2.0);y=f(c);if(y*y0>0) a1=c;else b1=c;}while((b1-a1)>=E);return c;}void main(){int i,n=0;double E,a1,b1,R[20],a,b,h,y1,y2;cout<<"***********************二分法求解非线性方程的根*****************"<<endl;cout<<"请输入区间端点值a,b:"<<endl;cout<<"a=";cin>>a;cout<<"b=";cin>>b;cout<<"请输入步长h:"<<endl;cin>>h;cout<<"请输入精度控制量E:"<<endl;cin>>E;a1=a;b1=a1+h;for(;b1<=b;a1=a1+h,b1=b1+h){y1=f(a1);if(fabs(f(a1))<E) {R[n]=a1,n++;}y2=f(b1);if(y1*y2<0) {R[n]=dichotomy(a1,b1,E);n++;}}if(a1<b){b1=b;y1=f(a1);if(fabs(y1)<E) {R[n]=a1;n++;}y2=f(b1);if(y1*y2<0) {R[n]=dichotomy(a1,b1,E);n++;}}if(fabs(f(b))<E) {R[n]=b;n++;}cout<<"二分法求解非线性方程实根为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cout<<R[i]<<endl;cout<<"***********************二分法求解非线性方程的根*****************"<<endl;getch();}4、实例求超越方程sinx=0在区间[-2，7]内的全部实根。
非线性方程的数值求法二分法和简单迭代法.pptx
• 本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解 代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限 于求方程的实根。
• 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题：
• 确定根的初值; • 将进一步精确化到所需要的精度。
记笔记 第3页/共52页
7.1 二分法
二分法又称二分区间法,是求解非线性方程的近 似根的一种常用的简单方法。
第4页/共52页
确定有根区间的方法
• 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，
称为圈定根或根的隔离。
• 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一 定
精度要求的初值。
• 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次 数
相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或
无
第5页/共52页
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的 单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少 有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递 增或递减，则仅有一个实根。
二分法求根过程
设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐 步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下
① 取有根区间[a,b]之中点, 将它分为两半,分点
x0
ab 2
,这样就可缩小有根区间
y
y=f(x)
y=f(x)
a
x1
x* x0
a1
b1
a2
b2
b
a
第13页/共52页
x*
x0
x1
b
a1
再将 x1 代入式 x (x) 的右端, 得到 x2 (x1) , 依此类推, 得到一个数列 x3 (x2 ) …， 其一般表示
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故方程至少有一个正实根。 设从x=0出发，取h=0.5为步长向右计算， 将各个点上的函数值列于下表：
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
x 0 0.5 1.0 1.5 f(x) ― ― ― +
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
y
y= f(x)
故总假设(a,b)
0
x
上有唯一根
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
逐步扫描算法 (1) x0←a； (2) 若 f( x0) f( x0+h)<0，则x*必在( x0 , x0+h)中， 取 (x0, x0+h)作为有根区间，否则转(3); (3) x0← x0+h，转(2)；
五、牛顿法
六、弦截法
迭代过程的收敛性
• 定理: 设迭代函数
在
上具有连续的一阶导数，且
（1）当
时，有
；
（2）存在正数 ，使对任意的
，有
成立。
则
在 上存在唯一的解 ，并且对任意选取的初
值
，迭代过程所产生的迭代数列收敛于 。
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
迭代过程的收敛性证明
证明：先证 的存在性。
由条件可知，在 上 存在，所以 是连续函数
f (x) ε2
不能保证 x 的 精度
2
x*
x
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
误差分析
第1步产生的
ab x1 2
有误差
|x1
x*|
b
2
a
第
k
步产生的
xk
有误差
|xk
x*|
ba 2k
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba 2k
ε
k lnb a lnε
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
k
xk
k
xk
0
1.5
5
1.32476
1
1.35721
6
1.32473
2
1.33086
7
1.32472
3
1.32588
8
1.32472
4
1.32494
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
四、简单迭代法
五、牛顿法
迭代法的结束条件
六、弦截法
四、简单迭代法
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
上述算法问题？
适合函数严 格单调情况！
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
改进算法： (1) x0←a；
(2) 若 f( x0) f( x0+h)<0，则x*必在( x0 , x0+h)中，取 (x0, x0+h)作为一个有根区间，再转(3);
并有误差估计
例题分析
求方程
在[0，1] 内的一个根 。
解：将方程写成迭代格式 由于
迭代法收敛，任取初值，比如 利用程序进行计算，得到一列近似值。
当k=14时，有 可以看作方程很好的近似根。
迭代法步骤
42
迭代法总结
迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固 定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐 步精确化，直至满足精度要求的结果。
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
1. 二分法的原理
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0， 则 f 在 (a, b) 上必有一根 x*。
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
2. 二分法的实施
将方程根的区间平分为两个小区间，然 后判断根在哪个小区间，舍去无根的区间， 而把有根区间再一分为二，再判断根属于哪 个更小的区间，如此周而复始，直到求出满 足精度要求的近似根。
反复执行步骤2和步骤3，直到
|������ − ������| < ������ ，则
������∗
=
������
+ 2
������
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
上机实验：二分法程序实现
例如 考虑方程 f ( x) x3 x 1 0
下面将介绍几种常用的数值解法： ——二分法 ——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
• 迭代法是数值计算中一种典型的重要方法，尤其是计算机 的普遍使用，使迭代法的应用更为广泛。
• 所谓迭代法就是用某种收敛于所给问题的精确解的极限过 程，来逐步逼近的一种计算方法，从而可以用有限个步骤 算出精确解的具有指定精度的近似解。简单说迭代法是一 种逐步逼近的方法。
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.
将[a0,b0],对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0),
若f(x0) =0, x*=x0
<0,有根区间: [a1,b1]=[x0,b]
>0,有根区间: [a1,b1]=[a, x0]
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
如何求有根区间呢？
逐步扫描法
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
逐步扫描法
原理：设f(x)在[a, b]连续，且f(a)f(b)<0。 则由连续函数的性质知：
f(x)=0在(a, b)内至少有一个根。
若f(x)在[a, b]上单调，则f(x)=0在(a, b)上有且仅有一个根。
由于f (1) 0, f (1.5) 0 , 且 f(x)在区间[1，1.5]上满足
f ( x) 3 x 2 1 3 1 1 2 0
由此可知在(1，1.5)内有且仅有一个实根， 故可取 (1，1.5) 作为有根区间。
下面将介绍几种常用的数值解法： ——二分法 ——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
本章解决的问题：
求 f (x) = 0 的根
f(x)：非线性函数或高次代数方程 若有数x*使f(x*) = 0成立，则称x*为方程f(x) = 0的根(零点)。
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
复习
m是正整数，且g(x*)≠0
根：若有数x*使f(x*) = 0成立，则称x*为方程f(x) = 0的根(零点)。 单根： 重根：
的一种重要方法，它的最大优点是：
方程在单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方程的重根、复根；
也可以拓广用于求解非线性方程组的问题。
牛顿法
取 将
在 x0 做一阶Taylor展开:
a
x1 x*
x2 b
f(ak)0, f(bk)0, f(x*)=lim f(ak)= lim f(bk)
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
When to stop?
取xk=(ak+bk)/2 ([ak,bk]的中点)，
a
显然有 limxk=x*.
x* xa1
xb2
b
——算法和收敛性说明。 xk1 xk ε1 或
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式； 2、牛顿法的收敛性； 3、牛顿法的收敛速度； 3、弦截法思想。
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数
，是提高迭代数列
的收敛速度的关键。
本节介绍一种确定迭代函数
的方法 ── 牛顿法。
牛顿法是求解方程
迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的 某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步 加工成满足精度要求的根。
迭代法的设计思想是，将隐式方程
归结为计算一组显式公式
，也就是说，
迭代过程实质上是一个逐步显式化的过程。
下面将介绍几种常用的数值解法： ——二分法 ——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
方程根的几何意义 y
0
y=f(x) x
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
• (1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根) ，一般
为一个包含根的区间，称为“有根区间”
• (2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步
精确化，直至满足预先要求的精度为止。
第第二七章章 非非线线性性方方程程的的求求根根
求 f (x) = 0 的根
李颖 153844033@
第二章 非线性方程求根
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法 三、牛顿法 三、弦截法
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
科学计算 求解方程组
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
科学计算 求解方程组
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
科学计算 求解方程组
这些方程 看似简单，
高次代数方程
但难于求 超越方程
其精确解。
x5 3x 7 0
ex
x
cos
0
3
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
实际问题：只要能获得满足已定精确度的近似
根就可以了。